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文檔簡介
高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第三章復(fù)數(shù)3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第1課時復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)教材要點要點一復(fù)數(shù)的加法與減法1.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),則z1+z2=___________,z1-z2=____________.2.加法運(yùn)算律:設(shè)z1、z2、z3∈C,有z1+z2=________,(z1+z2)+z3=___________.狀元隨筆復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的理解(1)復(fù)數(shù)的加法中規(guī)定,兩復(fù)數(shù)相加,是實部與實部相加,虛部與虛部相加,復(fù)數(shù)的加法可推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形.(2)在這個規(guī)定中,當(dāng)b=0,d=0時,則與實數(shù)的加法法則一致.(3)實數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)iz2+z1z1+(z2+z3)要點二復(fù)數(shù)的乘法與乘方1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=________________.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1、z2、z3∈C,有交換律z1·z2=________結(jié)合律(z1·z2)·z3=________乘法對加法的分配律z1(z2+z3)=________(ac-bd)+(bc+ad)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2+z1z3
基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)兩個復(fù)數(shù)的和(或差)仍然是一個確定的復(fù)數(shù).(
)(2)兩個虛數(shù)的和(或差)一定是虛數(shù).(
)(3)復(fù)數(shù)的加法滿足結(jié)合律,但減法不滿足結(jié)合律.(
)(4)兩個虛數(shù)相乘的結(jié)果可能為實數(shù).(
)√××√2.(3+2i)-(2+i)+(1-i)=(
)A.2+2iB.4-2iC.2D.0答案:C解析:(3+2i)-(2+i)+(1-i)=(3-2+1)+(2-1-1)i=2.3.復(fù)數(shù)i(2+i)的虛部為________.2解析:i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以復(fù)數(shù)i(2+i)的虛部為2.題型
1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1
(1)計算(3+5i)+(3-4i)=________;6+i解析:原式=(3+3)+(5-4)i=6+i
1+i(3)已知復(fù)數(shù)z滿足z+1-3i=5-2i,求z.解析:∵z+1-3i=5-2i,∴z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.方法歸納(1)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算類似于合并同類項,實部與實部合并,虛部與虛部合并,注意符號是易錯點;(2)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果仍是復(fù)數(shù);(3)對應(yīng)復(fù)數(shù)的加法(或減法)可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加(或相減)的混合運(yùn)算;(4)實數(shù)的加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍適用.跟蹤訓(xùn)練1
(1)若z+5-6i=3+4i,則復(fù)數(shù)z=(
)A.-2+10iB.-1+5iC.-4+10iD.-1+10i解析:z=3+4i-(5-6i)=-2+10i.答案:A
答案:C解析:z=(3+i)+(-3-2i)=(3-3)+(1-2)i=-i,故復(fù)數(shù)z的虛部為-1.(3)設(shè)z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R)且z1+z2=5-6i,則z1-z2=________.
-1+10i題型2復(fù)數(shù)的乘法與乘方運(yùn)算例2
計算:(1)(1+i)(2-i)(3+2i);(2)i+i2+i3+i4+…+i2021.
解析:(1)(1+i)(2-i)(3+2i)=(2-i+2i-i2)(3+2i)=(3+i)(3+2i)=9+6i+3i+2i2=7+9i.(2)i+i2+i3+i4+…+i2021=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021=0+0+…+0+i=i.方法歸納(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的技巧①復(fù)數(shù)乘法與實數(shù)多項式乘法類似,在計算兩個復(fù)數(shù)的乘積時,先按照多項式的乘法展開,再將i2換成-1,最后合并同類項即可.②三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算,混合運(yùn)算和實數(shù)的運(yùn)算順序一致.③在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時,若符合乘法公式,則可直接運(yùn)用公式計算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.(2)利用i冪值的周期性解題的技巧①熟記i冪值的4個結(jié)果,當(dāng)冪指數(shù)除以4所得的余數(shù)是0,1,2,3時,相應(yīng)的冪值分別為1,i,-1,-i.②對于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.跟蹤訓(xùn)練2
(1)復(fù)數(shù)i(2+i)的實部為(
)A.-1B.1C.-2D.2解析:i(2+i)=-1+2i的實部為-1.答案:A(2)已知i為虛數(shù)單位,則i2020+i2021=________.1+i解析:i2020+i2021=i4×505+i4×505+1=1+i.題型3復(fù)數(shù)加、減、乘和乘方的綜合運(yùn)算例3
(1)(1+2i)(1-2i)+(3-4i)2;(2)(1+i)10(1-i)7-(1+i)(2+i).解析:(1)(1+2i)(1-2i)+(3-4i)2=1-4i2+9-24i+16i2=-2-24i.(2)(1+i)10(1-i)7-(1+i)(2+i)=(1+i)7(1+i)3(1-i)7-(1+3i)=[(1+i)(1-i)]7(1+i)2·(1+i)-(1+3i)=27×2i(1+i)-(1+3i)=28(i-1)-(1+3i)=-257+253i.方法歸納在復(fù)數(shù)加、減、乘和乘方的運(yùn)算中,可以運(yùn)用一些技巧,以簡化運(yùn)算過程.
跟蹤訓(xùn)練3
求(3+i)-(1-2i)2-i20+(1-i)8的值.
解析:(3+i)-(1-2i)2-i20+(1-i)8=3+i-(1-4i-4)-1+(-2i)4=21+5i.課堂十分鐘1.計算2(5-2i)-3(-1+i)-5i=(
)A.-8iB.13+8iC.8+13iD.13-12i答案:D解析:原式=10-4i+3-3i-5i=13-12i.
答案:D解析:∵復(fù)數(shù)z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是純虛數(shù),∴a+1=0,2a-1≠0,∴a=-1.3.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=(3+2i)(1-i)2,則z=(
)A.4+6iB.4-6iC.6+4iD.6-4i答案:B解析:根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得:z=(3+2i)(1-i)2=-2i(3+2i)=4-6i.4.已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的虛部為________.3解析:z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為3.5.計算:(1-2i)+(2+i)(1-4i)-(1+i)5.解析:原式=(1-2i)+(6-7i)-(2i)2(1+i)=(7-9i)+4(1+i)=11-5i.高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第三章復(fù)數(shù)3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第2課時復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(2)
×√×2.設(shè)zi=1-2i,則z=(
)A.-2-i
B.-2+iC.2+iD.2-i答案:A
答案:D
4.(2-i)÷i=________.-1-2i
答案:B
答案:D
答案:A
答案:B
1-i
題型
3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2+6x+10=0.
方法歸納與復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程有關(guān)的問題,一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化進(jìn)行求解.根與系數(shù)的關(guān)系仍適用,但根的判別式“Δ”不再適用.跟蹤訓(xùn)練3
已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數(shù)).(1)求b,c的值;(2)試判斷1-i是否是方程的根.
課堂十分鐘1.若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2,則z=(
)A.2+i
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