第四章數(shù)列章末綜合提升鞏固層·知識(shí)整合01提升層·題型探究02類型1求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型2等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算類型3等差、等比數(shù)列的判定類型4等差、等比數(shù)列的性質(zhì)類型5數(shù)列求和類型1求數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(1)定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目．

√

(2)已知數(shù)列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通項(xiàng)公式．

法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則bn＝3n，∴an＝3n－2．法三：∵an＋1＝3an＋4，

①∴an＝3an－1＋4(n≥2)．

②①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．∵a2－a1＝3＋4－1＝6，∴數(shù)列{an＋1－an}是首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2．類型2等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用．【例2】等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；[解]

設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．

(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．【例3】已知數(shù)列{an}，{bn}滿足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

類型4等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的幾點(diǎn)注意(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；(2)對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；(3)注重問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系．【例4】

(1)(多選)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a3＋a8＋a13是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有(

)A．a(chǎn)7 B．a(chǎn)8C．S15 D．S16

√√

√√

(3)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．5

(4)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．形如{anbn}，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．(5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．【例5】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kcn－k(其中c，k為常數(shù))，且a2＝4，a6＝8a3．(1)求an；

∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，解得k＝2，∴an＝2n．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2．綜上所述，an＝2n(n∈N*)．(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．[解]

nan＝n·2n，則Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝1·22＋2·2