1數學物理方法數學是科學的大門和鑰匙，忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根2數學物理方法復變函數篇數學物理方程篇積分變換篇數學物理方法復變函數論復變函數論復數及其運算復變函數微商及解析函數初等解析函數本章小結復數及其運算數的擴張（完善化）自然數（+負整數）整數（+分數）有理數（+無理數）實數（+虛數）復數復數及其運算復數概念：一對有序的實數（x，y）代數表示z=x+iyx=Real(z)（實部）,y=Imagine(z)（虛部）,i2=-1(虛單位）復數及其運算幾何表示關系x=rcosφy=rsinφφ=Arctan(y/x)特點無序性復數無大?。１容^大?。┦噶啃詮蛿涤蟹较驈蛿导捌溥\算任一復數z≠0有無窮多個輻角（相差2kπ），以argz表示其中在2π范圍內變換的一個特定值，稱之為輻角的主值，通常取

-π＜argz≤π

則Argz=argz+2kπ（k=0，±1，±2，…）

z處于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+π；第三象限：argz=arctan（y/x）-π；第四象限：argz=arctan（y/x）。三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|（模）,ψ=Arg(z)（輻角）指數表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ代數表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)復數的表示10

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數稱為共軛復數.例解.,的積是實數兩個共軛復數zz結論：共軛復數11共軛復數的性質以上各式證明略.12例1證.(2);(1)

:

,

,

2121212121zzzzzzzzzz+￡+=證明為兩個任意復數設13兩邊同時開方得同理可證：14設z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復數加減運算z1±

z2=(x1±

x2)

+i(y1±

y2)

復數加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z2復數的運算交換律、結合律、分配律成立15乘法運算

兩個復數相乘等于它們的模相乘，幅角相加除法運算

兩個復數相除等于它們的模相除，幅角相減乘方運算當r=1時上式對所有n取整數，恒成立。17開方運算從這個表達式可以看出：1）當k=0,1,2…n-1時，得到n個相異的值；當k取其他整數值時，將重復出現上述n個值。因此，一個復數z的n次方根有且僅有n個相異值。2）上述n個方根具有相同的模，而每個相鄰值的輻角差為2π/n，故在幾何上，w的n個值分布在以原點為中心，r1/n為半徑的圓內接正n邊形的頂點上。復數及其運算運算加減法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]冪和開方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)復共軛z=x+iy→

z*=x–iyz=rexp(iφ)→

z*=rexp(-iφ)復數及其運算模有限的復數和復數平面上的有限遠點是一一對應的。復變函數理論中無窮大也理解為復數平面上的一個“點”，稱為無限遠點，記為∞，其模大于任何正數，輻角不定。平面上的具體點難以描繪無限遠點，為此引入復球面的概念。

把一個球放在復平面，使其南極S與復平面相切于原點，復平面上任一點A與球的北極N連線交與球面A’點，則復平面上每一有限原點與球面上的點一一對應（此對應稱測地投影），A無限遠離o

時，A‘點無限趨近于N，故可將N看做無限遠點的代表點。此球面稱為復球面或黎曼球面，復平面上只有一個無窮遠點。AxyoSA‘N21復平面上的點集

定義

由不等式(δ為任意的正數)所確定的復平面點集(以后平面點集均簡稱點集)，就是以z0為中心的δ鄰域或鄰域。而稱由不等式

所確定的點集為z0的去心δ鄰域或去心鄰域。δ

無窮遠點的鄰域22

定義

設D為點集，z0為D中的一點。如果存在z0的一個鄰域，該鄰域內的所有點都屬于D，則稱z0為D的內點；若點z0的某一個鄰域內的點都不屬于D，則稱點z0為D的外點。若在點z0的任意一個鄰域內，既有屬于D的點，也有不屬于D的點，則稱點z0為D的邊界點，點集D的全部邊界點稱為D的邊界。內點，外點，邊界點開集

注意

區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。定義

若點集D的點皆為內點，則稱D為開集Dz0開集23

定義

點集D稱為一個區(qū)域，如果它滿足：

(1)

屬于D的點都是D的內點，或D是一個開集；

(2)D是連通的，就是說D中任何兩點z1和z2都可以用完全屬于D的一條折線連接起來。

通常稱具有性質(2)的集為連通的，所以一個區(qū)域就是一個連通的開集。區(qū)域D加上它的邊界C(p)稱為閉區(qū)域或閉域，記為區(qū)域Dz1z2p24鄰域z復平面上圓

內點的集合內點z和它的鄰域都屬于D，則z為D的內點外點z

和它的鄰域都不屬于

D，則

z

為

D的外點邊界點不是內點，也不是外點的點邊界全體邊界點的集合z區(qū)域內點組成的連通集合閉區(qū)域區(qū)域和邊界線的全體區(qū)域區(qū)域概念總結25xyORxyORxyROr

1xyR-ROxOyxOy

2

1曲線

如果曲線的實部x(t)和虛部y(t)均為t的連續(xù)函數，那么曲線Г就叫連續(xù)曲線。

對于連續(xù)曲線，則曲線沒有重點（紐結），則稱Г為簡單曲線。當時，則稱簡單閉曲線。

光滑曲線：若連續(xù)曲線在區(qū)間上存在連續(xù)的及，且兩者不同時為零，則在曲線上每點均有切線且切線方向是連續(xù)變化的。簡單閉曲線把擴充復平面分為兩部分，一部分是不含∞的點集，稱為該曲線的內部；另一部分是含∞的點集，稱為該曲線的外部。這兩個區(qū)域都以給的簡單閉曲線（也稱若爾當曲線）作為邊界。曲線內外部區(qū)分（若爾當定理）28單連通域與多連通域

設B為復平面上的一個區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內部總屬于B

，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域29舉例指出下列不等式中點z在怎樣的點集中變動？這些點集是不是單連通區(qū)域？是否有界？301.2復變函數(一)復變函數的定義31映射(函數)的概念1.映射的定義:32332.兩個特殊的映射:34且是全同圖形.3536根據復數的乘法公式可知,37(如下頁圖)38

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.39以原點為焦點,開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點為焦點,開口向右的拋物線.(圖中藍色曲線)40(四）函數的極限1.函數極限的定義:注意:41定理一與實變函數的極限運算法則類似.2.極限計算的定理42定理二證根據極限的定義(1)必要性.43(2)充分性.44[證畢]說明45例1證(一)46根據定理二可知,證(二)4748例2證49根據定理二可知,50（五）函數的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:51定理三例如,52定理四53例3證541.3導數(微分)1.導數的定義:55在定義中應注意:56例1

解57例2

解58592.可導與連續(xù):

函數f(z)在z0處可導則在z0處一定連續(xù),但函數f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導.證[證畢]603.求導法則:

由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致,并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣,因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:61624.微分的概念:

復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致.定義63特別地,64解析函數的概念

設函數f(z)在點z0及z0某鄰域內處處可導，則稱函數f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域B內的每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域B內是解析函數說明2.稱函數的不解析點為奇點1.解析與可導的關系

函數在某點解析，則必在該點可導；反之不然在區(qū)域B內的解析函數必在B內可導

5解析函數例：函數只在z=0點可導，因而在復平面上處處不解析f(z)在點z0

無定義或無確定值；f(z)在點z0

不連續(xù)；f(z)在點z0

不可導；f(z)在點z0

可導,但找不到某個鄰域在其內處處可導由解析函數的定義和函數的求導法則可得:（1）如果函數f（z）在區(qū)域σ中解析，則它在這個區(qū)域中是連續(xù)的。（2）如果f1（z）和f2（z）是區(qū)域σ中的解析函數，則其和、差、積、商（商的情形要求分母在σ內不為零）也是該區(qū)域中的解析函數。（3）如果函數ξ=f（z）在區(qū)域σ內解析，而函數w=g（ξ）在區(qū)域G內解析，若對于σ內的每一點z，函數f（z）的值ξ均屬于G，則函數w=g[f(z)]是區(qū)域σ上復變量z的一個解析函數。（4）如果w=f（z）是區(qū)域σ上的一個解析函數，且在點z0∈σ的鄰域中|f’（z）|≠0，則在點w0=f（z）∈G的鄰域中函數f（z）的值定義一個反函數z=ψ（w），它是復變量w的解析函數。有f’（z0）=1/ψ’（w0）。66可導：對任何方向的，極限都存在并唯一。xyz復數復函數

z沿任一曲線逼近零。柯西—黎曼方程0實數實數：

x沿實軸逼近零。因此，復函數的可導性是比實函數的可導性條件強得多。Q：當u，v有偏導時，在什么補充條件下，W=f(z)也有導數？

設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D上有定義，在D內一點z=x+iy可導，有68柯西—黎曼方程

z沿實軸,

y0可導，要求二者相等必要條件

z沿虛軸,

x069可導的充分條件:f(z)的存在，連續(xù)且滿足柯西—黎曼方程。證：偏導數連續(xù)，則二元函數u

和v

的增量可分別寫為隨著則柯西—黎曼方程這一極限是與的方式無關的有限值703.解析函數的充分必要條件4.解析函數的充分條件函數f(z)

在區(qū)域B內解析當且僅當(1)實部和虛部在B內可微；(2)實部和虛部在B內每一點滿足Cauchy-Riemann條件設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內滿足那么f(z)在B內解析。調和函數微商及解析函數基本概念實變函數復變函數極限連續(xù)導數71微商及解析函數高數中學習的所有求導和微分法則都可以推廣到復變函數中來，見書P1472微商及解析函數解析函數的實部和虛部通過C-R條件聯系著，因此，只要知道解析函數的實部（或虛部），就能求出相應的虛部（或實部）。具體可以用以下兩種方法求：（1）已知u求v，可以從全微分出發(fā)：73微商及解析函數（2）已知u求v，還可以由關系，對y積分來求：當然也可以由關系兩邊對x積分，類似上述過程求v。例題（見書p20）像解析函數的實部和虛部這樣的兩個由C-R條件聯系著的調和函數u和v，稱為共軛調和函數。74例：試證在復平面上解析，且證：這四個偏導在復平面處處連續(xù)，且：所以f(z)在復平面內解析，同時75761.4初等解析函數1指數函數這里的ex是實指數函數實的正余弦函數性質：77三角正弦與余弦函數將兩式相加與相減,得現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變數取復值的情況.2三角函數78三角函數79(注意：這是與實變函數完全不同的)sinz的零點(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(4)(5)sinz,cosz在復數域內均是無界函數80其它復變三角函數的定義813雙曲函數824對數函數因此83對數函數的基本運算性質下面等式不再成立而應該是84初等解析函數85865冪函數冪函數的基本性質

3）當a取整數n時，冪函數是一個單值函數。4）當a取1/n（n為整數）時，冪函數是一個n值函數。

87本章小結復數的概念（由實數擴展而來）復變函數的概念（由實變函數擴展而來）定義：兩個復數集合之間的映射；特點：定義域和值域為2維；定義域出現復連通現象；不能用一個圖形完全描述；極限存在的要求提高；分析：可以分解成2個二元實函數；解析函數滿足C-R條件；實部和虛部都是調和函數，相互正交。88初等解析函數指數函數定義w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性質不對稱性周期性exp(z+2kπi)=exp(z)無界性單值性初等解析函數如果取z=±iθ，則得到歐拉公式：

一般寫成：初等解析函數三角函數定義w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性質對稱性周期性無界性單值性初等解析函數對任何復數z，前述Euler公式成立：

復三角函數在復平面解析，且有下面的基本運算性質：（1）cosz是偶函數，sinz是奇函數；初等解析函數

（2）cosz和sinz是以2π為周期的周期函數；

（3）初等解析函數

（4）

（5）（6）cosz在復平面的零點是:sinz在復平面的零點是:(7)|sinz|和|cosz|可大于任何正數（與實函數情形不同），例如，當z=2i時：初等解析函數對數函數定義w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×

exp(iφ)]

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性質對稱性非周期性無界性多值性初等解析函數多值函數的概念初等復變多值函數的多值性是由于輻角的多值性引起的，所以我們先研究輻角函數：

w=Argz函數有無窮個不同的值：