10.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理1．有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有()A．21種B．315種C．143種D．153種答案C解析可分三類：一類：語文、數(shù)字各1本，共有9×7＝63(種)；二類：語文、英語各1本，共有9×5＝45(種)；三類：數(shù)字、英語各1本，共有7×5＝35(種)，∴共有63＋45＋35＝143(種)不同選法．2．(2020·南京質(zhì)檢)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．6種C．10種D．16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．3．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則行車路線共有()A．24種B．16種C．12種D．10種答案C解析根據(jù)題意，車的行駛路線起點(diǎn)有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有4×3＝12(種)，故選C.4．若a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，則y＝eq\f(b,a)x表示不同直線的條數(shù)為()A．8B．11C．14D．16答案B解析若使eq\f(b,a)表示不同的實(shí)數(shù)，則當(dāng)a＝1時(shí)，b＝1,2,3,4；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝1,3；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝1,2,4；當(dāng)a＝4時(shí)，b＝1,3.故y＝eq\f(b,a)x表示的不同直線的條數(shù)共有4＋2＋3＋2＝11.5．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A．56B．54C．53D．52答案D解析在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8×7＝56(個(gè))對(duì)數(shù)值；但在這56個(gè)數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56－4＝52(個(gè))．6．(2020·石家莊模擬)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只填入一個(gè)漢字，且任意的兩個(gè)漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有()A．288種B．144種C．576種D．96種答案C解析依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)漢字，有16種方法；(2)任意的兩個(gè)漢字既不同行也不同列，第二個(gè)漢字只有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)漢字只有4個(gè)格子可以放，有4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．7．(2020·安陽模擬)如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有()A．120種B．260種C．340種D．420種答案D解析由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種)．故選D.8．(多選)將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1,2,3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子，下列結(jié)果正確的有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3) B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2) D．18答案BC解析根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1,2,3號(hào)的盒子中，且沒有空盒，則三個(gè)盒子中有1個(gè)放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子各放1個(gè)，有2種解法：(1)分2步進(jìn)行分析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種放法，則沒有空盒的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種．(2)分2步進(jìn)行分析：①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種情況；②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)小盒中，有Aeq\o\al(2,2)種放法，則沒有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種．故選BC.9．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．答案20解析當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2個(gè)．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(個(gè))滿足條件的橢圓．10．直線方程Ax＋By＝0，若從0,1,2,3,5,7這6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示________條不同的直線．答案22解析分成三類：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前兩類各表示1條直線；第三類先取A有5種取法，再取B有4種取法，故5×4＝20(種)．所以可以表示22條不同的直線．11．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________．答案36解析第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．12．如圖所示，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有________種．答案180解析按區(qū)域分四步：第一步，A區(qū)域有5種顏色可選；第二步，B區(qū)域有4種顏色可選；第三步，C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，D區(qū)域也有3種顏色可選．由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有5×4×3×3＝180(種)不同的涂色方法．13．從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成該集合的子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個(gè)B．34個(gè)C．36個(gè)D．38個(gè)答案A解析先把數(shù)字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可，故共可組成2×2×2×2×2＝32(個(gè))這樣的子集．14.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．答案60解析根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)螺栓里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)螺栓，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)螺栓，依次選下去，共可以得到10種方法，所以總共有10×6＝60(種)方法，故答案是60.15．(2019·凌源模擬)中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)都選取到喜歡的禮物，則不同的選法有()A．30種B．50種C．60種D．90種答案B解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選擇，丙有10種選擇，選法有1×2×10＝20(種)；②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選擇，丙有10種選擇，選法有1×3×10＝30(種)，所有總共有20＋30＝50(種)選法．16．若給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有________種．答案30解析方法一如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步．當(dāng)染邊1時(shí)有3種染法，則染邊2有2種染法．(1)當(dāng)3與1同色時(shí)有1種染法，則4有2種，5有1種，此時(shí)染法總數(shù)為3×2×1×2×1＝12(種)．(2)當(dāng)3與1不同色時(shí)，3有1種，①當(dāng)4與1同色時(shí)，4有1種，5有2種；②當(dāng)4與1不同色時(shí)，4有1種，5有1種，則此