莆田第二十五中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中考試卷考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）x2x3AxN|0,B{x|x1AeBx1.已知集合或，則R（）0,12D.A.B.C.122.“若x,2x10恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)可能取值是（），3x2A22B.23C.4D.53.華羅庚說：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．”所以研究函1fxx3x的部分圖象可能是（數(shù)時(shí)往往要作圖，那么函數(shù)）2A.B.C.D.y=x2，4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)x1，x1,2y=x2即為“同值函數(shù)”，給出下面四個(gè)函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函與函數(shù)數(shù)”的是（）x12yx3yxC.2yx1D.A.yB.axfx在區(qū)間xa上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（5.設(shè)函數(shù)）12D.,1A.B.C.ABCD表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP與平面16.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體角為45°，則點(diǎn)P的軌跡長度為（ABCD所成的111）第1頁/共6頁A.π427.已知函數(shù)B.42π,x0C.23D.32π2xx1f(x)f(x)xaxa無實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，若關(guān)于的方程x,x0x1,0,1A.eB.D.01C.e8.已知是定義在R上的偶函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)滿足fx，且在2022xfxf2xfxaf2,bf2e2,cf，則a,b,c上單調(diào)遞增，設(shè)的大小關(guān)系是（）3A.cbaB.bcaC.cabD.bac二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對的得2分，全部選對的得5分.）n1N的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的可能取值為（9.已知xnxn）3A.4B.6C.8D.1010.A為“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”件B為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種114PBAC.D.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是62711.如圖，圓錐SO的底面圓O的直徑AC4，母線長為22，點(diǎn)B是圓O上異于A的動(dòng)點(diǎn)，則下，C列結(jié)論正確的是（）第2頁/共6頁A.SC與底面所成角為45°B.圓錐SO的表面積為42πππ的取值范圍是C.,42D.若點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn)，則二面角SBCO的平面角大小為45°12.定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿fx,f1f3x2gxxRfxf2xx,y,x,y,,x,y，則2023gxg4x足，若ygxyfx與恰有2023個(gè)交點(diǎn)11222023下列說法正確的是（）x1為的對稱軸fxf20232yA.B.D.C.f004046xiyii1三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）i2z13.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．1i．按15%，35%，35%，15%的比例將考試成績劃N76,1614.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,B,C,D為四個(gè)等級，其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為A等級，則B等級的分?jǐn)?shù)應(yīng)為___________區(qū)間表示）15.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有__________種APPPPPPP、23的中點(diǎn)，現(xiàn)將，△AP1B，BP2C16.如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別為12312APCPP2P，重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐3PABC分別沿AB，PABCBC，折起使點(diǎn)，P，則1三棱錐的外接球表面積為______.第3頁/共6頁四、解答題（本大題共6題，共70分）Ba,b,c，且bsinCcsin的對邊分別為17.已知的內(nèi)角（1）求角B；,B,C．2的面積．（2）若b13,ca，求是公差不為的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．a(chǎn)n38a,a,a18.設(shè)01311（1）求的通項(xiàng)公式：an3bnbnS的前項(xiàng)和．n（2）設(shè)，求數(shù)列nan1nAB上，且CD.1-ABC19.如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在棱1111//平面CDB（1）求證：；1π-ABCDCB的大小為，求直線到平面1（2）若正三棱柱的底面邊長為2，二面角1113CDB的距離.120.某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對．1方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是，乙3選擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題．第4頁/共6頁（1）求甲答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為，求的分布列；，且這3道題是否答對相互之間沒有影響，pp0,1（3）若丙答對這3道題中每一道題的概率都是ppp1p與的大小．2丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為，選擇方案二通過第一關(guān)的概率為，直接比較12x22y2233,01ab0的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為F21.已知橢圓E：，離心率為.ab3（1）求E的方程；kk0（2）若過坐標(biāo)原點(diǎn)O且斜率為，求直線的直線l與交于，兩點(diǎn)，直線EABAFE的另一個(gè)交點(diǎn)為C與，46.的面積為的方程5fxx2eaxaR22.已知函數(shù)的單調(diào)性．fxx．（1）若a2，討論2axxfxx3ex恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．2x,x（2）已知關(guān)于的方程12a（i）求的取值范圍；xx4（ii）求證：．12第5頁/共6頁莆田第二十五中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中考試卷考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）x2x3AxN|0,B{x|x1AeBx1.已知集合或，則R（）0,12D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合A，然后根據(jù)集合的運(yùn)算可得答案.x2x302x3，【詳解】由可得A1,2，所以集合eBx|1x2，所以AIeB因?yàn)?，RR故選：B.122.“若x,2x10恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)可能取值是（），3x2A.22B.23C.4D.5【答案】A【解析】1x13x3x【分析】由題得到恒成立，求出即可得到答案.x11【詳解】x,2恒成立，2x10，即3x，3x2x11133x23x23，當(dāng)且僅當(dāng)3x時(shí)等號成立，故23.，即xxxx3對比選項(xiàng)知A滿足.故選：A3.華羅庚說：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．”所以研究函1fxx3x的部分圖象可能是（數(shù)時(shí)往往要作圖，那么函數(shù)）2第1頁/共23頁A.C.B.D.【答案】D【解析】1x，，排除，繼而得解fx0【分析】根據(jù)奇偶性排除BC，根據(jù)當(dāng)時(shí)6A.112fx，所以為偶函數(shù)，fxx3xx3xfxfx【詳解】因?yàn)榕懦鼴C，1，所以2x，時(shí)，x03x0，當(dāng)，且61x，1fxx3x0，排除A；所以當(dāng)時(shí)，62故選：D.y=x2，4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)x1，x1,2y=x2即為“同值函數(shù)”，給出下面四個(gè)函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函與函數(shù)數(shù)”的是（）x12yx3yxC.2yx1D.A.yB.【答案】D【解析】yx1【分析】由題意得到函數(shù)不單調(diào)才能符合要求，ABC錯(cuò)誤，D中【詳解】要想能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，不單調(diào)，且可舉出實(shí)例.1x2yx3ABC選項(xiàng)，y在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，第2頁/共23頁ylog2x上單調(diào)遞增，ABC錯(cuò)誤；在yx1在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,1D選項(xiàng)，yx1x2與函數(shù)yx1x，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.不妨設(shè)，，故選：Daxfxxa上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間）12D.,1A.B.C.【答案】C【解析】ax在區(qū)間a0、a0、0x上單調(diào)性可得答案.axfxx在【詳解】單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，12ax在區(qū)間根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得x上單調(diào)遞增，a1，a,單調(diào)遞增，需滿足axa0當(dāng)時(shí)，x在當(dāng)a0滿足題意，ax在單調(diào)遞增，則在區(qū)間當(dāng)0時(shí)，x上單調(diào)遞增aax0，則最小值10a1，又需滿足真數(shù)，即x1綜上1a1．故選：C．ABCD表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP與平面16.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體角為45°，則點(diǎn)P的軌跡長度為（ABCD所成的111）第3頁/共23頁A.π42B.42πC.23D.32π【答案】A【解析】【分析】先利用直線AP與平面ABCD所成的角為ABCD內(nèi)，145°求得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡長度.PP【詳解】若點(diǎn)P在正方形111ABCD于PAP,AP，連接.1過點(diǎn)P作PP平面則為直線AP與平面所成的角，則PAP，ABCD2，又PP2，則22，則1AABCD則點(diǎn)P的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形11111ABABAD1,內(nèi)，軌跡分別為線段，1若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或1111因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，π2+22+22=π42所以點(diǎn)P的軌跡長度為.2故選：A2x,x0,x0x1f(x)f(x)xaa無實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為x，若關(guān)于的方程7.已知函數(shù)xx1,0,1A.eB.D.01C.e【答案】D【解析】第4頁/共23頁yxafxyfx圖像與直線aa出切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到臨界狀態(tài)時(shí)的值，從而得到的范圍，得到答案.f(x)xayf(x)yxa無交點(diǎn).【詳解】方程無實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線2x,x0x1f(x)畫出函數(shù)的圖像，如圖，x,x0x2xx1yxaf(x)(x0)必有交點(diǎn)，由圖像知，當(dāng)a0時(shí)，直線與曲線xyxaPx,y相切時(shí)，切點(diǎn)為00，a0f(x)(x0)當(dāng)由時(shí)，設(shè)直線與曲線x1xf(x)，x2代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)0得切線的斜率，101，解得0P01，則所以，x20yx1a1.得所以切線方程為，a由圖像知實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，屬于中檔題.8.已知是定義在R上的偶函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)滿足fx，且在2022xfxf2xfx,cf，則a,b,c的大小關(guān)系是（af2,bf2e2上單調(diào)遞增，設(shè)）3第5頁/共23頁A.cba【答案】A【解析】B.bcaC.cabD.bacfxf2x【分析】利用函數(shù)奇偶性以及可知的周期為2，且在上單調(diào)遞減，將表達(dá)式fx2ln32ln3化簡可得，cf，又易知<<21<即可得cba.a,b,caf，bf20fxf2xfx2【詳解】根據(jù)題意可知，即可得fxfx2，所以函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，fx又在2022fx1,0上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；fx根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，fx23af2f2f3又3f22f2bf2e2f2e2cf2021f12ln320<<2<1，即fln3f2f1>>；顯然ln31，所以可得因此可得cba.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對的得2分，全部選對的得5分.）n1N的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的可能取值為（9.已知xnxn）3A.4B.6C.8D.10【答案】AC【解析】4nr0n，可得與r的關(guān)系，用賦值法從而可得出結(jié)論.【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再令3n114rxnNrxn，其中【詳解】展開式的通項(xiàng)為：r11Crrnxnrx1Crrn333x第6頁/共23頁r,n；43nr0rn，可知n為4的倍數(shù)，故B、D錯(cuò)誤；令當(dāng)，則34r3nr6n為8；時(shí)，最小為4；當(dāng)時(shí)，故選：AC.10.A“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”件B為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種114PBAC.D.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是627【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出答案；B選項(xiàng)，根據(jù)部分平均分組方法計(jì)算出答案；C選項(xiàng)，，利用條件概率公式求出答案；D選項(xiàng)，求出四個(gè)人只去nAnAB利用排列組合知識得到，6了兩個(gè)景點(diǎn)的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率.【詳解】A選項(xiàng)，每個(gè)人都有3種選擇，故共有3481種旅游方案，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，每個(gè)景點(diǎn)都有人去，則必有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，C24AC1C11222A3336故有種方案，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，恰有兩人所去景點(diǎn)相同，即有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，由B選項(xiàng)可知，nA，又事件AB，即小張去甲景點(diǎn)，另外3人有兩人去了同一個(gè)景點(diǎn)，其余1人去另一個(gè)景點(diǎn)，nABC故23C11A226，nnA1所以，C正確；PBA6D選項(xiàng)，“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”，分為2種情況，CC34C11A2324第一，有3人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外一個(gè)去另外一個(gè)景點(diǎn)，則有種方案，C2422A318種方案，2第二，2人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外2人去了另一個(gè)景點(diǎn)，故有由A選項(xiàng)可知，這四人不同的旅游方案共有81種，A22第7頁/共23頁241814故“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率為故選：CD，D正確.812711.如圖，圓錐SO的底面圓O的直徑AC4，母線長為22，點(diǎn)B是圓O上異于A的動(dòng)點(diǎn)，則下，C列結(jié)論正確的是（）A.SC與底面所成角為45°B.圓錐SO的表面積為42πππ的取值范圍是C.,42D.若點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn)，則二面角SBCO的平面角大小為45°【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)SO面，由SCOBSO判斷；對于，由圓錐的側(cè)面積公式求解SCπ2ASBSDO判斷；對于C，由求解判斷；對于D，取BC的中點(diǎn)D，連接，，易得為二面角SBCO的平面角求解判斷.【詳解】對于A，因?yàn)镾O面，所以與底面所成角，SCO是SC在Rt△中，圓錐的母線長是22，半徑r2，22則cosSCO，所以，則A正確；SC222對于B，圓錐SO的側(cè)面積為rl42π，表面積為42π+4π，則B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，ASB0為最小角，πASB當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，達(dá)到最大值，2π2ASB又因?yàn)锽與A，C不重合，則，第8頁/共23頁ππ42又2SABASBπ，可得對于D，如圖所示，SAB,，則C正確；，BCD，為，，連接，又OAC的中點(diǎn)，則//取的中點(diǎn)BCODSOBC因?yàn)?，所以，又面，面，所以，SOODO，又，面，故SDOSBCO的平面角，所以為二面角12SOAB22，2tanSDO2AC，則錯(cuò)誤.D因?yàn)辄c(diǎn)B為弧故選：AC.的中點(diǎn)，所以，則12.定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿fx,f1f3x2gxxRfxf2xx,y,x,y,,x,y，則2023gxg4x足，若yygxfx與恰有2023個(gè)交點(diǎn)11222023下列說法正確的是（）x1為的對稱軸fxf20232yA.B.D.C.f00xy4046iii1【答案】BCD【解析】f(2x)f(x)x1對稱，由f(3x2)【分析】由，得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線是奇函數(shù)，得f(x)的圖象關(guān)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，由此可判斷g(x)g(4x)g(x)，得(2,0)f(x)4于點(diǎn)對稱，從而得是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，由(2,0)f(x)g(x)與(2,0)對稱，從而知的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)各選項(xiàng)．【詳解】f(2x)f(x)x1對稱，B正確；，則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線f(3x2)f(3x2)f(3x2)f(t2)ft2)(2,0)的圖象關(guān)于點(diǎn)對是奇函數(shù)，即，，則f(x)稱，f(2)0，f(0)f(2)0，C正確；第9頁/共23頁f(x2)f(2x)fxf(x)f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是周期所以，從而f(2023)ff2，A錯(cuò)；(2,0)g(x)函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，(2,0)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)又g(x)g(4x)，g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因此f(x)與(2,0)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，i220234046i(xy)x，D正確．iii1i1i1故選：BCD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）i2z13.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．1i【答案】四【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)幾何意義即可得到答案.i141izi，2z【詳解】，則21i1i4111144zi，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,所以，44故其在第四象限，故答案為：四.．按15%，35%，35%，15%的比例將考試成績劃N76,1614.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,B,C,D為四個(gè)等級，其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為A等級，則B等級的分?jǐn)?shù)應(yīng)為___________區(qū)間表示）【答案】[76,83)【解析】【分析】根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解．【詳解】設(shè)考試成績?yōu)閄，76，P(X76)0.5，P(X0.15，由題意可知，4，P(76XP(X76)P(X0.50.150.35所以，第10頁/共23頁所以B等級的分?jǐn)?shù)應(yīng)為[76,83)，故答案為：[76,83)．15.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有__________種【答案】60【解析】【分析】按“問題元素”優(yōu)先的原則，進(jìn)行分類，然后計(jì)算求解即可.【詳解】此題的難度主要是來自分類，按“問題元素”優(yōu)先的原則，對甲進(jìn)行分類：甲照看第一道工序（甲1丙44乙1“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三種.A25A52A5260.故答案為：60APPPPPPP、23的中點(diǎn)，現(xiàn)將，△AP1B，BP2C16.如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別為12312APCPP2P，重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐3PABC分別沿AB，PABCBC，折起使點(diǎn)，P，則1三棱錐的外接球表面積為______.【答案】54π【解析】PABCPB兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形【分析】根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，成長方體，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球直徑為體對角線長，得解.PABCPB，，兩兩互相垂直，【詳解】根據(jù)題意，折疊成的三棱錐將三棱錐補(bǔ)形成長方體如圖，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，，的三條側(cè)棱外接球的直徑等于以PB,為長、寬、高的長方體的對角線長，PA6，PBPC3，2RPAPBPC369954，222第11頁/共23頁所以外接球的表面積S4Rπ2R54π.22故答案為：54π.四、解答題（本大題共6題，共70分）Ba,b,c，且bsinCcsin的對邊分別為17.已知的內(nèi)角（1）求角B；,B,C．2的面積．（2）若b13,ca，求23【答案】（1）π33（2）4【解析】B123Bπ；1）根據(jù)題意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得，結(jié)合角B的范圍即可求得222（2）由（1Bπ以及b13,caac3，利用余弦定理計(jì)算可解得，再由三角形面積公式3即可得的面積.【小問1詳解】BB根據(jù)bsinCcsin，由正弦定理可得sinBsinCsinCsin，22BBBB1又sinC0，所以可得sinB2sincossin，即；22222BπBπ，所以因?yàn)?323即Bπ．【小問2詳解】23由b13,ca結(jié)合（1）中的結(jié)論Bπ，1，2a2c22acB，即13a29a6a22由余弦定理可得b2第12頁/共23頁1，即ac3，解得a21213334所以SacsinB13．2233即.4是公差不為等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．a(chǎn)38a,a,a18.設(shè)0的n1311（1）求的通項(xiàng)公式：an3bnbn的前項(xiàng)和S（2）設(shè)，求數(shù)列．nan1nnan1n【答案】（1）nSn（2）6n4【解析】1）設(shè)的公差為，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出通項(xiàng)公式，anda,d1311bn（2）由（1）得【小問1詳解】，再利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.nn1n1n2設(shè)的公差為，adna,a,aa成等比數(shù)列，所以321a11因?yàn)?311a83，所以8282d88d又因?yàn)椋詃d0．2d0d3，所以12d168a2，得，1因?yàn)椋詀23n1n1．故n【小問2詳解】3311b因?yàn)樗?，nn1n2nn1n1n2111111Sn2557n1n2第13頁/共23頁11n．2n26n4AB上，且CD.1-ABC19.如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在棱1111//平面CDB（1）求證：；1π-ABCDCB的大小為，求直線到平面1（2）若正三棱柱2，二面角1113CDB的距離.1【答案】（1）證明見解析3（2）3【解析】1-ABC和CD得CDABD是AB1111∥位線得，證明結(jié)論.1πDCBBCB（2）由二面角的大小為，解得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)第一問的平行和點(diǎn)到平面的13距離公式得出答案.【小問1詳解】-ABCBB1BB1是側(cè)棱，所以平面ABC，在正三棱柱中，111又CDCD1.ABC，所以平面又CD，，BB1，平面BBDBB1AABB，所以CD11AABB平面，111111AABB，所以CDAB，又因?yàn)镃ACB因?yàn)锳B平面，所以D是AB的中點(diǎn).CB于點(diǎn)M，連接DM.因?yàn)镸是的中點(diǎn)，111CB如圖，連接，交11所以DM是ABC的中位線，所以∥，11第14頁/共23頁，平面CDB11平面CDB1//平面CDB，所以.1又1【小問2詳解】ABDDD1//BB1DD1，所以平面ABC.以D為原點(diǎn)，取的中點(diǎn)，可知111分別以DB，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D，1，B1,0,h，，，，-ABCD0,0,0B1,0,0C3,0A1,0,0設(shè)三棱柱的高為h，則1111CD3,0CB3,hCB3,0DA1,0,0.，，，1CDm3y0mx,y,z，則1，取，得11設(shè)平面1的一個(gè)法向量為111CBmx3yhz01111mh,0,1.CBnx3y0BCBnx,y,z22設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，1222CBnx3yhz012220取y21，得n.mnh1222,nm,0,1所以，解得h，所以，mn22h2121//平面CDB1到平面CDB的距離即點(diǎn)A到平面CDB由（1）知，所以直線的距離，1112DAm3231到平面CDB的距離為1因?yàn)?，所以直線.m13312第15頁/共23頁20.某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對．1方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是，乙3選擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題．（1）求甲答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為，求的分布列；，且這3道題是否答對相互之間沒有影響，pp0,1（3）若丙答對這3道題中每一道題的概率都是ppp1p與的大?。?丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為，選擇方案二通過第一關(guān)的概率為，直接比較12【答案】（1）分布列見解析，EX17E（2）分布列見解析，27pp（3）12【解析】1）寫出隨機(jī)變量X的所有取值，求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（2）先分別求出兩人過關(guān)的概率，寫出隨機(jī)變量的所有取值，求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；p,p（3）先分別求出【小問1詳解】由題意，X可取，再作差即可得解.212,3，第16頁/共23頁2328124900313則PXC，PXC，32733121322912233C33PXC，PX，33327所以分布列如下：X012384129P279278421EX1；0123所以279927【小問2詳解】2313217PC甲23C3甲通過的概率乙通過的概率3，3327CC21P乙223，32，可取714027381P01則1，717134，P1127327381717P227381，所以分布列如下：01240817P4081347160E12所以；818127【小問3詳解】1C32p21pC2p33p33p22p3p2p2，，pp2p232p21p，則12第17頁/共23頁p0,1，所以pp2p1p0，2因?yàn)樗?2pp.21x22y2233,01ab0的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為F21.已知橢圓E：，離心率為.ab3（1）求E的方程；kk0（2）若過坐標(biāo)原點(diǎn)O且斜率為，求直線的直線l與交于，兩點(diǎn)，直線EABAFE的另一個(gè)交點(diǎn)為C與，46.的面積為的方程5x2y21【答案】（1）32xy10或xy10（2）【解析】c33,0得a3，再根據(jù)離心率為ecb，求出值，則得到值，則1）由左頂點(diǎn)為求出E的方程.a3xty1，聯(lián)立橢圓方程得t，設(shè)23y2ty40Ax,yCx,y，，則22（2）設(shè)直線方程為1143t2123t1262得到韋達(dá)定理式，利用弦長公式得到y(tǒng)y，則有△，解出122t32t35即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓E的半焦距為cc0.因?yàn)闄E圓E的左頂點(diǎn)為3,0，所以a3.c3又離心率e，所以c1.a3所以b2a2c22，x2y2所以E的方程為【小問2詳解】1.32第18頁/共23頁xty1.由（1）可知，設(shè)直線的方程為xty1t3yty40x消去并整理得22.由2x23y26設(shè)，Cx,y，2Ax,y112t4yyyy則，，12212t32t321t1643t2所以1y2y1y2241y2.t3t223t231223t211265因此△yyS△，122t321，即t1，解得t2xy10或xy10.所以直線的方程為t【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問通常采取設(shè)線法，為了減少計(jì)算，我們引入?yún)?shù)，設(shè)直線的方程為3yty40，則得到韋達(dá)定理式，再利用弦長公式得到其面xty1，聯(lián)立橢圓得到方程t22t積相關(guān)方程，解出參數(shù)即可.fxx2eaxaR22.已知函數(shù)的單調(diào)性．fxx．（1）若a2，討論2axx