2023-2024學(xué)年四川省成都市武侯區(qū)啟明學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題(4分/題)1.在比例尺為1:50000的交通地圖上，寶應(yīng)到揚(yáng)州的長(zhǎng)度約為1cm,則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為A.5000mB.50000mC.500m2.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了A.黃金分割數(shù)A.3,-2,4B.3,4,-24.下列命題正確的是()D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形5.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.AB//DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OB6.某商場(chǎng)為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分時(shí)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為()AA7.已知△MNP如圖所示，則下列四個(gè)三角形中與△MNP相似的是()8.如圖，在長(zhǎng)為32米，寬為20米的長(zhǎng)方形地面上修筑同樣寬的小路(圖中陰影部分),余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方二、填空題(4分/題)9.已知方程x2-x-1=0有一根為m,則m2-m-2023=10.一個(gè)事件經(jīng)過(guò)5000次試驗(yàn)，它的頻率是0.32,它的概率估計(jì)值是11.已知：如圖，BC//DE,AD=3,AE=4,DB=6,則CE=12.設(shè)xi、xz,是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，則xn+x?=13.如圖，小劉同學(xué)在折疊矩形ABCD中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)E是AD邊的中點(diǎn)時(shí)候，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,延長(zhǎng)BG,交CD于點(diǎn)F.若連接EF,則△EGF≌△EDF,CF=7,DF=9,請(qǐng)你幫她算BC的長(zhǎng)三、解答題(1)x2-2x-3=0(用配方法求解);(2)x(x-1)=2(x-1).15.小湯對(duì)九年級(jí)學(xué)生參與“力學(xué)”、“熱學(xué)”、“光學(xué)”、“電學(xué)”四個(gè)類別的物理實(shí)驗(yàn)情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，每位同學(xué)只能選其中一個(gè)類別，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖1),請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)m=,熱學(xué)對(duì)應(yīng)的圓心角=(2)如圖，當(dāng)小湯隨機(jī)閉合A、B、C、D這4個(gè)開(kāi)關(guān)中任意2個(gè)時(shí)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出燈泡亮的概率.類別頻數(shù)(人數(shù))力學(xué)m熱學(xué)8光學(xué)電學(xué)光學(xué)光學(xué)力學(xué)電路圖16.如圖，我校小辰同學(xué)在學(xué)習(xí)完《利用相似三角形測(cè)高》后，利用標(biāo)桿FC測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度.若標(biāo)桿FC=2.5米，小辰同學(xué)眼高離地面AB=1.5米測(cè)得DC=23米，BC=1米，請(qǐng)你幫他求出學(xué)校體育館ED的高度.(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面積.18.如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10cm,AC=8cm.方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平行于BC;(2)是否存在某時(shí)刻，使線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)平分?若存在，求出此時(shí)的值；一、填空題(4分/題)隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米(米粒大小忽略不計(jì)),則米粒落在圖中陰影部分的概21.如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰22.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.5cm,∠ABC=60°,E,F分別是BC,BD上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=DF,則AE+AF的最小值為23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)Ai,作正方形A?B?C?C,延長(zhǎng)C?B?交x軸于點(diǎn)A2,作正方形A?B?C?C,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第1個(gè)正方形的面積為第n個(gè)正方形的面積為二、解答題24.利用假期期間，我校小晴同學(xué)和小彬同學(xué)進(jìn)購(gòu)了某種卡片，進(jìn)價(jià)為每張2元，當(dāng)商品售價(jià)為5元時(shí)，第一天銷售256張.第二、三天該商品十分暢銷.銷售量持續(xù)走高.在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，第三天的銷售量達(dá)到400張.設(shè)第二、三天平均增長(zhǎng)率不變.(1)求第二、三天的平均增長(zhǎng)率；(2)按此增長(zhǎng)，第四天這一天她們的利潤(rùn)會(huì)達(dá)到多少元?25.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P.(1)求證：∠BAE=∠CEP;(3)在AB邊上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在，請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.備用圖(1)如圖1,在矩形ABCD中，AC與DB交于O,AB=3,AD=4,P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E,F,則PE+PF的值為(2)如圖2,在矩形ABCD中，點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上，將矩形ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C?處.點(diǎn)P為線段MN上一動(dòng)點(diǎn)(不PF為鄰邊作平行四邊形PEQF,若DM=13,CN=5,PEQF的周長(zhǎng)是否為定值?若是，請(qǐng)求出PEQF的周長(zhǎng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線AB、AC、BC的垂線、圖11參考答案一、單選題(4分/題)1.在比例尺為1:50000的交通地圖上，寶應(yīng)到揚(yáng)州的長(zhǎng)度約為1cm,則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為A.5000mB.50000mC.500mD【分析】比例尺=圖上距離與實(shí)際距離的比，由此即可計(jì)算.∴寶應(yīng)到揚(yáng)州的實(shí)際長(zhǎng)度約為500m.【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例尺，關(guān)鍵是掌握比例尺的定義.2.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了A.黃金分割數(shù)【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.解：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇，熟練掌握3.方程3x2-4x-2=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是()【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0),確定系數(shù)即可.∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是3,-4,-2,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其系數(shù)，熟練掌握基4.下列命題正確的是()D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的概念，平行四邊形，菱形的判定逐項(xiàng)判斷.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的概念及平行四邊形，菱形的判定.5.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.AB//DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OB【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)推出即可.∴AB//DC,AC=BD,OA=OB,不能推出AC⊥BD,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)邊平行且相等，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.6.某商場(chǎng)為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分時(shí)，該顧客可獲獎(jiǎng)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為()B【分析】該顧客獲獎(jiǎng)的概率，即陰影部分與整個(gè)圓面的面積之比.即事件(A)發(fā)生的概率.7.已知△MNP如圖所示，則下列四個(gè)三角形中與△MNP相似的是()【分析】△MNP是等腰三角形，底角是75°,則頂角是30°,看各個(gè)選項(xiàng)是否符合相似的條件.解：第三個(gè)圖與△MNP三角對(duì)應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形相似.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定方法.8.如圖，在長(zhǎng)為32米，寬為20米的長(zhǎng)方形地面上修筑同樣寬的小路(圖中陰影部分),余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是()【分析】設(shè)道路的寬x米，小路的面積+x2=一個(gè)長(zhǎng)32寬x的矩形面積+一個(gè)長(zhǎng)20寬x的矩形的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.解：設(shè)道路的寬x米，則32x+20x=100+x2.32x+20x-x2=100.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.二、填空題(4分/題)9.已知方程x2-x-1=0有一根為m,則m2-m-2023=-2022_.【分析】根據(jù)方程根的定義，可得出m2-m=1,再把m2-m=1代入m2-m-2023,計(jì)算求值即可.解：∵方程x2-x-1=0有一根為m,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把方程的根代入，得出m2-m的值，整體思想的運(yùn)用是解題的必經(jīng)之路.10.一個(gè)事件經(jīng)過(guò)5000次試驗(yàn)，它的頻率是0.32,它的概率估計(jì)值是0.32【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附可知，一個(gè)事件經(jīng)過(guò)500次的試驗(yàn)，它的頻率是0.32,則它的概率估計(jì)值是0.32.故答案為0.32.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.【分析】由BC//DE,利用平行線分線段成比例，即可求出CE的長(zhǎng).故答案為：8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.12.設(shè)xi、xz,是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，則xi+xz=.3【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.故答案為：3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,x?是一元二次方程ax2+bx+c13.如圖，小劉同學(xué)在折疊矩形ABCD中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)E是ADF=9,請(qǐng)你幫她算BC的長(zhǎng)24.則則GE=DE,∠EGF=∠D=90°,即可根據(jù)“HL”證明Rt△EGF≌Rt△ED,得GF=DF=9,【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明Rt△EGF≌Rt△ED是解題的關(guān)鍵.(1)x2-2x-3=0(用配方法求解);(2)x(x-1)=2(x-1).【分析】(1)利用配方法得到(x-1)2=4,(2)先移項(xiàng)得到x(x-1)-2(x-1)=0,再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-1=0或x-2=0,然后解兩個(gè)一次方程即可.所以xi=1,xz=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，每位同學(xué)只能選其中一個(gè)類別，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖1),請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)m=40,熱學(xué)對(duì)應(yīng)的圓心角=36°.(2)如圖，當(dāng)小湯隨機(jī)閉合A、B、C、D這4個(gè)開(kāi)關(guān)中任意2個(gè)時(shí)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出燈泡亮的概率.類別頻數(shù)(人數(shù))力學(xué)m熱學(xué)8光學(xué)電學(xué)力學(xué)電路圖【分析】(1)先求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以頻數(shù)分布表中“力學(xué)”對(duì)應(yīng)的頻率可求出m;用360°乘以本次調(diào)查中“熱學(xué)”所占的百分比即可.(2)畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及能使燈泡亮的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.解：(1)調(diào)查的人數(shù)為20÷0.25=80(人),故答案為：40;36°.(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：6種，【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、頻數(shù)(率)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠理解頻數(shù)(率)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法是解答本題的關(guān)鍵.16.如圖，我校小辰同學(xué)在學(xué)習(xí)完《利米，請(qǐng)你幫他求出學(xué)校體育館ED的高度.【分析】作AH⊥ED交FC于點(diǎn)G,把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，解方程即可.解：作AH⊥ED交FC于點(diǎn)G,如圖所示：,,答：學(xué)校體育館ED的高度是25.5米.【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用；通過(guò)構(gòu)造相似三角形利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.17.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E為AB中點(diǎn)，連結(jié)(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面積.【分析】(1)由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形AECD是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AD=CD,可得結(jié)論；(2)由菱形的性質(zhì)可求AE=BE=CE=2,由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求BC,AC的長(zhǎng)，即可求解.【解答】(1)證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴平行四邊形AECD是菱形；(2)∵四邊形AECD是菱形，∠D=120°,∴∠CAE=30°=∠ACE,△CEB是等邊三角形，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.(2)是否存在某時(shí)刻，使線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)平分?若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似?【分析】(1)可求得BC=6,且PB=AQ=2t,AP=10-2r,代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t;(2)周長(zhǎng)相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ,代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；(3)分PQ⊥AC和PQ⊥AB,再利用相似得到對(duì)應(yīng)線段的比相等，可得到關(guān)于t的方程，代入分別求得t即可.∵P、Q的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,解得(2)不存在.理由如下：當(dāng)線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)平分時(shí)，則有AP+AQ=PB+BC+CQ,整理得10=14,∴不存在使PQ把△ABC周長(zhǎng)平分的t;∴當(dāng)△APQ和△ABC相似時(shí)，必有一個(gè)角為直角，解得時(shí)，△APQ和△時(shí)，△APQ和△ABC相似.可【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.利用時(shí)間和速度表示出線段的長(zhǎng)度，結(jié)合條件得到關(guān)于t的方程是解決這類問(wèn)題的解題思路，即化動(dòng)為靜.在(3)中注意只有相似但沒(méi)有對(duì)應(yīng)需要分情況討論.一、填空題(4分/題)19.關(guān)于x的方程x2+2(k+1)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是【分析】利用根的判別式的意義得到△=4(k+1)2-4k2≥0,然后解不等式即可.解：根據(jù)題意得△=4(k+1)2-4k2≥0,解得,即k的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.20.如圖，在正方形ABCD中，分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)圓弧，若隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米(米粒大小忽略不計(jì)),則米粒落在圖中陰影部分的概率為【分析】將圖中陰影面積除以正方形面積即可求出米粒落在圖中陰影部分的概率.解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則4個(gè)扇形的半徑為a,【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率，掌握幾何概率的計(jì)算方法，以及扇形面積和正方形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.21.如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為4【分析】連接OA、OD,證明△OAM≌△ODN,得陰影部分的面積等于△OAD的面積，再由△OAD的面積與正方形ABCD的面積的關(guān)系求得結(jié)果.在△OAM和△ODN中，故答案為：4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于△OAD的面積.22.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.5cm,∠ABC=60°,E,F分別是BC,BD上的動(dòng)點(diǎn)，【分析】如圖，連接AC,過(guò)點(diǎn)C作CT⊥CA,使得CT=AD=2.5,連接AT.證明△ADF≌△ECT(SAS),推出AF=ET,推出AE+AF=AE+ET≥AT,求出AT即可解決問(wèn)題.解：如圖，連接AC,過(guò)點(diǎn)C作CT⊥CA,使得CT=AD=2.5,連接AT.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A?,作正方形A?B?CC,延長(zhǎng)C?B?交x軸于點(diǎn)Az,作正方形A?B?C?C,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第1個(gè)正方形的面積為5第n個(gè)正方形的面積為【分析】根據(jù)相似三角形的判定原理，得出△AA?B∽△A?A?B?,繼而得知∠BAA?=∠B?AA?;利用勾股定理計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)；最后利用正方形的面積公式計(jì)算第一個(gè)正方形的面積，從中找出規(guī)律，進(jìn)而可求出第n個(gè)正