教育部2020年全國中小學骨干教師“網絡學習空間人人通”專項培訓示范課§4.3.1等比數(shù)列的概念晉江市第一中學數(shù)學組傅小云高二12班一、內容和內容解析1.內容等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式。2.內容解析本節(jié)課選自普通高中人教A版2019選擇性必修二第四章第三節(jié)第一課時《等比數(shù)列的概念》。在學習等比數(shù)學的概念前，學生已經學習了數(shù)列的基礎知識，建立了等差數(shù)列的知識體系，掌握等差數(shù)列的相關知識，具備探索等比數(shù)列知識體系的能力。等比數(shù)列的概念這節(jié)課的學習起著承上啟下的作用，一方面，概念的形成過程借助類比的思想，由等差數(shù)列的定義類比得到等比數(shù)列的定義，在這一過程中學生經歷了有特殊到一般的探究過程，有利于培養(yǎng)學生得數(shù)學抽象能力。另一方面，等比數(shù)列通項公式的是后續(xù)內容等比數(shù)列的前n項和公式學習的基礎，掌握好通項公式，有助于學生更好的學習通項公式的性質以及前n項和公式?；谝陨戏治?，確定本屆課的教學重點：等比數(shù)列的概念及其通項公式。二、教學目標和目標解析1.教學目標理解等比數(shù)列的概念；了解等比中項；理解等比數(shù)列的通項公式；2.教學目標解析（1）能在具體的問題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，抽象出等比數(shù)列模型，類比等差數(shù)列的定義得到等比數(shù)列的定義。能用文字語言、符號語言描述等比數(shù)列的概念，并能根據等比數(shù)列的定義判斷或證明已知數(shù)列是否是等比數(shù)列。（2）能根據定義歸納出等比數(shù)列的通項公式，類比等差數(shù)列通項公式的證明辦法，采用不完全歸納法和累乘法證明等比數(shù)列的通項公式。三、教學問題診斷分析在學習等比數(shù)列的概念前，學生已經學習了等差數(shù)列的概念，通項公式以及前n項和公式，有了一定的學習基礎，學生在與等差數(shù)列的類比基礎上，自己發(fā)現(xiàn)研究對象，并針對研究對象提出研究內容、探討研究方法、獲得研究結論。對等比數(shù)列概念的理解是本節(jié)課的一個重點，本節(jié)課通過課本給出的具體實例抽象出等比數(shù)列的概念，并用數(shù)學語言進行表達，是一個讓學生體驗用數(shù)學的眼光看世界的很好的案例。經歷這個數(shù)學化的過程，對于學生數(shù)學觀念的形成有著重要的意義。有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。四、教學支持條件分析利用教學助手布置課前導學,指導學生整理等差數(shù)列的相關知識,為等比數(shù)列的學習指引方向.利用ppt展示本節(jié)課教學內容,提高課堂教學效率，提升教學質量。利用移動講臺及時上傳學生的習題解答情況,習題的講解更有針對性。利用小組評分調動學生學習的積極性。利用個人空間平臺收集等比數(shù)列相關的知識供學生課外學習,以拓寬學生的知識面,提高學生學習數(shù)學的興趣。五、教學過程設計（一）課前導學展示展示學生課前導學習作，教師針對課前導學存在的問題做講解，借助課前導學復習等差數(shù)列相關知識體系，為等比數(shù)類的探究指引方向。(二)等比數(shù)列的概念1、等比數(shù)列概念的引入師：前面我們已經學習了一類特殊的數(shù)列等差數(shù)列，除了等差數(shù)列以外，還有沒有其它特殊的數(shù)列？請同學們閱讀課本27頁實例1-4（計時2分鐘）：實例1：兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：91005實例2：《莊子.天下》中提到“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是1實例3：在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次開始分裂，各次分裂產生的后代個數(shù)依次是：2，4，8，16，32，64，…⑤實例4：某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復利，他5年內每年年某得到的本利和分別是⑥問題1：類比等差數(shù)列的研究，你認為通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？設計意圖：通過運算探究實例中數(shù)列的共同取值規(guī)律，發(fā)現(xiàn)等比關系。問題2：類比等差數(shù)列的定義，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？師生活動：學生回答，教師總結：一般地，如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示。設計意圖：引導學生類比等差數(shù)列的定義，發(fā)現(xiàn)等比關系，抽象出等比數(shù)列的概念，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng)。2、概念的辨析思考辨析,判斷正誤.1．數(shù)列1，－1,1，－1，…是等比數(shù)列．(√)2．若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列．(×)3．等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零．(×)4．常數(shù)列一定為等比數(shù)列．(×)例1：判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列?如果是公比是多少？設計意圖：通過例題加深學生對概念的理解，教師適時點撥，引導學生總結出等比數(shù)列的公比q≠0，任一項不為0，非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列等知識。深化學生對概念的理解，提升學生的邏輯推理能力。問題3：等差數(shù)列定義可用數(shù)學符號來表示，那么等比數(shù)列的定義能否也用數(shù)學符號表示？如果可以，請用數(shù)學符號表示該定義。師生活動:學生回答，教師板書結論eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*))設計意圖：引導學生用符號語言描述等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列概念的不同表示方法。3、等比中項問題4:類比等差中項的概念，請同學們嘗試給出等比中項的概念。設計意圖：學生通過類比，得到等比中項的概念：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a、b的等比中項.思考辨析,判斷正誤1.對于任意實數(shù)a、b，一定存在G，使得a，G，b成等比列.()2.若a，G，b成等比數(shù)列，則G=（）3.G2=ab，則a，G，b一定是等比數(shù)列。()例2：（1）如果－1，b，－9成等比數(shù)列，那么b＝__（2）如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，則()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9設計意圖：通過例題引導學生深入思考等比中項的概念。教師適時總結由等比中項的概念可得，G=±，G2=ab.當a，b異號或有一個為0時是沒有等比中項，當a、b是非零且同號時，他有兩個等比中項，即G＝±eq\r(ab).培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。(三)等比數(shù)列的通項公式問題5：你能根據等比數(shù)列的定義推到它的通項公式嗎？設計意圖：學生借助定義，利用不完全歸納法探究通項公式。法一：（不完全歸納法）設等比數(shù)列{an}首項為a1，公比為q，根據等比數(shù)列的定義，我們有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=an-1q=a1qn-1，即an=a1qn-1.問題6：類比等差數(shù)列通項公式累加法的推導過程，你還有什么辦法可以推導等比數(shù)列的通項公式嗎？設計意圖：引導學生通過類比等差數(shù)列累加法推導過程，采用累乘法推出等比數(shù)列的通項公式。法二：（累加法）根據等比數(shù)列的定義可得.那么我們就有了n-1個等式，將這n-1個等式兩邊分別乘到一起，得到的結果是,于是，得an=a1qn-1.總結：若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．(四)通項公式的應用例3：若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項。(五)歸納小結問題7：請同學們結合課前導學總結下本節(jié)課的主要內容和思想方法。師生活動：引導學生結合課前導學總結出本節(jié)課知識清單，教師結合學生的情況及時補充完善。師生共同合作概括出本節(jié)課主要內容和思想方法。(六)布置作業(yè)教科書p31課后練習1-5六、目標檢測設計1.在等比數(shù)列{an}中：(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.設計意圖：考查學生對等比數(shù)列的通項公式的理解，等比數(shù)列通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．2.在等比數(shù)列{an}中，a1＝－16，a4＝8，則