PAGE直線與圓的方程一、直線的方程1、傾斜角：L ，范圍0≤＜，若軸或與軸重合時(shí)，=00。2、斜率：k=tan與的關(guān)系：=0=0已知L上兩點(diǎn)P1（x1,y1）0＜＜P2（x2,y2）=不存在k=當(dāng)=時(shí)，=900，不存在。當(dāng)時(shí)，=arctank，＜0時(shí)，=+arctank3、截距（略）曲線過原點(diǎn)橫縱截距都為0。4、直線方程的幾種形式已知方程說明幾種特殊位置的直線斜截式K、bY=kx+b不含y軸和行平于y軸的直線①x軸：y=0點(diǎn)斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含y軸和平行于y軸的直線②y軸：x=0兩點(diǎn)式P1(x1,y1)P2(x2,y2)不含坐標(biāo)輛和平行于坐標(biāo)軸的直線③平行于x軸：y=b截距式a、b不含坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線④平行于y軸：x=a⑤過原點(diǎn)：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B不同時(shí)為0兩個(gè)重要結(jié)論：①平面內(nèi)任何一條直線的方程都是關(guān)于x、y的二元一次方程。②任何一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線。5、直線系：（1）共點(diǎn)直線系方程：p0（x0,y0）為定值，k為參數(shù)y-y0=k（x-x0）特別：y=kx+b，表示過（0、b）的直線系（不含y軸）（2）平行直線系：①y=kx+b，k為定值，b為參數(shù)。②AX+BY+入=0表示與Ax+By+C=0平行的直線系③BX-AY+入=0表示與AX+BY+C垂直的直線系（3）過L1,L2交點(diǎn)的直線系A(chǔ)1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）6、三點(diǎn)共線的判定：①，②KAB=KBC，③寫出過其中兩點(diǎn)的方程，再驗(yàn)證第三點(diǎn)在直線上。二、兩直線的位置關(guān)系1、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1與L2組成的方程組平行K1=k2且b1≠b2無解重合K1=k2且b1=b2有無數(shù)多解相交K1≠k2有唯一解垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0（說明：當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，要單獨(dú)考慮）2、L1

到L2的角為0，則（）3、夾角：4、點(diǎn)到直線距離：（已知點(diǎn)（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）①兩行平線間距離：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0②與AX+BY+C=0平行且距離為d的直線方程為Ax+By+C±③與AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距離相等的直線方程是5、對稱：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：p(x1,y1)關(guān)于M（x0,y0）的對稱（2）點(diǎn)關(guān)于線的對稱：設(shè)p(a、b)對稱軸對稱點(diǎn)對稱軸對稱點(diǎn)X軸Y=-xY軸X=m(m≠0)y=xy=n(n≠0)一般方法：如圖：(思路1)設(shè)P點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)為P0(x0,y0)則Kpp0﹡KL=－1P,P0中點(diǎn)滿足L方程解出P0(x0,y0)（思路2）寫出過P⊥L的垂線方程，先求垂足，然后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P0(x0,y0)的坐標(biāo)。 P y L P0 x（3）直線關(guān)于點(diǎn)對稱L：AX+BY+C=0關(guān)于點(diǎn)P（X0、Y0）的對稱直線：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0（4）直線關(guān)于直線對稱①幾種特殊位置的對稱：已知曲線f(x、y)=0關(guān)于x軸對稱曲線是f(x、-y)=0關(guān)于y=x對稱曲線是f(y、x)=0關(guān)于y軸對稱曲線是f(-x、y)=0關(guān)于y=-x對稱曲線是f(-y、-x)=0關(guān)于原點(diǎn)對稱曲線是f(-x、-y)=0關(guān)于x=a對稱曲線是f(2a-x、y)=0關(guān)于y=b對稱曲線是f(x、2b-y)=0一般位置的對稱、結(jié)合平幾知識找出相關(guān)特征，逐步求解。三、簡單的線性規(guī)劃LY不等式表示的區(qū)域OXAX+BY+C=0約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。要點(diǎn)：①作圖必須準(zhǔn)確（建議稍畫大一點(diǎn)）。②線性約束條件必須考慮完整。③先找可行域再找最優(yōu)解。四、圓的方程1、圓的方程：①標(biāo)準(zhǔn)方程，c（a、b）為圓心，r為半徑。②一般方程：，，當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形。③參數(shù)方程：為參數(shù)以A（X1，Y1），B（X2，Y2）為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：考察點(diǎn)到圓心距離d，然后與r比較大小。3、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離判定：①聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)一元二次方程：△＞0相交、△＝0相切、△＜0相離②利用圓心c(a、b)到直線AX+BY+C=0的距離d來確定：d＜r相交、d＝r相切d＞r相離（直線與圓相交，注意半徑、弦心距、半弦長所組成的kt△）4、圓的切線：（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程與圓相切于點(diǎn)（x1、y1）的切線方程是與圓相切于點(diǎn)（x1、y1）的切成方程為：與圓相切于點(diǎn)（x1、y1）的切線是（2）過圓外一點(diǎn)切線方程的求法：已知：p0(x0，y0)是圓外一點(diǎn)①設(shè)切點(diǎn)是p1(x1、y1)解方程組先求出p1的坐標(biāo)，再寫切線的方程②設(shè)切線是即再由，求出k，再寫出方程。（當(dāng)k值唯一時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形、考察是否有垂直于x軸的切線）③已知斜率的切線方程：設(shè)（b待定），利用圓心到L距離為r，確定b。5、圓與圓的位置關(guān)系由圓心距進(jìn)行判斷、相交、相離（外離、內(nèi)含）、相切（外切、內(nèi)切）6、圓系①同心圓系：，（a、b為常數(shù)，r為參數(shù)）或：（D、E為常數(shù)，F(xiàn)為參數(shù)）②圓心在x軸：③圓心在y軸：④過原點(diǎn)的圓系方程⑤過兩圓和的交點(diǎn)的圓系方程為（不含C2），其中入為參數(shù)若C1與C2相交，則兩方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵圓心在上，故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點(diǎn)．∴解之得：，．所以所求圓的方程為．解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)椋实男甭蕿?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為∴半徑．故所求圓的方程為．又點(diǎn)到圓心的距離為．∴點(diǎn)在圓外．說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例2求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓．圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或．又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3．若兩圓相切，則或．(1)當(dāng)時(shí)，，或(無解)，故可得．∴所求圓方程為，或．(2)當(dāng)時(shí)，，或(無解)，故．∴所求圓的方程為，或．說明：對本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所以欲求圓的方程為，或．上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面的．例3求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解：∵圓和直線與相切，∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點(diǎn)，∴圓心只能在直線上．設(shè)圓心∵到直線的距離等于，∴．化簡整理得．解得：或∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．∴所求圓的方程為或．說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．例4、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程．解法一：設(shè)圓心為，半徑為．則到軸、軸的距離分別為和．由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．∴又圓截軸所得弦長為2．∴．又∵到直線的距離為∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號，此時(shí)．這時(shí)有∴或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得．∴．∴．將代入上式得：．上述方程有實(shí)根，故，∴．將代入方程得．又∴．由知、同號．故所求圓的方程為或．說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線．解：∵點(diǎn)不在圓上，∴切線的直線方程可設(shè)為根據(jù)∴解得所以即因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解．本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解．例6兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧．解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：①②①－②得：．∵、的坐標(biāo)滿足方程．∴方程是過、兩點(diǎn)的直線方程．又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的．∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識．它的應(yīng)用很廣泛．例7、過圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求直線的方程。練習(xí)：1．求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程．解：設(shè)切線方程為，即，∵圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得， ∴切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或．2、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為解：設(shè)直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或.3、已知直線與圓相切，則的值為.解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.類型三：弦長、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.例13圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．解法一：圓的圓心為，半徑．設(shè)圓心到直線的距離為，則．如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，．∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則．∴圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)．顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．練習(xí)1：直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是解：依題意有，解得.∵，∴.練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是.解：依題意有，解得，∴的取值范圍是.練習(xí)3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（）．（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C．練習(xí)4、過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示．分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．PEOyxPEOyx即根據(jù)有整理得解得．類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例14、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有條。解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是.解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實(shí)數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例16、圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是GOBNMyAx圖3CA’例17GOBNMyAx圖3CA’（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例19(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．則（其中）．所以，．(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1．所以．．所以．．(2)(法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．則．令，得，．所以，．即的最大值為，最小值為．此時(shí)．所以的最大值為，最小值為．(法2)設(shè)，則．由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．例20：已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為.練習(xí)：1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.2設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍．分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)則有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的幾何意義是過圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值范圍．解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離．∴解得：．另外，直線與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實(shí)根，故，解之得：．說明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．3、已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.例22、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難．由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．解：設(shè)，，連結(jié)，，則，，是切線，所以，，，所以四邊形是菱形．所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識．采取代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．類型九：圓的綜合應(yīng)用例24、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，，在直角三角形中，若設(shè)，則．由，即，也即，這便是的軌跡方程．解法二：設(shè)、、，則，．又，即．①又與的中點(diǎn)重合，故，，即②①＋②，有．這就是所求的軌跡方程．解法三：設(shè)、、，由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有，①，②又由有③聯(lián)立①、②、③消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為．說明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了、、、四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.解：設(shè).∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，化簡得.當(dāng)時(shí)，化簡得，整理得；當(dāng)時(shí)，化簡得.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.2、已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡得，∴點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.4、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問點(diǎn)的軌跡是什么？解：設(shè).∵，∴，∴，∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程是.例5、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是.解：設(shè).∵是的平分線，∴，∴.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，的中點(diǎn)為.∵是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.∵直線經(jīng)過定點(diǎn)，∴，∴，化簡得.∴點(diǎn)的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、．一方面，由，得，即，也即：．①另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程②的兩個(gè)根．∴，．③又、在直線上，∴．將③代入，得．④將