帶彈性帆板充液航天器耦合特性分析

耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析在宇宙技術(shù)中，由于充液量的增加和探測(cè)器姿態(tài)的精度的嚴(yán)格要求，液體大規(guī)模波動(dòng)時(shí)，帶彈性帆板的充液源界面的非線性動(dòng)態(tài)特性具有重要意義。充液箱位置是組合系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)。這是對(duì)探測(cè)器姿態(tài)的影響。是充液探測(cè)器的一項(xiàng)不得不考慮的問(wèn)題。文獻(xiàn)中對(duì)充液貯箱耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不論在理論分析與數(shù)值分析方面都已有較深入地研究,對(duì)航天器與彈性附件的耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也有很多討論,但關(guān)于液體燃料、航天器與彈性附件耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究較少,且在分析過(guò)程中液體為全充液,忽略了非線性因素.本文采用已推導(dǎo)的剛-液-彈耦合系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程組,首先分析了充液箱位置對(duì)耦合系統(tǒng)各階固有頻率的影響.隨后用多尺度法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行近似解析分析,分別得出充液箱位置對(duì)液體幅頻曲線軟、硬特性轉(zhuǎn)換點(diǎn)及穩(wěn)態(tài)解響應(yīng)的關(guān)系,這些結(jié)論對(duì)航天器的總體設(shè)計(jì)具有重要意義.1動(dòng)力動(dòng)力學(xué)方程我們考慮如圖1所示的剛-液-彈耦合系統(tǒng),假設(shè)液體不可壓縮,流動(dòng)無(wú)旋,動(dòng)力粘性系數(shù)μ和ρ密度為常數(shù).設(shè)OXZ為慣性坐標(biāo)系,Oxz為剛體固連坐標(biāo)系,航天器可繞系統(tǒng)質(zhì)心O做俯仰運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)角用θ表示.分別用S、S0、Sw表示自由液面、未擾靜液面、固壁與液體接觸面,液體區(qū)域、波高和液深分別記為τ、ζ、a,而b、c、l分別為貯箱長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)動(dòng)中心至靜液面的距離、彈性帆板長(zhǎng)度,M0、ζ、d分別表示剛體與彈性體的質(zhì)量、干濕比、剛體與彈性體的共同質(zhì)心至充液箱底部的距離,其中d可代表充液箱位置.剛-液-彈耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組為:J˙Ω+?dΗdt+Ω×Η+C¨η+Μ=0(1a)???t+12(??-Ω×r)2-12(Ω×r)2-g?r+μφ=0(1b)¨η+CΤ˙Ω+Λ2η=0(1c)?ζ?t=(??-Ω×r)2??F(1d)JΩ˙+d?Hdt+Ω×H+Cη¨+M=0(1a)???t+12(???Ω×r)2?12(Ω×r)2?g?r+μφ=0(1b)η¨+CTΩ˙+Λ2η=0(1c)?ζ?t=(???Ω×r)2??F(1d)其中J為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與彈性體伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和,Ω為剛體角速度,H=ρ∫τr×??dτ為液體動(dòng)量矩,C為模態(tài)耦合系數(shù)陣,Λ為非約束模態(tài)頻率,η為彈性附件模態(tài)坐標(biāo),F=z-ζ為液體的自由液面,r為貯箱內(nèi)液體質(zhì)點(diǎn)的矢徑,M為外加力矩.俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)液體的速度勢(shì)函數(shù)表示為?=φ+ψ?˙θ?=φ+ψ?θ˙,只考慮二維情況,假設(shè)φ、ψ、ζ為如下形式:φ=∑nun(t)φn(x,z),φn(x,z)=cosh(nπb(z+a-c))nπbsinh(nπba)cos(nπb(x+b2))(2)ψ=x(z-c)-2∞∑i=12b2(iπ)3[(-1)i-1]×sinh(iπ(z+a/2-c)/b)cosh(iπa/2b)cos(iπ(x+b/2)/b)(3)ζ=c+∑nvn(t)ψn(x),ψn(x)=cos[nπb(x+b2)](4)后面分析過(guò)程中,液體截?cái)嗟饺A模態(tài),彈性體截?cái)嗟蕉A模態(tài),隨后用伽遼金法對(duì)液體動(dòng)力方程(1b)和運(yùn)動(dòng)方程(1d)進(jìn)行離散,得到一階常微分方程組,具體表達(dá)式略.其中轉(zhuǎn)動(dòng)中心距離靜液面的距離可表達(dá)為剛體和彈性體的共同質(zhì)心至充液箱底部的距離d和干濕比ζ的函數(shù):c=ζd-(ζ+1)(1ζ-1)Μ02ρb,ζ=Μ0Μ0+ρa(bǔ)b(5)2充液盒的位置對(duì)固有頻率的影響2.1耦合系統(tǒng)固有頻率的近似解析對(duì)系統(tǒng)一階非線性常微分方程組進(jìn)行分析,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為:Μ=[1α10α2α3α4a2610000001000a4500100c100010c200001]Κ=[000000a21b22000000c31000a4100d41000000λ21000000λ22](6)給出特征方程式|-ω2-α1ω20-α2ω2-α3ω2-α4ω2a21-a26ω2b22-ω2000000c31-ω2000a41-a45ω200d41-ω200-c1ω2000λ21-ω20-c2ω20000λ22-ω2|=0(7)方程式(7)的解ω即為耦合系統(tǒng)各階固有頻率,但無(wú)法給出具體表達(dá)式.因此首先取出常微分方程組中的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K,由于KM-1的非對(duì)角元素為小量,所以其對(duì)角元素可以作為耦合系統(tǒng)各階固有頻率的近似表達(dá)式,具體形式為ωl1=√α1a21+b22(α2a45+α3c1+α4c2-1)α1a26+α2a45+α3c1+α4c2-1ωl2=√c31ωl3=√α2a41+d41(α1a26+α3c1+α4c2-1)α1a26+α2a45+α3c1+α4c2-1ωe1=√(α1a26+α2a45+α4c2-1)λ21α1a26+α2a45+α3c1+α4c2-1ωe2=√(α1a26+α2a45+α3c1-1)λ22α1a26+α2a45+α3c1+α4c2-1(8)其中ωl1、ωl2、ωl3、ωe1和ωe2分別為以液體第一階、液體第二階、液體第三階、彈性體第一階、彈性體第二階為主的耦合系統(tǒng)近似固有頻率值.選取系統(tǒng)參數(shù)為a=0.5m,b=1m,ρ=1×103kg/m3,M0=1000kg,J=2000kg·m2,ρl=2.7×103kg/m3,A=0.01m2,l=2m,EI=54N·m,μ=0,調(diào)節(jié)參數(shù)g、c的大小,近似固有頻率相對(duì)誤差很小,例如取g=0.01m/s2,c=0m,ωl1、ωl2、ωl3、ωe1和ωe2的近似固有頻率的相對(duì)誤差分別為1.2′10-2%,0,3.7′10-4%,1.4′10-2,3.5′10-4%,所以下面采用近似表達(dá)式解析分析固有頻率的變化規(guī)律.2.2耦合系統(tǒng)固有頻率給定a=0.5m,b=1m,M0=1000kg,J=2000kg·m2,ρ=1000kg/m3,分析剛-液-彈的相互耦合作用對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響.圖2為g=0.01m/s2時(shí)的d～ωl1,ωl2,ωl3,ωe1,ωe2曲線圖.充液箱位置主要影響以液體非對(duì)稱(chēng)模態(tài)和彈性體為主的耦合系統(tǒng)各階固有頻率,且以非線性關(guān)系變化.以液體非對(duì)稱(chēng)模態(tài)為主的耦合系統(tǒng)固有頻率當(dāng)充液箱放置在航天器底部時(shí)略大,放置在航天器頂部時(shí)略小.以彈性體為主的耦合系統(tǒng)固有頻率當(dāng)液體質(zhì)心與系統(tǒng)質(zhì)心重合時(shí)最大.3充液箱的位置對(duì)穩(wěn)定解的影響3.1mij、ej、ny,k首先將一階常微分方程組乘其質(zhì)量矩陣的逆矩陣使質(zhì)量矩陣解耦,隨后應(yīng)用多尺度法對(duì)耦合系統(tǒng)液體一階主共振進(jìn)行近似解析分析,取ε為小參數(shù),令ui(t,ε)=2∑j=0χij(Τ1,Τ2,Τ3)εj+1,vi(t,ε)=2∑j=0υij(Τ1,Τ2,Τ3)εj+1,q(t,e)=。2aj=0Jj(Τ1,Τ2,Τ3)ej+1,w(t,e)=。2aj=0vj(Τ1,Τ2,Τ3)ej+1,hi(t,e)=。2aj=0mij(Τ1,Τ2,Τ3)ej+1,yi(t,e)=。2aj=0gij(Τ1,Τ2,Τ3)ej+1(9)其中w=˙θ,yi=˙η,且T1=t,T2=εt,T3=ε2t所以ddt=?Τ1?Τ1?t+??Τ2?Τ2?t+?=D1+εD2+ε2D3+?(10)將式(9)、(10)代入質(zhì)量矩陣解耦后的一階常微分方程組,比較ε的同次冪.過(guò)程中設(shè)υj0=Aj(Τ2,Τ3)eiωjΤ1+ˉAj(Τ2,Τ3)eiωjΤ1,(j=1,2,3)χj0=iωjAj(Τ2,Τ3)eiωjΤ1-iωjˉAj(Τ2,Τ3)e-iωjΤ1,?0=A4(Τ2,Τ3)eiω4Τ1+ˉA4(Τ2,Τ3)eiω4Τ1,～ω0=iω4A4(Τ2,Τ3)eiω4Τ1-iω4ˉA4(Τ2,Τ3)e-iω4Τ1,μk0=Ak+4(Τ2,Τ3)eiωk+4Τ1+ˉAk+4(Τ2,Τ3)eiωk+4Τ1,γk0=iωk+4Ak+4(Τ2,Τ3)eiωk+4Τ1-iωk+4ˉAk+4(Τ2,Τ3)e-iωk+4Τ1,(k=1,2)(11)其中An=12aneiβn,n=1?6,ωi為對(duì)應(yīng)的各階固有頻率.通過(guò)消除ε的各階冪次方程的永年項(xiàng),可知ai=0(i=2…6),得關(guān)于a1的幅頻響應(yīng)曲線方程為:[(f112-εσ)a1+f113a31]2+[f122a1+f123a31]2=f2111(12)其中fijk為c的函數(shù),表達(dá)式略.3.2充液箱與前充液深轉(zhuǎn)換的臨界液深值d在實(shí)際中,隨著液體燃料的不斷消耗,液深值在不斷變化,研究變液深的穩(wěn)態(tài)解具有重要意義.研究發(fā)現(xiàn)存在幅頻曲線軟、硬特性隨液深轉(zhuǎn)換的現(xiàn)象,三次項(xiàng)系數(shù)f113=0時(shí)為幅頻曲線軟、硬特性轉(zhuǎn)換臨界點(diǎn),稱(chēng)軟、硬特性轉(zhuǎn)換時(shí)的液深值為臨界液深,記為ˉa.臨界液深與充液箱位置有關(guān),隨著充液箱偏離質(zhì)心,臨界液深成非線性變化趨于一個(gè)常值,當(dāng)液體質(zhì)心接近系統(tǒng)質(zhì)心時(shí)隨充液箱位置臨界液深變化最快.仍采用2.1中各系統(tǒng)參數(shù),臨界液深ˉa隨充液箱位置d的變化曲線如圖3所示.3.3充液箱的動(dòng)態(tài)特性固定液深,給定系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù)σ和外激勵(lì)幅值p,可得穩(wěn)態(tài)解隨充液箱位置的變化曲線.在液體一階頻率處激勵(lì),隨著充液箱位置的變化穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由單值出現(xiàn)多解.不同充液箱位置所對(duì)應(yīng)的多解現(xiàn)象隨著激勵(lì)頻率而變化.當(dāng)系統(tǒng)為軟特性時(shí),激勵(lì)頻率小于固有頻率且遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),多值點(diǎn)增加、移動(dòng)且生長(zhǎng);當(dāng)激勵(lì)頻率大于固有頻率且遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),多值點(diǎn)增加但最大峰值減小,如圖4所示.當(dāng)系統(tǒng)為硬特性時(shí),激勵(lì)頻率大于固有頻率且遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),多值點(diǎn)增加、移動(dòng)且生長(zhǎng).激勵(lì)頻率小于固有頻率且遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),多值點(diǎn)增加但最大峰值減小,即系統(tǒng)存在多解和分岔現(xiàn)象.4耦合系統(tǒng)固有頻率及充液箱位置的確定通過(guò)分析得出充液箱位置對(duì)帶彈性帆板充液航天器耦合系統(tǒng)的固有頻率及系統(tǒng)響應(yīng)均有重要影響.(1)充液箱位置主要影響以液體非對(duì)