8.5.1直線與直線平行預(yù)學(xué)案共學(xué)案預(yù)學(xué)案

平行a∥c【即時(shí)練習(xí)】如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與

HG的位置關(guān)系是(

)A．平行B．相交C．異面D．平行或異面答案：A解析：∵E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，∴EF為△SPN的中位線，GH為△MPN的中位線，則EF∥PN，GH∥PN，由平行公理可得，EF∥HG.故選A.二、空間等角定理?文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__________符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言相等或互補(bǔ)【即時(shí)練習(xí)】

已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(

)A．30° B．150°C．30°或150°

D．大小無法確定答案：C解析：兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角是相等或互補(bǔ)關(guān)系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.故選C.微點(diǎn)撥?基本事實(shí)4說明把平行線的傳遞性推廣到空間也能成立，這個(gè)基本事實(shí)是判斷兩條直線平行的重要方法之一，其關(guān)鍵在于尋找聯(lián)系所證兩條平行直線的第三條直線．

微點(diǎn)撥?(1)空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論合成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同(或方向相反)，則這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對應(yīng)邊方向相同，另一組對應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．(2)空間等角定理表明，把空間中的一個(gè)角平移后，角的大小不變．(3)由空間等角定理可得，如果兩條相交直線與另兩條相交直線對應(yīng)平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．共學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

(1)理解并掌握基本事實(shí)4，并會應(yīng)用其解決相關(guān)直線與直線平行問題．(2)理解等角定理，并會應(yīng)用其解決有關(guān)問題．題型

1基本事實(shí)4【問題探究1】

動手將一張長方形的紙如圖對折幾次后打開，觀察這些折痕有怎樣的位置關(guān)系，并推測平面幾何中“平行線的傳遞性”在空間是否成立．提示：平行，成立．例1

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，求證：EE′∥FF′.證明：∵E，E′分別是AB，A′B′的中點(diǎn)，∴BE＝B′E′.∵BE∥B′E′，∴四邊形EBB′E′是平行四邊形，∴EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.一題多變將本例的條件改為“若M，N分別是A′D′，C′D′的中點(diǎn)”，求證：四邊形ACNM是梯形．

學(xué)霸筆記：用基本事實(shí)4證明直線a∥c時(shí)，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，進(jìn)而由基本事實(shí)4即可得到a∥c.跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形．

題型

2等角定理【問題探究2】

觀察長方體A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1與∠B1C1D1的兩邊分別具有什么關(guān)系，兩角大小關(guān)系如何？再觀察長方體A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1與∠DAB的兩邊分別具有什么關(guān)系，兩角大小關(guān)系如何？提示：∠D1A1B1與∠B1C1D1的兩邊分別平行，兩角大小互補(bǔ)．∠D1A1B1與∠DAB的兩邊分別平行，兩角大小相等．例2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.證明：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M綉C1B1.而C1B1綉B(tài)C，∴F1M綉B(tài)C，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又∵BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點(diǎn)N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.學(xué)霸筆記：運(yùn)用定理判定兩個(gè)角是相等還是互補(bǔ)的途徑有兩種：一是判定兩個(gè)角的方向是否相同；二是判定這兩個(gè)角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角則相等，反之則互補(bǔ)．跟蹤訓(xùn)練2

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：∠MC1N＝∠APB.證明：因?yàn)镹，P分別是BB1，CC1的中點(diǎn)，所以BN綉C1P，所以四邊形BPC1N為平行四邊形，所以C1N∥BP.同理可證C1M∥AP.又∠MC1N與∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.隨堂練習(xí)1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的有(

)A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行答案：D解析：如圖，當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1時(shí)，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1不一定平行．故選D.2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有(

)A．3條

B．4條C．5條

D．6條答案：B解析：由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條：AD，BC，A1D1.所以共有4條．故選B.3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1C1，B1C1，B1B的中點(diǎn)，則∠EFG與∠ABC1(

)A．相等

B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)

D．不確定答案：B解析：由于E，F(xiàn)，G分別為A1C1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B1∥AB，F(xiàn)G∥BC1，所以∠EFG與∠ABC1的兩組對邊分別平行，一組對應(yīng)邊方向相同，一組對應(yīng)邊方向相反，故∠EFG與∠ABC1互補(bǔ)．故選B.4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE