專題5.3一次函數(shù)的應用——方案選擇問題【典例1】為了落實“鄉(xiāng)村振興”政策，A,B兩城決定向C,D兩鄉(xiāng)運送水泥建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，已知A,B兩城分別有水泥200噸和300噸，從A城往C,D兩鄉(xiāng)運送水泥的費用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C,D兩鄉(xiāng)運送水泥的費用分別為15元/噸和24元/噸，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要水泥240噸，D鄉(xiāng)需要水泥260噸．（1）設(shè)從A城運往C鄉(xiāng)的水泥x噸．設(shè)總運費為y元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出最少總運費．（2）為了更好地支援鄉(xiāng)村建設(shè)，A城運往C鄉(xiāng)的運費每噸減少a(0<a<7)元，這時A城運往C鄉(xiāng)的水泥多少噸時總運費最少？【思路點撥】（1）先求出x的取值范圍，在求出y與x的函數(shù)解析式，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出最小值；（2）先列出A城運往C鄉(xiāng)的運費每噸減少a(0<a<7)元時，總費w用關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再分類討論，分別求出最小值．【解題過程】解：（1）設(shè)從A城運往C鄉(xiāng)肥料x噸，則運往D鄉(xiāng)200-x，從B城運往C鄉(xiāng)肥料240-x噸，則運往D鄉(xiāng)60+x噸，設(shè)總運費為y元，根據(jù)題意，則：y=20x+25200-x=4x+100400≤x≤200∵k=4>0,y隨x的增大而增大，∴當x=0時，總運費最少，且最少的總運費為10040元．答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+100400≤x≤200最少總運費為10040元；（2）設(shè)減少運費后，總運費為w元，則：w==∵0<a<7，∴分以下三種情況進行討論：①當0<a<4時，4-a>0，此時w隨x的增大而增大，∴當x=0時，w最小②當a=4時，w=10040，∴不管怎樣調(diào)運，費用一樣多，均為10040元；③當4<a<7時，4-a<0，此時w隨x的增大而減小，∴當x=200時，w最小∴綜上可得：當0<a<4時，A城運往C鄉(xiāng)0噸，總運費最少；當a=4時，無論從A城運往C鄉(xiāng)多少噸肥料（不超過200噸），總運費都是10040元；當4<a<7時，A城運往C鄉(xiāng)200噸，總運費最少．1．（2023春·四川達州·八年級?？计谀┠晨爝f公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天多搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別微運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價3萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機器人分別采購多少臺時，所需費用最低﹖最低費用是多少？【思路點撥】（1）設(shè)每臺A型機器人每天分別微運貨物x噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物y噸，根據(jù)“每臺A型機器人比每臺B型機器人每天多搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m臺A型機器人，則購買（20-m）臺B型機器人，根據(jù)這些機器人每天搬運的貨物不低于1800噸，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人所需費用為w萬元，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解題過程】解：（1）設(shè)每臺A型機器人每天分別微運貨物x噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物y噸，根據(jù)題意得：x-y=203x+2y=460解得：x=100y=80答：每臺A型機器人每天分別微運貨物100噸，每臺B型機器人每天分別微運貨物80噸．（2）設(shè)購買m臺A型機器人，則購買（20-m）臺B型機器人，根據(jù)題意得：100m+80（20-m）≥1800，解得：m≥10．設(shè)該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人所需費用為w萬元，則w=3m+2（20-m）=m+40，∵k=1＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=10時，w有最小值，且最小值為w=10+40=50（萬元），此時20-m=10．所以，購買10臺A型機器人，10臺B型機器人時，所需費用最低，最低費用為50萬元．2．（2023春·八年級課時練習）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元．（1）甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元？（2）已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數(shù)量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人2臺，如何購買才能使每小時的分揀量最大？【思路點撥】（1）設(shè)甲型機器人的單價是x萬元，乙型機器人的單價是y萬元，根據(jù)“購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．（2）設(shè)購買甲型機器人m臺，則購買乙型機器人(6-m)臺，根據(jù)“該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人2臺”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)6臺機器人每小時的分揀量為w，利用總分揀量=每臺機器人的分揀量×購買該型機器人的數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解題過程】（1）解：設(shè)甲型機器人的單價是x萬元，乙型機器人的單價是y萬元，依題意，得x+2y=7解得x=3答：甲型機器人的單價是3萬元，乙型機器人的單價是2萬元．（2）解：設(shè)購買甲型機器人m臺，則購買乙型機器人(6-m)臺．依題意，得m≥2，解得2≤m≤4．設(shè)6臺機器人每小時的分揀量為w，則w=1400m+1200(6-m)=200m+7200．∵200>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=4時，w取得最大值，此時6-m=6-4=2，∴購買甲型機器人4臺，乙型機器人2臺時，才能使每小時的分揀量最大．3．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校W校首屆海棠文化節(jié)啟動暨原創(chuàng)校園歌曲《京廣路86號》現(xiàn)場發(fā)布儀式于4月2日在京廣校區(qū)舉行，海棠文化節(jié)系列活動也伴隨啟動儀式同步開展．為獎勵積極參與活動的班級與個人，學校計劃購買A、B兩種獎品，若購買A種獎品3個和B種獎品2個共需要130元；若購買A種獎品5個和B種獎品4個共需要230元．（1）A、B兩種獎品的單價；（2）按照學校計劃，準備購買A、B兩種獎品共20個，且A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品的數(shù)量的2倍，請你設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)A種獎品的單價是x元，B種獎品的單價是y元，根據(jù)若購買A種獎品3個和B種獎品2個共需要130元，若購買A種獎品5個和B種獎品4個共需要230元得3x+2y=1305x+4y=230（2）設(shè)A種獎品購買m件，B種獎品購買(20-m)件，總費用為W元，由A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品的數(shù)量的2倍得m≥1313，m最小取14，而【解題過程】（1）解：設(shè)A種獎品的單價是x元，B種獎品的單價是y元，由題意得：3x+2y=130解得：x=30y=20∴A種獎品的單價是30元，B種獎品的單價是20元；（2）解：設(shè)A種獎品購買m件，B種獎品購買(20-m)件，總費用為W元，∵A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品的數(shù)量的2倍，∴m≥2(20-m)，解得：m≥131∵m為整數(shù)，∴m最小取14，由題意得：W=30m+20(20-m)=10m+400，∵10>0，∴W隨m的增大而增大，∴m=14時，W取得最小值，此時20-m=20-14=6，答：A種獎品購買14件，B種獎品購買6件最省錢．4．（2023春·四川巴中·八年級?？茧A段練習）北京2022官方特許商品旗艦店在北京冬奧會召開期間，購進一批A、B不同型號的盲盒，購進3個A型號的盲盒和4個，B型號的盲盒需要566元，購進2個A型號的盲盒和1個B型號的盲盒需要（1）A、（2）該旗艦店計劃購進A、B不同型號的盲盒共100件，其中B型號的盲盒的個數(shù)不大于A型號的盲盒個數(shù)，并且計劃費用不超過8450元，請問有幾種購買方案？【思路點撥】（1）設(shè)A盲盒的單價為x元，B盲盒的單價為y元，根據(jù)購進3個A型號的盲盒和4個B型號的盲盒需要566元，購進2個A型號的盲盒和1個B型號的盲盒需要264元列方程解方程即可；（2）設(shè)該旗艦店計劃購進A盲盒共m件，則該旗艦店計劃購進B盲盒共100-m件，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列不等式解不等式即可．【解題過程】（1）解：設(shè)A盲盒的單價為x元，B盲盒的單價為y元，根據(jù)題意可得：3x+4y=5662x+y=264解方程得：x=98y=68答：A盲盒的單價為98元，B盲盒的單價為68元．（2）解：設(shè)該旗艦店計劃購進A盲盒共m件，則該旗艦店計劃購進B盲盒共100-m件，根據(jù)題意可得：100-m≤m98m+68解得：50≤m≤55，∴A型號的盲盒個數(shù)m分別為：55、∴共有6種購買方案，設(shè)購買費用為w，則w=98m+68100-m∵30>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=50時，100-m=50，即購買50件A盲盒，50件B盲盒，最省錢，答：共有6種購買方案，購買50件A盲盒，50件B盲盒，最省錢．5．（2023春·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學?？计谥校┒髨蟾嬷兄赋?，要深入推進能源革命，加強煤炭清潔高效利用，積極參與應對氣候變化全球治理．為保護環(huán)境，某市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需750萬元；若購買A型公交車3輛，B型公交車4輛，共需1040萬元．（1）求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？（2）預計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1500萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于720萬人次，則該公司有幾種購車方案？哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少萬元？【思路點撥】（1）設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，根據(jù)“購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需750萬元；若購買A型公交車3輛，B型公交車4輛，共需1040萬元”可列出二元一次方程組解決問題；（2）設(shè)購買A型公交車m輛，則B型公交車10-m輛，由“購買A型和B型公交車的總費用不超過1500萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于720萬人次”可列出不等式組探討得出答案即可得到購車方案，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可求最少總費用．【解題過程】（1）解：設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，由題意得：2x+3y=7503x+4y=1040解得x=120y=170∴A型公交車每輛需120萬元，B型公交車每輛需170萬元；（2）設(shè)購買A型m輛，購買B型10-m輛，得120m+17010-m∴4≤m≤7，且m為自然數(shù)，∴m=4或5或6或7，所以共有五種采購方案；方案一：采購A型4臺，采購B型6臺；方案二：采購A型5臺，采購B型5臺；方案三：采購A型6臺，采購B型4臺；方案四：采購A型7臺，采購B型3臺；設(shè)總費用為W元，則W=120m+17010-m，即W=-50m+1700（4≤m≤7∵W隨m的增大而減小，∴當采購A型7輛，采購B型3輛時，最低費用為：-50×7+1700=1350（萬元）．答：該公司有四種購車方案，當采購A型7輛、B型3臺，費用最低，最低費用為1350萬元．6．（2023春·八年級課時練習）為鍛煉學生體質(zhì)，某中學準備購買A，B兩種體育器材共30件，從市場了解到A，B兩種器材的單價分別是16元和4元．設(shè)準備購買A種器材x（件），學校要求購買B種器材的數(shù)量多于總器材數(shù)量的一半，但不高于A種器材數(shù)量的2倍，購買兩種器材的總費用為y（元）．（1）寫出總費用y（元）與x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．（2）實際購買時，每件A種器材下降了a(a>0)元，每件B種器材上漲了2a元，此時購買這兩種商品所需的最少費用為378元，求a的值．【思路點撥】（1）根據(jù)題中條件，可用(30-x)表示購買B種器材件數(shù)，同時還要求出x的取值范圍，再根據(jù)購買單價建立關(guān)于y的解析式；（2）要對實際購買時，所得到得關(guān)于y的解析式取到的最值時，進行分類討論．【解題過程】解：（1）設(shè)購買A種器材x（件），則購買B種器材(30-x)件．由題意：要求購買B種器材的數(shù)量多于總器材數(shù)量的一半，但不高于A種器材數(shù)量的2倍，則30-x>1530-x≤2x，解得：10≤x<15根據(jù)A，B兩種器材的單價分別是16元和4元，建立購買器材的總費用y（元）與x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式如下：y=16x+4×(30-x)=12x+120，10≤x<15；∴y=12x+120,10≤x<15．（2）根據(jù)實際購買時，每件A種器材下降了aa>0元，每件B種器材上漲了2ay=(16-a)x+(4+2a)(30-x)=(12-3a)x+120+60a，10≤x<15．此時購買這兩種商品所需的最少費用為378元，進行分類討論；第一類：當12-3a>0時，解得0<a<4．根據(jù)一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)知：y隨著x的增大而增大，∴當x=10時，y取到最小值，即：y=(12-3a)×10+120+60a=378，解得：a=4.6（不符合0<a≤4，故舍去）第二類：當當12-3a=0時，解得y=(12-3a)×14+120+60a=360（不符合題意，舍去）第三類：當12-3a<0時，解得a>4，根據(jù)一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)知：y隨著x的增大而減小，∴當x=14時，y取到最小值，即：y=(12-3a)×14+120+60a=378，解得：a=5．綜上所述：a=5．7．（2023春·八年級課時練習）某酒店新裝修，計劃購買A，B，C三種型號的餐桌共n套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求購買C型餐桌的套數(shù)是A型餐桌的3倍，設(shè)購買x套A型餐桌，三種餐桌購買的總費用為y元．（1）當n=160時，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．②若購買的B型餐桌套數(shù)不多于C型餐桌套數(shù)，求總費用y的最小值，并寫出此時具體的購買方案．（2）已知酒店實際購買三種餐桌的總費用為18萬元，記購買的三種餐桌椅子的總數(shù)最多的方案為最佳購買方案，求最佳購買方案的椅子總數(shù)m及相應n的值．【思路點撥】（1）①根據(jù)“總費用=A型餐桌的費用+B型餐桌的費用+C型餐桌的費用”即可求解；②根據(jù)題意列出不等式組，求得x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)總費用為180000元，列出方程800x+1000n-4x+1200×3x=180000，解方程求得x=900-5n2，再由n-4x≥0求得n≥163711，根據(jù)題意求得m與n的函數(shù)關(guān)系式為【解題過程】（1）①由題意可知y=800x+1000160-4x②∵0≤160-4x≤3x，226∵k=400>0，∴y隨x的增大而增大，∵x為整數(shù)，∴當x=23時，y最小此時具體的購買方案為：A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套．（2）由題意可知，800x+1000n-4x∴x=900-5n∵n-4x≥0，∴n≥1637又由m=4x+6n-4x∵k=-4<0，∴m隨n的增大而減小，∴當n=164時，m最大8．（2023春·全國·八年級專題練習）某學校計劃購買若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商場了解到同一種型號的電腦報價均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.各商場的優(yōu)惠條件如下表所示：商場優(yōu)惠條件甲商場第一臺按原價收費，其余的每臺優(yōu)惠25%乙商場每臺優(yōu)惠20%（1）設(shè)學校購買x臺電腦，選擇甲商場時，所需費用為y1元，選擇乙商場時，所需費用為y2元，請分別求出y1，y2（2）什么情況下，兩家商場的收費相同？什么情況下，到甲商場購買更優(yōu)惠？什么情況下，到乙商場購買更優(yōu)惠？（3）現(xiàn)在因為急需，計劃從甲乙兩商場一共買入10臺電腦，已知甲商場的運費為每臺50元，乙商場的運費為每臺60元，設(shè)總運費為w元，從甲商場購買a臺電腦，在甲商場的庫存只有4臺的情況下，怎樣購買，總運費最少？最少運費是多少？【思路點撥】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式即可；（2）①若甲商場購買更優(yōu)惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案；②若乙商場購買更優(yōu)惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案；③若兩家商場收費相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案；（3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再根據(jù)增減性即可進行解答．【解題過程】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500；y2=（1-20%）×6000x=4800x；（2）設(shè)學校購買x臺電腦，若到甲商場購買更優(yōu)惠，則：4500x+1500＜4800x，解得：x＞5，即當購買電腦臺數(shù)大于5時，甲商場購買更優(yōu)惠；若到乙商場購買更優(yōu)惠，則：4500x+1500＞4800x，解得：x＜5，即當購買電腦臺數(shù)小于5時，乙商場購買更優(yōu)惠；若兩家商場收費相同，則：4500x+1500=4800x，解得：x=5，即當購買5臺時，兩家商場的收費相同；（3）w=50a+（10-a）60=600-10a，當a取最大時，費用最小，∵甲商場只有4臺，∴a取4，W=600-40=560，即從甲商場買4臺，從乙商場買6臺時，總運費最少，最少運費是560元．9．（2023春·八年級課時練習）同一種品牌的空調(diào)在甲、乙兩個電器店的標價均是每臺3000元，現(xiàn)甲、乙兩個電器店優(yōu)惠促銷，甲電器店的優(yōu)惠方案：如果一次購買臺數(shù)不超過5臺時，價格為每臺3000元，如果一次購買臺數(shù)超過5臺時，超過部分按六折銷售；乙電器店的優(yōu)惠方案：全部按八折銷售．設(shè)某校在同一家電器店一次購買空調(diào)的數(shù)量為x（x為正整數(shù)）（I）根據(jù)題意，填寫表格：一次購買臺數(shù)（臺）2615甲電器店收費（元）6000乙電器店收費（元）4800（II）設(shè)在甲電器店購買收費y1元，在乙電器店購買收費y2元，分別寫出y1，y（III）當x>6時，該校在哪家電器店購買更合算？并說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)題意，分別求出每一種情況的費用，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，可分為：當0<x?5時；當x>5時；分別求出表達式即可；（3）設(shè)y1與y2的總費用的差為【解題過程】解：（I）甲購買6臺的收費為：5×3000+1×3000×60%=16800；甲購買15臺的收費為：5×3000+10×3000×60%=33000；乙購買6臺的收費為：6×3000×80%=14400；乙購買15臺的收費為：15×3000×80%=36000；故答案為：16800；33000；14400；36000；（II）當0<x?5時，y1當x>5時，y1即y1∴yy2=3000×80%x=2400x（x>0且（III）設(shè)y1與y2的總費用的差為則y=1800x+6000-2400x，即y=-600x+6000．當y=0時，即-600x+6000=0，解得：x=10．∴當x=10時，選擇甲乙兩家電器店購買均可：∵-600<0，∴y隨x的增大而減?。喈?<x<10時，y1當x>10時，y110．（2023春·八年級課時練習）某中學為籌備校慶，準備印制一批紀念冊．該紀念冊每冊需要10張紙，其中4張彩色頁，6張黑白頁．印刷該紀念冊的總費用由制版費和印刷費兩部分組成，制版費與印數(shù)無關(guān)，價格為2200元，印刷費與印數(shù)的關(guān)系見表．印數(shù)a（千冊）0?a<5a?5彩色（元/張）2.12黑白（元/張）0.80.5（1）若印制2千冊，則共需多少元？（2）該校先印制了x千冊紀念冊，后發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計失誤，補印了y（y?5）千冊紀念冊，且補印時無需再次繳納制版費，學校發(fā)現(xiàn)補印的單冊造價便宜了，但兩次繳納費用恰好相同．①用含x的代數(shù)式表示y．②若該校沒有統(tǒng)計錯誤，一次性打印全部紀念冊，最少需要多少錢？【思路點撥】（1）先根據(jù)印制的冊數(shù)確定彩色頁和黑白頁的單價，然后計算出彩色頁和黑白頁的總頁數(shù)，最后計算需要的錢數(shù)即可得到答案．（2）①分0≤x<5和x≥5兩種情況進行討論，根據(jù)兩次繳納的費用相同列等量關(guān)系即可得到答案；②先算出總冊數(shù)，然后算出相應的彩色頁和黑白頁的單價和頁數(shù)，最后進行計算即可．【解題過程】解：（1）∵印制的冊數(shù)為2千冊，∴彩色頁的單價為2.1元每張，彩色頁的頁數(shù)=2000×4=8000頁，黑白頁的單價為0.8元每張，黑白頁的頁數(shù)=2000×6=12000頁，∴需要的費用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一種情況當0≤x<5時，2.1×4×1000x+0.8×6×1000x+2200=2×4×1000y+0.5×6×1000y，13200x+2200=11000y，即y=1.2x+0.2，∵y≥5，∴1.2x+0.2≥5即4≤x<5；第二種情況當x≥5時，2×4×1000x+0.5×6×1000x+2200=2×4×1000y+0.5×6×1000y，11000x+2200=11000y即y=x+0.2，∴y=1.2x+0.24≤x<5②設(shè)兩次一共需要印刷的冊數(shù)為m，需要的錢數(shù)為W，則m=x+y，W=2×4×1000x+y∴W=11000x+y∴W=11000∴W=11000∴W=24200x+4400故W最小故當x=4，y=5時所需要的的錢數(shù)最少為101200元．11．（2023春·八年級課時練習）我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運完A，B，C三種臍橙共100噸到外地銷售．按計劃，20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種臍橙，且必須裝滿．根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題．臍橙品種ABC每輛汽車運載量/噸654每噸臍橙獲得/百元121610（1）設(shè)裝運A種臍橙的車輛數(shù)為x，裝運B種臍橙的車輛數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．（2）如果裝運每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出每種安排方案．（3）若要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出最大利潤的值．【思路點撥】（1）等量關(guān)系為：車輛數(shù)之和=20；（2）由（1）知，裝運A，B，C三種臍橙的車輛數(shù)分別為x，－2x＋20，x，由題意得－2x＋20≥4，于是解得4≤x≤8，從而得x的值為4，5，6，7，8，即可求解各種方案；（3）總利潤為：裝運A種臍橙的車輛數(shù)×6×12+裝運B種臍橙的車輛數(shù)×5×16+裝運C種臍橙的車輛數(shù)×4×10，然后按x的取值來判定即可．【解題過程】（1）解：根據(jù)題意，裝運A種臍橙的車輛數(shù)為x，裝運B種臍橙的車輛數(shù)為y，那么裝運C種臍橙的車輛數(shù)為（20－x－y），則有6x＋5y＋4（20－x－y）＝100，整理得y＝－2x＋20（0≤x≤10，且x為整數(shù)）．（2）解：由（1）知，裝運A，B，C三種臍橙的車輛數(shù)分別為x，－2x＋20，x，由題意得－2x＋20≥4，解得x≤8．又∵x≥4，∴4≤x≤8．∵x為整數(shù)，∴x的值為4，5，6，7，8，∴安排方案共有5種．方案一：裝運A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車；方案二：裝運A種臍橙5車，B種臍橙10車，C種臍橙5車；方案三：裝運A種臍橙6車，B種臍橙8車，C種臍橙6車；方案四：裝運A種臍橙7車，B種臍橙6車，C種臍橙7車；方案五：裝運A種臍橙8車，B種臍橙4車，C種臍橙8車．（3）設(shè)利潤為W百元，則W＝6x×12＋5（－2x＋20）×16＋4x×10＝－48x＋1600（4≤x≤8）．∵－48＜0，∴W的值隨x的增大而減?。喙蔬x方案一，W最大＝－48×4＋1600＝1408（百元）＝14．08（萬元）．12．（2023春·八年級課時練習）鄭州經(jīng)開區(qū)八大街某運動用品商店準備購買足球、排球兩種商品，每個足球的進價比排球多40元，用4000元購進足球和2400元購進排球的數(shù)量相同．商品將每個足球售價定為130元，每個排球售價定為80元．（1）每個足球和排球的進價分別是多少？（2）根據(jù)商店對運動用品市場調(diào)查，商店計劃用不超過3000元的資金購進足球和排球共40個，其中足球數(shù)量不低于排球數(shù)量的13（3）“六一”期間，該商店開展促銷活動，決定對每個足球售價優(yōu)惠m(8<m<12)元，排球的售價不變．假定這40個球在“六一”期間能夠全部賣完，在2的條件下，請設(shè)計出m的不同取值范圍內(nèi)，銷售這40個球獲得的總利潤最大的進價方案．【思路點撥】（1）設(shè)排球每個進價為x元，則足球每個進價為（x+40）元，根據(jù)用4000元購進足球和2400元購進排球的數(shù)量相同列出方程，姐方程即可；（2）設(shè)商店購買足球a個，則購買排球（40-a）個，根據(jù)商店計劃用不超過3000元的資金購進足球和排球共40個，其中足球數(shù)量不低于排球數(shù)量的13（3）根據(jù)總利潤=足球利潤+排球利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值及此時進貨方案．【解題過程】（1）解：（1）設(shè)排球每個進價為x元，則足球每個進價為（x+40）元，根據(jù)題意得：2400x解得：x=60，經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，∴x+40=60+40=100（元），答：每個足球的進價分別是100元，每個排球的進價分別是60元；（2）解：設(shè)商店購買足球a個，則購買排球40-a個，根據(jù)題意得：100a+6040-a解得：10≤a≤15，∵a是正整數(shù)，∴a的取值為10，11，12，13，14，15，∴該商店有6種進貨方案；（3）解：設(shè)該商店售完40個球所獲得的利潤為w元，由題意得：w=130-100-m①當10-m>0，即m<10時，w隨a的增大而增大，∴當a=15時，w最大，此時購進足球15個，排球25個；②當10-m=0，即m=10時，w=800，此時的進貨方案為：購進足球15個，排球25個；購進足球14個，排球26個；購進足球13個，排球27個；購進足球12個，排球28個；購進足球11個，排球29個；購進足球10個，排球30個．③當10-m<0，即m>10時，w隨a的增大而減小，∴當a=10時，w最大，此時購進足球10個，排球30個．綜上，當m<10時，購進足球15個，排球25個獲得利潤最大；當m=10時，a=10，11，12，13，14，15獲得利潤一樣大；當m>10時，購進足球10個，排球30個獲得利潤最大．13．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）倡導垃圾分類，共享綠色生活，為了對回收的垃圾進行更精準的分類，某機器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機器人，已知2臺A型機器人和5臺B型機器人同時工作2h共分揀垃圾3.6噸，3臺A型機器人和2臺B型機器人同時工作5h共分揀垃圾（1）1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾多少噸？（2）某垃圾處理廠計劃向機器人公司購進一批A型和B型垃圾分揀機器人，這批機器人每小時一共能分揀垃圾20噸，設(shè)購買A型機器人a臺（10≤a≤45），B型機器人b臺，請用含a的代數(shù)式表示b；（3）機器人公司的報價如下表：型號原價購買數(shù)量少于30臺購買數(shù)量不少于30臺A型20萬元/臺原價購買打九折B型12萬元/臺原價購買打八折在（2）的條件下，設(shè)購買總費用為w萬元，問如何購買使得總費用w最少？請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾x噸和y噸，根據(jù)題意列出方程組即可求出答案；（2）根據(jù)題意列出方程，方程變形后即可求出答案．（3）根據(jù)a的取值，求出w與a的函數(shù)關(guān)系，從而求出w的最小值．【解題過程】（1）解：設(shè)1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾x噸和y噸，由題意可知(2x+5y)×2=3.6(3x+2y)×5=8解得x=0.4y=0.2答：1臺A型機器人每小時分揀垃圾0.4噸，1臺B型機器人每小時分揀垃圾0.2噸；（2）由題意可知：0.4a+0.2b=20，∴b=100-2a(10≤a≤45)；（3）當10≤a<30時，此時40<b≤80，∴w=20a+0.8×12(100-2a)=0.8a+960，∵0.8>0，∴w隨a的增大而增大，∴當a=10時，w有最小值，此時w=0.8×10+960=968；當30≤a≤35時，此時30≤b≤40，∴w=0.9×20a+0.8×12(100-2a)=-1.2a+960，∵-1.2<0，∴w隨a的增大而減小，∴當a=35時，w有最小值，此時w=918；當35<a≤45時，此時10<b≤30，∴w=0.9×20a+12(100-2a)=-6a+1200，∵-6<0，∴w隨a的增大而減小，當a=45時，w有最小值，此時w=-6×45+1200=930．答：選購A型號機器人35臺時，總費用w最少，此時需要918萬元．14．（2022秋·八年級課時練習）某汽車運輸公司為了滿足市場需要，推出商務(wù)車和轎車對外租賃業(yè)務(wù)．下面是樂山到成都兩種車型的限載人數(shù)和單程租賃價格表：車型每車限載人數(shù)（人）租金（元/輛）商務(wù)車6300轎

車4（1）如果單程租賃2輛商務(wù)車和3輛轎車共需付租金1320元，求一輛轎車的單程租金為多少元？（2）某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業(yè)務(wù)培訓，擬單程租用商務(wù)車或轎車前往．在不超載的情況下，怎樣設(shè)計租車方案才能使所付租金最少？【思路點撥】（1）本題可假設(shè)轎車的租金為x元，并根據(jù)題意列方程求解即可．（2）本題可利用兩種方法求解，核心思路均是分類討論，討論范圍分別是兩車各租其一以及兩車混合租賃，方法一可利用一次函數(shù)作為解題工具，根據(jù)函數(shù)特點求解本題；方法二則需要利用枚舉法求解本題．【解題過程】解：（1）設(shè)租用一輛轎車的租金為x元．由題意得：300×2+3x=1320．解得

x=240，答：租用一輛轎車的租金為240元．（2）方法1：①若只租用商務(wù)車，∵346∴只租用商務(wù)車應租6輛，所付租金為300×6=1800（元）；②若只租用轎車，∵344∴只租用轎車應租9輛，所付租金為240×9=2160（元）；③若混和租用兩種車，設(shè)租用商務(wù)車m輛，租用轎車n輛，租金為W元．由題意，得

6m+4n=34由6m+4n=34，得4n=-6m+34，∴W=300m+60(-6m+34)=-60m+2040，∵-6m+34=4n≥0，∴m≤17∴1≤m≤5，且m為整數(shù)，∵W隨m的增大而減小，∴當m=5時，W有最小值1740，此時n=1，綜上，租用商務(wù)車5輛和轎車1輛時，所付租金最少為1740元．方法2：設(shè)租用商務(wù)車m輛，租用轎車n輛，租金為W元．由題意，得

6m+4n=34由6m+4n=34，得4n=-6m+34≥0，∴m≤17∵m為整數(shù)，∴m只能取0，1，2，3，4，5，故租車方案有：不租商務(wù)車，則需租9輛轎車，所需租金為9×240=2160（元）；租1商務(wù)車，則需租7輛轎車，所需租金為1×300+7×240=1980（元）；租2商務(wù)車，則需租6輛轎車，所需租金為2×300+6×240=2040（元）；租3商務(wù)車，則需租4輛轎車，所需租金為3×300+4×240=1860（元）；租4商務(wù)車，則需租3輛轎車，所需租金為4×300+3×240=1920（元）；租5商務(wù)車，則需租1輛轎車，所需租金為5×300+1×240=1740（元）；由此可見，最佳租車方案是租用商務(wù)車5輛和轎車1輛，此時所付租金最少，為1740元．15．（2023春·云南昭通·八年級?？计谀┠成虉鰷蕚滟忂MA，B兩種書包，每個A種書包比B種書包的進價少20元，用700元購進A種書包的個數(shù)是用450元購進B種書包個數(shù)的2倍，A種書包每個標價是90元，B種書包每個標價是130元．請解答下列問題：（1）A，B兩種書包每個進價各是多少元？（2）若該商場購進B種書包的個數(shù)比A種書包的2倍還多5個，且A種書包不少于18個，購進A，B兩種書包的總費用不超過5450元，則該商場有哪幾種進貨方案？（3）該商場按（2）中獲利最大的方案購進書包，在銷售前，拿出5個書包贈送給某希望小學，剩余的書包全部售出，其中兩種書包共有4個樣品，每種樣品都打五折，商場仍獲利1370元．請直接寫出贈送的書包和樣品中，A種，B種書包各有幾個？【思路點撥】（1）設(shè)A種書包每個進價是x元，根據(jù)題意列出方程700x（2）設(shè)購進A種書包m個，根據(jù)題意得出不等式70m+90（2m+5）≤5450，求出m，再結(jié)合A種書包不少于18個，得出m的取值范圍，從而可得方案；（3）根據(jù)獲利最大得到購進A種書包20個，則B種書包45個，設(shè)贈送的書包中，A種書包s個，樣品中有t個A種書包，則B種書包5-s個，樣品中有4-t個B種書包，根據(jù)獲利1370元得到方程，再求出符合題意的整數(shù)解即可.【解題過程】解：（1）設(shè)A種書包每個進價是x元，則B種書包每個進價是x+20元，由題意可得：700x解得：x=70，經(jīng)檢驗：x=70是原方程的解，70+20=90元，∴A，B兩種書包每個進價各是70元和90元；（2）設(shè)購進A種書包m個，則B種書包2m+5個，m≥18，根據(jù)題意得：70m+90（2m+5）≤5450，解得：m≤20，則18≤m≤20，∴共有3種方案：購進A種書包18個，則B種書包41個；購進A種書包19個，則B種書包43個；購進A種書包20個，則B種書包45個；（3）設(shè)獲利W元，則W=（90-70）m+（130-90）（2m+5）=100m+200，∵100＞0，∴W隨m的增大而增大，則當m=20時，W最大，則購進A種書包20個，則B種書包45個，設(shè)贈送的書包中，A種書包s個，樣品中有t個A種書包，則B種書包5-s個，樣品中有4-t個B種書包，則此時W=（20-s-t）×（90-70）+t（90×0.5-70）+（45-5+s-4+t）×（130-90）+（4-t）（130×0.5-90）-70s-（5-s）×90=1370，整理得：2s+t=4，即s=4-t根據(jù)題意可得兩種書包都需要有樣品，則t≠0且t≠4，∴t=2，s=1，∴贈送的書包中，A種書包有1個，B種書包有4個，樣品中A種書包有2個，B種書包有2個.16．（2023春·八年級單元測試）某商店決定購進A、B兩種紀念品．已知每件A種紀念品的價格比每件B種紀念品的價格多5元，用800元購進A種紀念品的數(shù)量與用400元購進B種紀念品的數(shù)量相同．（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？（2）若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀念品的資金不少于800元，且不超過850元，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）已知商家出售一件A種紀念品可獲利m元，出售一件B種紀念品可獲利（6﹣m）元，試問在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？（商家出售的紀念品均不低于成本價）【思路點撥】（1）設(shè)購進A種紀念品每件價格為m元，B種紀念幣每件價格為m-5元，根據(jù)題意得出分式方程，解方程組即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A種紀念品x件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式組，解不等式組得出x的取值范圍，即可得出結(jié)論；（3）找出總利潤關(guān)于購買A種紀念品x件的函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)的性質(zhì)確定總利潤取最值時x的值，從而得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）設(shè)購進A種紀念品每件價格為m元，B種紀念幣每件價格為m-5元，根據(jù)題意可知：800m=400m-5=5．答：購進A種紀念品每件需要10元，B種紀念品每件需要5元．（2）設(shè)購進A種紀念品x件，則購進B種紀念品100-x件，根據(jù)題意可得：800≤10x+5×(100-x)≤850，解得：60≤x≤70，∵x只能取正整數(shù)，∴x=60,61,???,70，共有11種情況，故該商店共有11種進貨方案分別為：A種70件，B種30件；A種69件，B種31件；A種68件，B種32件；A種67件，B種33件；A種66件，B種34件；A種65件，B種35件；A種64件，B種36件；A種63件，B種37件；A種62件，B種38件；A種61件，B種39件；A種60件，B種40件．（3）銷售總利潤為W=mx+(100-x)(6-m)=(2m-6)x+600-100m，∵商家出售的紀念品均不低于成本價，∴m>0，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，當2m-6≥0時，即m≥3，W隨著x增大而增大，當x=70時，W取到最大值；即方案為：A種70件，B種30件時可獲利最多；當2m-6<0時，即0<m<3，W隨著x增大而減小，當x=60時，W取到最大值；即方案為：A種60件，B種40件時可獲利最多．17．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）某公司有100個工人生產(chǎn)A、B、C三種型號的產(chǎn)品，每個工人每天只能生產(chǎn)一種型號的產(chǎn)品，每個工人每天生產(chǎn)三種型號產(chǎn)品的數(shù)量及每個A、B、C型號產(chǎn)品獲利情況如下表所示．每天生產(chǎn)A、B、C三種型號產(chǎn)品共1240個．設(shè)安排x(名)工人生產(chǎn)A型號產(chǎn)品，安排y(ABC每個工人每天生產(chǎn)數(shù)量/個151210每個產(chǎn)品獲利/元182030（1）分別求出y與x及w與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）若生產(chǎn)A、B、（3）若要使每天獲利最大，應采用哪種安排方案？求出最大利潤．【思路點撥】（1）根據(jù)題意中的數(shù)量關(guān)系列方程即可；（2）根據(jù)生產(chǎn)A、B、C每種都不小于27人，列不等式組，根據(jù)（1）中的（3）根據(jù)（1）中w與x的函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，w隨x的增大而增大，當x取得最大值，當x=36時，w的值最大，由此即可求解．【解題過程】（1）解：每個工人每天只能生產(chǎn)一種型號的產(chǎn)品，每天生產(chǎn)A、B、C三種型號產(chǎn)品共1240個，安排x(名)工人生產(chǎn)A型號產(chǎn)品，安排y(名)工人生產(chǎn)B型號產(chǎn)品，則安排了