終生學習，成就孩子，成就自己。手拉手相似模型【知識要點】1、手拉手相似中的相似三角形的證明和求‘第三邊夾角’。請證明圖中的相似三角形；若△ABC和△ADE為相似的等腰三角形：若△ABC和△ADE為相似的普通三角形：2、手拉手相似模型總結(jié)：有等腰三角形的手拉手會產(chǎn)生一組新全等三角形；普通的三角形手拉手會產(chǎn)生一組新相似三角形。手拉手之歌：【例題講解】類型一、手拉手產(chǎn)生全等三角形【例題1】如圖，△ADC與△EDG都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點H，問：（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？【例題2】如圖，△ABD與△BCE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點H．求證：（1）AE＝DC；（2）∠AHD＝60°；（3）連接HB，HB平分∠AHC．【例題3】．【例題4】如圖，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F(xiàn)是AB邊上一點，作射線CF，過點B作BG⊥CF于點G，連接AG．（1）求證：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示線段CG，AG，BG之間的等量關(guān)系，并證明．類型二、手拉手產(chǎn)生相似三角形【例題1】（襄陽中考）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點重合于點C，點D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則CF：EF=（）【訓練1】（2020秋?成都期末27題）1、問題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試運用：如圖（2），在△ABC中，點D是BC邊上一動點，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC與DE相交于點F，在點D運動的過程中，當tan∠EDC＝時，求DE的長度；拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝．求AD的長．【課堂總結(jié)】2.3.【強化訓練】1、（川大附中考試27題）（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M．求：①AC：BD的值；②∠AMB的度數(shù)．（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷AC：BD的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）在（2）的條件下，將△OCD點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若OD＝2，OB＝，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．2、（22年新都模擬）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，點P為射線BD與CE的交點．（1）如圖1，當點D在線段CE上時，求證：BD＝CD＋AD；（2）若AB＝2，AD＝1，①如圖2，當點E在BA延長線上時，求PC的長；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當四邊形ADPE為正方形時，直接寫出線段PB長度的值．【綜合應(yīng)用】1、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，并且始終保持AE=AD，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究線段BD，DF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在（2）的條件下，若BD=6，CF=8，求AD的長．2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.點D為直線BC上一動點（點D不與點B、C重合），以AD為直角邊在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，連結(jié)CE.探究：如圖①，當點D在線段BC上時，證明BC=CE+CD.應(yīng)用：在探究的條件下，若AB=2，CD=1，則△DCE的周長為.拓展：(1)如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為.(2)如圖③，當點D在線段BC的延長線上時，BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為.3、如圖，已知：點D是△ABC的邊BC上一動點，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α.⑴如圖1，當α=60°時，∠BCE=；⑵如圖2，當α=90°時，試判斷∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生改變，若變化，請指出其變化范圍；若不變化，請求出其值，并給出證明；（3）如圖3，當α=120°時，則∠BCE=.【真題再現(xiàn)】1．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點E、F分別是邊AB、AD上兩個點，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點G．（1）如圖1，求∠BGD的度數(shù)；（2）如圖2，作CH⊥BG于H點，求證：2GH＝GB+DG；（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內(nèi)部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面積．（武侯區(qū)模擬）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在AC、AB上，且CD＝AE，BD與CE相交于點P．（1）求證：△ACE≌△CBD；（2）如圖2，將△CPD沿直線CP翻折得到對應(yīng)的△CPM，過C作CG∥AB，交射線PM于點G，PG與BC相交于點F，連接BG．?。┰嚺袛嗨倪呅蜛BGC的形狀，并說明理由；ⅱ）若四邊形ABGC的面積為6根號3，PF＝1，求CE的長．【課后練習】1、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角