重難專攻（六）立體幾何中的綜合問題

隨著高考改革的不斷深入，立體幾何中的動(dòng)態(tài)、最值、翻折、探究等問題倍受命題者青睞.解決此類問題的關(guān)鍵是“以靜制動(dòng)”，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，通過構(gòu)造函數(shù)、基本不等式等方法加以解決.動(dòng)態(tài)問題【例1】

（多選）如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是

（

）B.若MN＝4，則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.若點(diǎn)N到直線BB1與到直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

答案

ACD｜解題技法｜解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題的方法（1）幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定；（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算；（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度取特殊值或位置進(jìn)行排除.?

在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)Q是△PBC內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足DQ⊥AC，則點(diǎn)Q所形成的軌跡長(zhǎng)度是

?.

最值（范圍）問題【例2】

如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，且a≥b，點(diǎn)D是BC1的中點(diǎn)，則直線AD與側(cè)面ABB1A1所成角的正切值的最小值是

（

）

答案

D｜解題技法｜

立體幾何中體積、距離、角的最值（范圍）問題，常用的解題思路是：（1）直觀判斷：判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大（?。┲?；（2）函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求解.?

翻折問題【例3】

圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.（1）證明：圖②中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；解

（1）證明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.（2）求圖②中的二面角B－CG－A的大小.

｜解題技法｜1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.?

（1）求證：平面BC1E⊥平面ABED；

（2）已知點(diǎn)P為線段DC1上一點(diǎn)，且PC1＝2PD，求直線BP與平面ABC1所成角的正弦值.

探究問題【例4】

（2021·全國(guó)甲卷）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.（1）證明：BF⊥DE；

（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

｜解題技法｜利用空間向量巧解探究性問題的策略（1）空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；（2）解題時(shí)，把結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.提醒

探究線段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用.?

（1）求證：PD⊥平面PAB；解：（1）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，AB，PA?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；解：（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意得A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.

?

A.πB.2πC.4π

2.已知點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1所在的平面內(nèi).若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P與點(diǎn)C1的最短距離是

（

）C.1

3.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與P，B重合），過點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象是

（

）

6.（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP⊥CN.下列說法中正確的是

（

）A.點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn)C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)（不包括邊界）運(yùn)動(dòng)，若B1P∥平面A1BM，則C1P的長(zhǎng)度的取值范圍是

?.

解析：如圖，取BC的中點(diǎn)N，連接B1D，B1N，DN，過C作CO⊥DN于O，連接C1O，由正方體的性質(zhì)知DN∥MB，A1M∥B1N，又DN∩B1N＝N，MB∩A1M＝M，∴平面B1DN∥平面A1BM，∴點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是線段DN（不含點(diǎn)N和點(diǎn)D）.

8.如圖，在四棱錐S－ABCD中，已知四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，△SAD為正三角形，平面SAD⊥平面ABCD.（1）求平面SBC與平面ABC夾角的大小；解：（1）取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，因?yàn)镾A＝SD，OA＝OD，所以SO⊥AD，又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO?平面SAD，所以SO⊥平面ABCD，因?yàn)镺B?平面ABCD，所以SO⊥OB，因?yàn)锽A＝BD，OA＝OD，所以O(shè)A⊥OB，所以O(shè)A，OB，OS兩兩垂直，

（2）在線段SC（端點(diǎn)S，C除外）上是否存在一點(diǎn)M，使得AM⊥BD？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

?9.（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為線段AB1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是

（

）A.平面BCM⊥平面A1AM

11.如圖①，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝4，BC＝1，∠ADC＝45°，梯形的高為1，M為AD的中點(diǎn)，以BM為折痕將△ABM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，連接NC，ND，如圖②.（1）證明：平面NMC⊥平面NCD；

在四棱錐N－BCDM中，∵平面NBM⊥平面BCDM，平面NBM∩平面BCDM＝BM，MN⊥BM，∴NM⊥平面BCDM.∵CD?平面BCDM，∴NM⊥CD.∵NM∩CM＝M，且NM，CM?平面NMC，∴CD⊥平面NMC.又CD?平面NCD，∴平面NMC⊥平面NCD.（2）求圖②中平面NBM與平面NCD所成角的余弦值.

?12.（多選）正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均相等，D為AA1的中點(diǎn).M，N分別是BB1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM＝C1N.當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是

（

）A.平面DMN⊥平面BCC1B1B.三棱錐A1－DMN的體積為定值C.△DMN可能為直角三角形解析：ABD

如圖，M，N分別是BB1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM＝C1N時(shí)，則線段MN一定過正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，DO?平面DMN，可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故A正確；當(dāng)M，N分別是BB1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）時(shí)，過點(diǎn)M作A1D邊上的高，其長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)，所以△A1DM的面積不變，由于C1N∥平面A1DM，故點(diǎn)N到平面A1DM的距離等于點(diǎn)C1到平面A1DM的距離，則點(diǎn)N到平面A1DM的距離為定值，故三棱錐A1－DMN的體積為定值，所以B正確；由BM＝C1N可得，DN＝DM，若△DMN為直角三角形，則一定是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC1，而此時(shí)DN，DM的長(zhǎng)都大于BB1，故△DMN不可能為直角三角形，所以C不正確；

13.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.（1）求證：BD⊥平面AED，AD⊥平面BDEF；解：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∠AD