十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

高等數(shù)學

上冊

()

吳健輝李珍真主編

夏輝鄭春玲王學文副主編

內容簡介

本書遵循以服務為宗旨以應用為目的以必需夠用為度的原則在認真

“,,”,

總結經(jīng)驗分析調研的基礎上合理整合知識內容以突出重點強調學法指導為

、,,、

特色充分體現(xiàn)了模塊式教學的應用性本書集數(shù)學知識數(shù)學思維數(shù)學教育于

,。、、

一體具體內容包括函數(shù)極限與連續(xù)導數(shù)和微分導數(shù)的應用不定積分定

,、,,,,

積分定積分的應用并按層次配有習題便于學生學習掌握數(shù)學知識與數(shù)學

,。,、

技能

。

本書適合作為普通高等院校各專業(yè)高等數(shù)學應用數(shù)學課程的教材

、。

圖書在版編目CIP數(shù)據(jù)

()

高等數(shù)學上冊吳健輝李珍真主編北京中國

./,.—:

鐵道出版社有限公司

,2022.8

十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

ISBN978-7-113-29515-8

高吳李高等數(shù)學高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①-

學校教材

-Ⅳ.①O13

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2022)143535

書名:高等數(shù)學上冊

()

作者:吳健輝李珍真

策劃:曹莉群編輯部電話:

(010)51873090

責任編輯:潘星泉徐盼欣

封面設計:劉穎

責任校對:孫玫

責任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:三河市興達印務有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202281202281

開本:印張:字數(shù):千

710mm×1000mm1/1613.75269

書號:

ISBN978-7-113-29515-8

定價:元

39.80

版權所有侵權必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調換電話

,,。:(010)63550836

打擊盜版舉報電話

:(010)63549461

前言

高等數(shù)學是普通高等院校各專業(yè)的一門必修的基礎課程,本書基于

編者多年來從事高等數(shù)學教學經(jīng)驗積累而編寫。在編寫過程中,遵循

“強基礎,重應用”的原則,在保證數(shù)學科學性的基礎上,減少了復雜的理

論求證,注重培養(yǎng)學生的基本運算能力和解決實際應用問題能力,力求

在有限的教學時數(shù)內拓展學生的知識面。

本書具有如下特色:

()本書包含了普通高等院校各專業(yè)所需的主要高等數(shù)學內容,在

1

編寫過程中既強調數(shù)學的邏輯性和嚴謹性,又做到了通俗易懂,便于讀

者自學。教師在教學過程中可以根據(jù)各專業(yè)的特點選擇所需內容。

()在內容選取上,突出基本概念的理解和基本方法的掌握,注重培

2

養(yǎng)學生的數(shù)學思想和數(shù)學思維方法。在編排上,以實例作為重要概念的

切入點,重點分析如何從實例中抽象出數(shù)學概念,培養(yǎng)學生的抽象思維

能力,遵循數(shù)學知識的認知規(guī)律,由淺入深,循序漸進。

()在部分實例求解過程中加入分析,力求提高學生的觀察、分析、

3

思考能力,數(shù)學語言表達能力,運用數(shù)學基本概念、方法解決問題的能

力,并提高他們學習數(shù)學的興趣。在例題與習題的選取方面既考慮到了

基本知識及基本能力的訓練,同時也編排了一些思維能力的提高題。

本書由景德鎮(zhèn)學院的吳健輝、李珍真擔任主編,由景德鎮(zhèn)學院的夏

輝、鄭春玲、王學文擔任副主編。第一章、第三章由吳健輝編寫,第二章、

第四章由李珍真編寫,第五章由夏輝編寫,第六章由鄭春玲編寫,王學文

負責全書習題的編寫,本書由吳健輝負責統(tǒng)稿和審核。

由于編者水平所限,書中不足和疏漏之處在所難免,敬請廣大讀者

批評指正。

編者于景德鎮(zhèn)

年月

20225

目錄

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)…………

1

函數(shù)的概念………………

1.11

幾個基本概念……………………

1.1.11

函數(shù)的概念………

1.1.22

函數(shù)的表示法……………………

1.1.33

函數(shù)的初等性質…………………

1.1.45

初等函數(shù)…………

1.1.57

習題………………………

1.110

數(shù)列的極限………………

1.211

極限概念的引入…………………

1.2.112

數(shù)列極限…………

1.2.212

數(shù)列極限的性質…………………

1.2.316

習題………………………

1.220

函數(shù)極限…………………

1.321

自變量趨于無窮時的極限……

1.3.121

自變量趨于有限值時函數(shù)的極限………………

1.3.223

函數(shù)極限的性質…………………

1.3.326

習題………………………

1.329

無窮小量與無窮大量……………………

1.431

無窮小量…………

1.4.131

無窮大量…………

1.4.233

習題………………………

1.434

兩個重要極限……………

1.535

夾逼定理…………

1.5.135

高等數(shù)學(上冊)

·Ⅱ·

兩個重要極限…………………

1.5.236

習題………………………

1.540

函數(shù)的連續(xù)性……………

1.641

連續(xù)函數(shù)的概念…………………

1.6.141

連續(xù)函數(shù)的運算性質……………

1.6.243

初等函數(shù)的連續(xù)性………………

1.6.345

間斷點……………

1.6.445

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質………

1.6.548

習題………………………

1.650

無窮小量的比較…………

1.752

習題………………………

1.755

第2章導數(shù)和微分………………

56

導數(shù)的概念………………

2.156

概念的引入………

2.1.156

導數(shù)的定義………

2.1.257

導數(shù)的幾何意義…………………

2.1.361

可導與連續(xù)的關系………………

2.1.462

習題………………………

2.162

函數(shù)的求導法則…………

2.264

函數(shù)的四則運算求導法則………

2.2.164

反函數(shù)的求導法則………………

2.2.266

復合函數(shù)的求導法則……………

2.2.367

習題………………………

2.270

特殊類型函數(shù)的求導法…………………

2.371

隱函數(shù)的求導法…………………

2.3.171

冪指函數(shù)求導法…………………

2.3.273

多個因子積商的求導……………

2.3.374

由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導法………………

2.3.475

習題………………………

2.376

目錄

·Ⅲ·

高階導數(shù)…………………

2.477

習題………………………

2.480

微分………………………

2.581

微分的概念………

2.5.181

微分的幾何意義…………………

2.5.283

微分的運算法則與公式…………

2.5.383

微分的應用………

2.5.485

習題………………………

2.587

第3章導數(shù)的應用………………

89

微分中值定理……………

3.189

羅爾()定理………………

3.1.1Rolle89

拉格朗日()中值定理…………………

3.1.2Lagrange91

柯西()中值定理…………

3.1.3Cauchy93

習題………………………

3.194

洛必達法則………………

3.295

洛必達法則………

3.2.195

其他未定型………

3.2.298

習題………………………

3.2100

泰勒公式………………

3.3101

習題………………………

3.3105

函數(shù)的單調性與函數(shù)的極值…………

3.4105

函數(shù)單調性的判定……………

3.4.1105

函數(shù)的極值……………………

3.4.2107

函數(shù)的最值……………………

3.4.3111

習題………………………

3.4112

曲線的凹凸性及拐點…………………

3.5114

習題………………………

3.5116

函數(shù)的作圖……………

3.6117

曲線的漸近線…………………

3.6.1117

高等數(shù)學(上冊)

·Ⅳ·

函數(shù)的作圖……………………

3.6.2118

習題………………………

3.6120

導數(shù)在經(jīng)濟學及物理學上的應用……

3.7120

導數(shù)在經(jīng)濟學上的應用………

3.7.1121

導數(shù)在物理學中的應用………

3.7.2127

習題………………………

3.7129

第4章不定積分…………………

130

不定積分的概念………

4.1130

原函數(shù)的概念…………………

4.1.1130

不定積分的定義………………

4.1.2131

不定積分的幾何意義…………

4.1.3132

不定積分的基本公式…………

4.1.4133

不定積分的性質………………

4.1.5134

直接積分計算舉例……………

4.1.6135

習題………………………

4.1136

不定積分的換元積分法………………

4.2137

第一換元積分法………………

4.2.1138

第二換元積分法………………

4.2.2143

習題………………………

4.2147

分部積分法……………

4.3149

習題………………………

4.3154

幾類特殊函數(shù)的不定積分……………

4.4154

有理函數(shù)的不定積分…………

4.4.1154

三角函數(shù)有理式的不定積分…………………

4.4.2159

簡單無理函數(shù)的積分…………

4.4.3160

習題………………………

4.4161

第5章定積分……………………

163

定積分的概念…………

5.1163

定積分概念引入的背景………

5.1.1163

目錄

·Ⅴ·

定積分的概念…………………

5.1.2165

習題………………………

5.1167

定積分的性質…………

5.2168

習題………………………

5.2171

微積分學基本定理……………………

5.3171

引例……………

5.3.1171

變上限函數(shù)……………………

5.3.2172

牛頓萊布尼茨公式……………

5.3.3-174

習題………………………

5.3175

定積分的基本積分法…………………

5.4176

定積分的換元積分法…………

5.4.1176

定積分的分部積分法…………

5.4.2178

習題………………………

5.4180

廣義積分………………

5.5181

無窮區(qū)間上的廣義積分………

5.5.1182

無界函數(shù)的廣義積分…………

5.5.2184

習題………………………

5.5186

第6章定積分的應用……………

187

定積分的微元法………

6.1187

平面圖形的面積………

6.2188

直角坐標系下求平面圖形的面積……………

6.2.1189

極坐標系下求平面圖形的面積………………

6.2.2191

習題………………………

6.2192

空間幾何體體積………

6.3192

已知截面面積求體積…………

6.3.1192

旋轉體體積……………………

6.3.2193

習題………………………

6.3195

平面曲線的弧長………

6.4195

直角坐標系下求弧長…………

6.4.1195

高等數(shù)學(上冊)

·Ⅵ·

參數(shù)方程形式下求曲線弧長…………………

6.4.2196

極坐標系下求曲線弧長………

6.4.3197

習題………………………

6.4198

定積分的物理應用……………………

6.5198

功………………

6.5.1198

水壓力…………

6.5.2200

引力……………

6.5.3200

習題………………………

6.5201

附錄A不定積分表………………

202

第1章

函數(shù)極限與連續(xù)

、

微積分學的創(chuàng)立是由常量數(shù)學向變量數(shù)學轉變的一件具有劃時代意義的事

情微積分學的研究對象是函數(shù)高等數(shù)學的主要內容是微積分學它以極限為工

,.,

具并在實數(shù)范圍內研究函數(shù)的變化率及其規(guī)律性從而產生微積分的基本概念及

,,

性質本章主要介紹函數(shù)的概念及其基本性質數(shù)列與函數(shù)的極限及其基本性質

.,,

連續(xù)函數(shù)的概念及其基本性質為進一步學好微積分打下一個良好的基礎

,.

1.1函數(shù)的概念

1.1.1幾個基本概念

1.常量與變量

在日常生活或生產實踐中觀察某一個事件的結果往往是用一個量的形式來

,

表現(xiàn)的在觀察的某一個過程中始終保持不變的量稱為常量經(jīng)常變化的量稱為變

,,

量通常用小寫字母abc表示常量用小寫字母xyz表示變量

.,,,…,,,,….

常量和變量是相對的在不同的過程中常量和變量是可以轉化的例如某商

,.,

品的價格在第一個月內保持不變可以說在第一個月內價格是常量如果在第二個

,;

月內發(fā)生了變化那么價格在這兩個月內是變量實際生活中的量短期內可以是常

,.

量從長期來看絕大多數(shù)是變量

,,.

從幾何意義上來表示常量對應數(shù)軸上的定點變量對應數(shù)軸上的動點

,,.

2.集合與區(qū)間

集合是表示具有同一種屬性的全體

.

例如某班的全體學生可以組成一個集合一家公司所有的在職職工可以組成

,;

一個集合所有的實數(shù)可以組成一個集合等等

;;.

有關集合的運算集合的表示等方面的基本知識中學數(shù)學已有介紹這里不

、,,

再贅述

.

高等數(shù)學中常用的數(shù)集及其符號表示如下

:

開區(qū)間ab=x|axb

:,<<;

2高等數(shù)學上冊

··()

閉區(qū)間ab=x|axb

:,≤≤;

左半開區(qū)間或右半閉區(qū)間ab=x|axb

():(,]<≤;

右半開區(qū)間或左半閉區(qū)間ab=x|axb

():[,)≤<;

上述四個區(qū)間的長度都是有限長的因此把它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間

,.

無窮區(qū)間有

:

-+=Ra+=x|xaa+=x|xa

(∞,∞);(,∞)>;,∞≥;

-b=x|xb-b=x|xb.

∞,<;∞,≤

如無特別聲明可用如下符號表示一些常用數(shù)集

,:

R實數(shù)集Q有理數(shù)集Z整數(shù)集N自然數(shù)集

———;———;———;———.

為了討論數(shù)軸上某點附近的性質需要引入鄰域的概念

,.

定義1設x是一個實數(shù)δ是正數(shù)通常是指很小的正數(shù)數(shù)軸上到點x的

0,(),0

距離小于δ的點的全體稱為點x的δ鄰域記為Uxδ見圖即

,0,0,[1-1(a)].

Uxδ=x-δx+δ=x|x-x|δ.

0,0,0