第32講立體幾何中的截面問題一．選擇題（共13小題）1．（2021?諸暨市校級期中）過正方體的棱、的中點、作一個截面，使截面與底面所成二面角為，則此截面的形狀為A．三角形或五邊形 B．三角形或四邊形 C．正六邊形 D．三角形或六邊形2．（2021?黃陵縣校級二模）如圖所示，點為正方體的中心，點為棱的中點，若，則下面說法正確的是A．直線與直線所成角為 B．點到平面的距離為 C．四面體在平面上的射影是面積為的三角形 D．過點，，的平面截正方體所得截面的面積為3．（2021?張家口期末）在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱靠近點的三等分點，用過點，，的平面截正方體，則截面圖形的周長為A． B． C． D．4．（2021春?天心區(qū)校級月考）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，過點、、、的截面與平面的交線為，則異面直線、所成角的正切值為A． B． C． D．5．（2021春?瑞金市月考）在棱長為4的正方體中，點，分別為，的中點，則過，，三點的平面與正方體各個面的交線組成的平面多邊形的面積為A． B． C． D．6．（2021?麗水期末）斜線段與平面所成的角為，為斜足，點是平面上的動點且滿足，則動點的軌跡是A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支7．（2021?泉州模擬）設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面A．不存在 B．只有1個 C．恰有4個 D．有無數(shù)多個8．（2021?西湖區(qū)校級模擬）如圖，為正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則A．為定值，不為定值 B．不為定值，為定值 C．與均為定值 D．與均不為定值9．（2021?安徽二模）已知正四面體的中心與球心重合，正四面體的棱長為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長度為A． B． C． D．10．（2021春?浙江期中）如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．11．（2021秋?翠屏區(qū)校級期末）如圖，為平面內(nèi)一定點，是平面的定長斜線段，為斜足，若點在平面內(nèi)運(yùn)動，使面積為定值，則動點的軌跡是A．圓 B．兩條平行線 C．一條直線 D．橢圓12．（2021春?江西期中）已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過定點的動直線與斜線成角，且交于點，則動點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線13．（2021?濱州一模）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動點滿足，則點的軌跡為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分二．多選題（共5小題）14．（2021春?湖南期末）已知在正方體中，點，分別為棱，上的中點，過，的平面與底面所成的銳二面角為，則正方體被平面所截的截面形狀可能為A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形15．（2021?唐山三模）將邊長為2的正方形沿對角線折成直二面角，如圖所示，點，分別為線段，的中點，則A．與所成的角為 B． C．過且與平行的平面截四面體所得截面的面積為 D．四面體的外接球的表面積為16．（2021?雁峰區(qū)校級模擬）由四個三角形圍成的多面體稱為四面體，對棱相等的四面體稱為等腰四面體．已知如圖等腰四面體中，，，，，，，分別是棱，，，的中點．下面結(jié)論中，正確的有A．直線，有可能是異面直線 B． C．過直線的平面截四面體外接球所得截面面積為定值 D．共頂點的三個側(cè)面面角和等于17．（2021?江蘇模擬）正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運(yùn)動，且滿足平面．以下命題正確的有A．側(cè)面上存在點，使得 B．直線與直線所成角可能為 C．平面與平面所成銳二面角的正切值為 D．設(shè)正方體棱長為1，則過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大為18．（2021?新羅區(qū)校級月考）如圖，是平面的斜線段，為斜足，點滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動，則有以下幾個命題，其中正確的命題是A．當(dāng)時，點的軌跡是線段 B．當(dāng)時，點的軌跡是一條直線 C．當(dāng)時，點的軌跡是圓 D．當(dāng)時，點的軌跡是橢圓三．填空題（共9小題）19．（2021春?邵陽縣期末）已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面所成的角相等，則平面截正方體所得的截面面積的最大值為．20．（2021?上海模擬）如圖，圓錐的母線長為，軸截面的頂角，則過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面，則面積的最大值是，此時．21．（2021?閔行區(qū)校級月考）如圖所示，點，，分別在正方體的棱，，上，，，，，那么正方體被平面所截得的截面面積是．22．過正四面體的頂點作一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面所成的角為，這樣的截面共可作出個．23．（2021春?紹興期末）已知四面體的所有棱長均為4，點滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長度為．24．（2021春?開福區(qū)校級月考）以棱長為的正四面體中心點為球心，以為半徑的球面與正四面體的表面相交得到若干個圓（或圓弧）的總長度的取值范圍是．25．（2021春?金山區(qū)校級期中）設(shè)正方體的棱長為2，為過直線的平面，則截該正方體的截面面積的取值范圍是．26．（2021春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，頂點為的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，母線，是底面圓心，是底面圓內(nèi)一點，且，為的中點，，垂足為，當(dāng)三棱錐的體積最大時，．27．（2021?東陽市校級月考）頂點為的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，是底面圓周上的點，是底面圓內(nèi)的點，為底面圓圓心，，垂足為，，垂足為，且，是的中點，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，的長為．四．解答題（共3小題）28．如圖，是正方體的棱的延長線上的一點，、是棱、的中點，試分別畫出：（1）過點、、的平面與正方體表面的交線；（2）過點、、的平面與正方體表面的交線．29．如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點為的中點，點在上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求作過作四