上海市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（每題2分，共32分）1．（2分）用代數(shù)式表示：“的一半的相反數(shù)”是．2．（2分）在多項(xiàng)式中，二次項(xiàng)的系數(shù)等于．3．（2分）把多項(xiàng)式按的升冪排列是．4．（2分）若單項(xiàng)式與的和仍是單項(xiàng)式，則等于．5．（2分）．6．（2分）．7．（2分）計(jì)算．8．（2分）因式分解：．9．（2分）因式分解：．10．（2分）因式分解：．11．（2分）如果關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，那么的值為．12．（2分）已知，則的值為．13．（2分）已知是關(guān)于的一次二項(xiàng)式，且的積是二項(xiàng)式，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的可以是．（只要寫一個(gè)即可）14．（2分）若，則的值為．15．（2分）已知，則的值為．16．（2分）如圖，點(diǎn)、、、分別在長方形的邊上，點(diǎn)、在上，若正方形的面積等于15，圖中陰影部分的面積總和為6，則正方形的面積等于．二、選擇題（每題2分，共8分）17．（2分）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．18．（2分）下列各式從左到右是因式分解的是A． B． C． D．19．（2分）已知多項(xiàng)式，把它加上下列單項(xiàng)式后不可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是A． B． C． D．20．（2分）已知為正整數(shù)，從1開始，連續(xù)個(gè)正整數(shù)的平方和有如下的公式：．請(qǐng)根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算：從2開始，連續(xù)10個(gè)偶數(shù)的平方和的值等于A．2870 B．1540 C．770 D．385三、計(jì)算題（每題4分，共16分）21．（4分）．22．（4分）．23．（4分）．24．（4分）．四、因式分解（每題4分，共16分）25．（4分）．26．（4分）．27．（4分）．28．（4分）．五、解答題（每題5分，共20分）29．（5分）解不等式：．30．（5分）已知，，求的值．31．（5分）關(guān)于的二次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，它的值為0，當(dāng)時(shí)，求該多項(xiàng)式的值．32．（5分）已知，求的值．六、探究題（8分）33．（8分）如果正整數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)正整數(shù)與的和與它們的乘積之和，即，那么叫做“和諧數(shù)”，其中叫做的“表達(dá)式”．例如，因?yàn)?，，所?與24都是“和諧數(shù)”．（1）3與20都是“和諧數(shù)”，請(qǐng)分別寫出它們的“表達(dá)式”：；；（2）如果正偶數(shù)是兩位數(shù)且是“和諧數(shù)”，那么的最小值是；（3）在小于20的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有個(gè)；（4）如果“和諧數(shù)”，其中，，是正整數(shù)，請(qǐng)說明“和諧數(shù)”是一個(gè)完全平方數(shù)．

參考答案與解析一、填空題（每題2分，共32分）1．（2分）用代數(shù)式表示：“的一半的相反數(shù)”是．【分析】的一半表示為，然后利用相反數(shù)即可得到所求的代數(shù)式．【解答】解：的一半的相反數(shù)是．故答案為：．2．（2分）在多項(xiàng)式中，二次項(xiàng)的系數(shù)等于．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的相關(guān)概念解答即可．【解答】解：在多項(xiàng)式中，二次項(xiàng)的系數(shù)等于．故答案為：．3．（2分）把多項(xiàng)式按的升冪排列是．【分析】將多項(xiàng)式按照的升冪排列即可．【解答】解：把多項(xiàng)式按的升冪排列是，故答案為：4．（2分）若單項(xiàng)式與的和仍是單項(xiàng)式，則等于6．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式，可得同類項(xiàng)，根據(jù)同類項(xiàng)，可得、的值，根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．【解答】解：依題意得：，，，故答案為：6．5．（2分）39999.75．【分析】把寫成的形式，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：，，，．故答案為：39999.75．6．（2分）．【分析】先把原式表示為：，然后利用完全平方公式計(jì)算．【解答】解：．故答案為：．7．（2分）計(jì)算．【分析】原式利用冪的乘方運(yùn)算法則變形，再逆用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式．8．（2分）因式分解：．【分析】直接提取公因式，進(jìn)而分解因式得出答案．【解答】解：．故答案為：．9．（2分）因式分解：．【分析】直接根據(jù)十字相乘法分解因式即可得出答案．【解答】解：．10．（2分）因式分解：．【分析】直接利用平方差公式分解因式，進(jìn)而得出答案．【解答】解：．故答案為：．11．（2分）如果關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，那么的值為13或．【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出的值．【解答】解：關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，，，即，解得：或，故答案為：13或．12．（2分）已知，則的值為64．【分析】利用冪的乘方的法則與同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再整體代入運(yùn)算即可．【解答】解：，．故答案為：64．13．（2分）已知是關(guān)于的一次二項(xiàng)式，且的積是二項(xiàng)式，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的可以是（答案不唯一）．（只要寫一個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意確定出滿足條件的即可．【解答】解：是關(guān)于的一次二項(xiàng)式，且的積是二項(xiàng)式，滿足條件的可以是；故答案為：（答案不唯一）．14．（2分）若，則的值為．【分析】先對(duì)已知式子利用完全平方公式計(jì)算整理，再利用多項(xiàng)式乘法法則對(duì)所求式子進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案為：．15．（2分）已知，則的值為．【分析】利用配方法將已知條件變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，的值，將，代入計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：，．．，解得：．．故答案為：．16．（2分）如圖，點(diǎn)、、、分別在長方形的邊上，點(diǎn)、在上，若正方形的面積等于15，圖中陰影部分的面積總和為6，則正方形的面積等于3．【分析】根據(jù)正方形的面積可得正方形的邊長，設(shè)，可得，，然后利用圖中陰影部分的面積總和為6，列出等式可得的值，進(jìn)而可得正方形的面積．【解答】解：正方形的面積等于15，，設(shè)，，，，陰影部分的面積總和為6，，，解得或（舍去），，正方形的面積．故答案為：3．二、選擇題（每題2分，共8分）17．（2分）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，積的乘方的法則，冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：、，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故符合題意；故選：．18．（2分）下列各式從左到右是因式分解的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)因式分解的意義（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這個(gè)過程叫因式分解）逐個(gè)判斷即可．【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；、等式右邊是分式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．19．（2分）已知多項(xiàng)式，把它加上下列單項(xiàng)式后不可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是A． B． C． D．【分析】能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍．【解答】解：、作為兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，加上的單項(xiàng)式可以是，當(dāng)作為兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍、作為平方項(xiàng)，加上的單項(xiàng)式可以是，只有不可以，故選：．20．（2分）已知為正整數(shù)，從1開始，連續(xù)個(gè)正整數(shù)的平方和有如下的公式：．請(qǐng)根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算：從2開始，連續(xù)10個(gè)偶數(shù)的平方和的值等于A．2870 B．1540 C．770 D．385【分析】提取個(gè)，再把代入可得答案．【解答】解：．故選：．三、計(jì)算題（每題4分，共16分）21．（4分）．【分析】直接利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．22．（4分）．【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，先算乘方，再加減．【解答】解：原式．23．（4分）．【分析】先逆用積的乘方法則，再運(yùn)用平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：原式．24．（4分）．【分析】把原式變形為，可利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．【解答】解：原式．四、因式分解（每題4分，共16分）25．（4分）．【分析】由于三個(gè)單項(xiàng)式中都含有公因式，故可先提取公因式再利用公式法進(jìn)行因式分解．【解答】解：原式，．故答案為：．26．（4分）．【分析】先逆用平方差公式，再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解．【解答】解：．27．（4分）．【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可．【解答】解：．28．（4分）．【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可．【解答】解：原式．五、解答題（每題5分，共20分）29．（5分）解不等式：．【分析】不等式整理后，移項(xiàng)合并，把系數(shù)化為1，即可求出解集．【解答】解：不等式整理得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．30．（5分）已知，，求的值．【分析】首先分兩組，提取公因式后，再提取公因式，把，化為，求出，整體代入原式計(jì)算即可．【解答】解：；，，，原式．31．（5分）關(guān)于的二次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，它的值為0，當(dāng)時(shí)，求該多項(xiàng)式的值．【分析】先將關(guān)于的二次多項(xiàng)式變形，根據(jù)二次多項(xiàng)式的特點(diǎn)求出的值；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為0，求出的值；進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值．【解答】解：原式是二次多項(xiàng)式，，解得．原式，當(dāng)時(shí)，它的值為0，，，原式，當(dāng)時(shí)，原式．32．（5分）已知，求的值．【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對(duì)所給的式子進(jìn)行整理，從而可求解．【解答】解：，，，，，，則，解得：．六、探究題（8分）33．（8分）如果正整數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)正整數(shù)與的和與它們的乘積之和，即，那么叫做“和諧數(shù)”，其中叫做的“表達(dá)式”．例如，因?yàn)?，，所?與24都是“和諧數(shù)”．（1）3與20都是“和諧數(shù)”，請(qǐng)分別寫出它們的“表達(dá)式”：；；（2）如果正偶數(shù)是兩位數(shù)且是“和諧數(shù)”，那么的最小值是；（3）在小于20的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有個(gè)；（4）如果“和諧數(shù)”，其中，，是正整數(shù)，請(qǐng)說明“和諧數(shù)”是一個(gè)完全平方數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義直接寫出3和20的表達(dá)式即可；（2）由是正偶數(shù)知，與都是偶數(shù)，從最小的非零偶數(shù)開始試即可得出結(jié)果；（3）設(shè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”，令，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，求出的值進(jìn)而求出“和諧數(shù)”，同理求出時(shí)，時(shí)，時(shí)求出“和諧數(shù)”，排除重復(fù)的“和諧數(shù)”，即為所求．（4）因正整數(shù)是“和諧數(shù)”，，整理后可得，即可證明是一個(gè)完全平方數(shù)．【解答】解：（1）由“和諧數(shù)”的定義知，，，故答案為：；；（2）正偶數(shù)是兩位數(shù)且是“和諧數(shù)”，與都是非零的偶數(shù)，假設(shè)，當(dāng)，時(shí)，，不是兩位數(shù)，不符合題意，舍去，當(dāng)，時(shí)，，符合題意，的最小值為14，故答案為：14；（3）設(shè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”，令，①當(dāng)時(shí)，，解得，是正整數(shù)，的取值可能是，2，3，4，5，6，7，8，，則