課標定位素養(yǎng)闡釋1.能利用分步乘法計數(shù)原理推導排列數(shù)公式.2.掌握排列數(shù)公式,并能運用排列數(shù)公式進行計算.3.能應用排列及排列數(shù)公式解決某些實際問題.4.掌握解決有關排列問題的一些方法,如直(間)接法、捆綁法、優(yōu)先考慮特殊位置(元素)等.5.通過排列知識解決實際問題,提升邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng).自主預習新知導學排列數(shù)公式【問題思考】1.從n個不同的球中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個球,放入排好的m個盒子中,每個盒子里放一個球,有多少種方法?提示:第1步,從全體n個球中任選一個放入第1個盒子中,有n種方法;第2步,從剩下的(n-1)個球中任選一個放入第2個盒子中,有(n-1)種方法;第3步,從剩下的(n-2)個球中任選一個放入第3個盒子中,有(n-2)種方法;……第m步,從剩下的[n-(m-1)]個球中任選一個放入第m個盒子中,有[n-(m-1)]種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從n個不同的球中取出m個球的排列,共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]種方法.2.(1)排列數(shù)公式:從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的排列共有n(n-1)·(n-2)·…·[n-(m-1)]種,所以=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].這個公式叫作排列數(shù)公式.(2)階乘:當m=n時,=n(n-1)(n-2)·…·2·1,記作n!,讀作:n的階乘.(3)規(guī)定:=1,0!=1.3.做一做:(1)若=9×10×11×12,則m的值為(

).A.3 B.4 C.5 D.6解析:(1)從9到12共4個數(shù),由排列數(shù)公式,得m=4.【思考辨析】判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.合作探究釋疑解惑探究一利用排列數(shù)公式求值或化簡(4)用排列數(shù)表示(20-n)(21-n)·…·(100-n)(n∈N+,且n<20).排列數(shù)公式=n(n-1)·…·(n-m+1)適用于具體計算以及解當m較小時的含有排列數(shù)的方程和不等式,在運用該公式時要注意它的特點:從n起連續(xù)寫出m個自然數(shù)的乘積即可.【變式訓練1】(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55);解:(1)因為55-n,56-n,…,69-n中最大的數(shù)為69-n,且元素總數(shù)為(69-n)-(55-n)+1=15,所以(55-n)(56-n)…(69-n)=化簡得n2-5n=0,解得n=5或n=0(舍去).所以n=5.探究二數(shù)字的排列問題【例2】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字?(1)六位奇數(shù);(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù);(3)不大于4310的四位偶數(shù).(2)(方法一,直接法)十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同,所以分為2類:(方法二,排除法)六位數(shù)的個數(shù)減去個位數(shù)字是5的六位數(shù)的個數(shù)即得個位數(shù)字不是5的六位數(shù)的個數(shù).1.本例條件不變,求能被5整除的五位數(shù)有多少個.2.本例中若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an},則240135是第幾項?數(shù)字排列問題的常見解題方法(1)“兩優(yōu)先排法”:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充,如“0”不排“首位”.(2)“分類討論法”:按照某一標準將排列分成幾類,然后按照分類加法計數(shù)原理進行,要注意兩點:一是分類標準必須恰當;二是分類過程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù).(4)“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數(shù)字的每個數(shù)位排好.【變式訓練2】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字.(1)用所給數(shù)字能夠組成多少個四位數(shù)?(2)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)?(3)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字且比3142大的數(shù)?(最后結果均用數(shù)字作答)解:(1)能夠組成四位數(shù)的個數(shù)為5×6×6×6=1080.(2)能組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為=5×5×4×3×2=600.(3)比3142大的數(shù)包括六位數(shù)、五位數(shù)和部分四位數(shù),其中:探究三排隊、排節(jié)目問題【例3】三名女生和五名男生排成一排,(1)如果女生全排在一起,有多少種不同排法?(2)如果女生互不相鄰,有多少種不同排法?(3)如果女生不站兩端,有多少種不同排法?(4)如果甲、乙兩人必須站兩端,有多少種不同排法?(5)如果甲不站左端,乙不站右端,有多少種不同排法?排隊、排節(jié)目問題的解題策略(1)合理歸類,要將題目大致歸類,常見的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問題、不相鄰問題等,再針對每一類采用相應的方法解題.(2)恰當結合,排列問題的解決離不開兩個計數(shù)原理的應用,解題過程中要恰當結合兩個計數(shù)原理.(3)正難則反,這是一個基本的數(shù)學思想,巧妙應用排除法可起到事半功倍的效果.【變式訓練3】某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目,其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目,求分別滿足下列條件的排節(jié)目單的方法種數(shù):(1)一個唱歌節(jié)目排在開頭,另一個唱歌節(jié)目排在最后壓臺;(2)兩個唱歌節(jié)目不相鄰;(3)兩個唱歌節(jié)目相鄰,且3個舞蹈節(jié)目不相鄰.【易錯辨析】忽略限制條件致誤錯解:由排列數(shù)公式得8×7×6×…×(8-x+1)<6×8×7×…×(8-x+3),即(10-x)(9-x)<6,化簡得x2-19x+84<0.解得7<x<12.因為x∈N+,所以x=8,9,10,11.答案:{8,9,10,11}以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:在排列數(shù)公式中,隱含條件m≤n,m,n∈N+,錯解沒有考慮到x-2≥0,x≤8,導致錯誤.正解:由,得8×7×6×…×(8-x+1)<6×8×7×…×(8-x+3),即(10-x)(9-x)<6,化簡得x2-19x+84<0,解得7<x<12.又因為x-2≥0,x≤8,且x∈N+,所以x=8.答案:{8}求解與排列數(shù)有關的解方程、解不等式等問題時,應注意隱含條件“m≤n,且m,n∈N+”的運用.【變式訓練】不等式+n≤10的解為(

).A.n=3 B.n=4C.n=3或n=4 D.n=3或n=4或n=5解析:原不等式化為(n-1)(n-2)+n≤10,即n2-2n-8≤0,解得-2≤n≤4.又n-1≥2,且n∈N+,所以3≤n≤4,即n=3或n=4.答案:C隨堂練習1.4×5×6×…×(n-1)×n等于(