專題13用相似三角形解決問題一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?亭湖區(qū)校級期末）張華同學的身高為160厘米，某一時刻他在陽光下的影子長為200厘米，與他相鄰近的一棵樹的影子長為6米，則這棵樹的高為（）米．A．3.2 B．4.8 C．5.2 D．5.62．（2022春?吳江區(qū)期末）如圖，小明在A時測得某樹的影長為8m，B時又測得該樹的影長為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）m．A．2 B．4 C．6 D．83．（2020秋?濱湖區(qū)期末）有一個三角形木架三邊長分別是15cm，20cm，24cm，現(xiàn)要再做一個與其相似的三角形木架，而只有長為12cm和24cm的兩根木條．要求以其中一根為一邊，從另一根截下兩段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（）A．一種 B．兩種 C．三種 D．四種4．（2021秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結(jié)論：①∠CAF＝∠DAE；②FC=2DE；③當∠AEC＝135°時，E為△ADC的內(nèi)心；④若點F在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點FA．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共4小題）5．（2021秋?常州期末）如圖，某班學生興趣小組結(jié)合課堂所學的數(shù)學知識，利用木棒估測旗桿的高度．當學生甲的眼睛在點A處看學生乙所舉的木棒DE時，發(fā)現(xiàn)旗桿BC恰好被木棒完全擋住．若DE∥BC，DE長為1.2m，測得此時點A到木棒和旗桿的距離分別為2m和20m，則旗桿BC的高度是．6．（2022春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖是一位同學用激光筆測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，若AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB＝1.5m，BP＝2m，PD＝6m，則該古城墻的高度CD是m．7．（2020秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點P、A、C在一條直線上，點P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB∥CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點P到橫桿AB的距離是1m，則點P到地面的距離等于m．8．（2021秋?淮陰區(qū)期末）如圖，長為2m的竹竿與樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點，竹竿與這一點相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為m．三．解答題（共4小題）9．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處．折痕AE＝510，且tan∠EFC=4（1）求證：△AFB∽△FEC；（2）求矩形ABCD的周長；（3）若點G為線段BC上一點，當∠GAE＝45°時，直接寫出線段CG的長．10．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在線段AB上，動點M從點A出發(fā)向點B做勻速運動，同時動點N從B出發(fā)向點A做勻速運動，當點M、N其中一點停止運動時，另一點也停止運動，分別過點M、N作AB的垂線，分別交兩直角邊于點D、E，連接DE，若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形DENM總為矩形（點M、N重合除外）．（1）寫出圖中與△ABC相似的三角形；（2）如圖，設(shè)DM的長為x，矩形DENM面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當x為何值時，矩形DENM面積最大？最大面積是多少？（3）在運動過程中，若點M的運動速度為每秒1個單位長度，求點M，N相遇前點N的運動速度．求t為多少秒時，矩形DEMN為正方形？11．（2021秋?贛榆區(qū)期末）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．（1）在圖①中，PDPA=；（填（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點P，使APBP②如圖③，在線段BC上找一點P，使△APB∽△CPD．12．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，AB＝BC＝4，CD＝5．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向點C運動：動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C→D→A方向，向點A運動，過點Q作QELBC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．問：①在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DP為底的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△COE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC，AB＝AC＝a，點D是邊BC上的一點，且BD＝a，AD＝DC＝1，則a等于（）A．5+12 B．5-12 C2．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E，F(xiàn)是線段AB上的兩個動點，且∠ECF＝45°，過點E，F(xiàn)分別作BC，AC的垂線相交于點M，垂足分別為H，G．有以下結(jié)論：①AB=2；②當點E與點B重合時，MH=12；③△ACE∽△BFC；④AF+BEA．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，有一塊形狀為Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一個形狀為?DEFG的工件，使GF在邊BC上，D、E兩點分別在邊AB、AC上，若點D是邊AB的中點，則S?DEFG的面積為（）cm2．A．10 B．12 C．14 D．164．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點，BM與AC垂直，交直線AC于點N，連接DN，則下列四個結(jié)論中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD=2；④△AMN∽△CAB正確的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④二．填空題（共4小題）5．（2021春?蘇州期末）我國古代數(shù)學發(fā)展源遠流長，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形BCDE的邊BE、CD表示井的直徑，A在CB的延長線上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根據(jù)以上條件，可求得井深BC為尺．6．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂部．如果王青眼睛與地面的距離KL＝1.6m，同時量得LM＝0.4m，MS＝5m，則樓高TS＝m．7．（2020?濱湖區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E，且CE＝4AE，點F在DC的延長線上，連接EF，過點E作EG⊥EF，交CB的延長線于點G，連接GF并延長，交AC的延長線于點P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是．8．（2018?鎮(zhèn)江模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以點C為圓心，4為半徑的圓上有一動點D，連接AD，BD，CD，則12BD+AD的最小值是三．解答題（共4小題）9．（2022春?宿豫區(qū)期中）在正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（與點B、C不重合），以AE為直角邊在直線BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如圖1，若EF與CD交于點G，連接CF．①求證：△ABE∽△ECG；②求BECF③若正方形ABCD的邊長為1，在點E運動過程中，則以A、D、F為頂點的三角形周長的最小值為；（2）如圖2，若AF與CD交于點P，連接BD分別與AE、AF交于點M、N，連接PM．求證：PM⊥AE．10．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點D在邊BC上，過點D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點E、F．如果DEDF=sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD=2CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．①試說明：四邊形MNFD為正方形；②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB=43，求∠CAB的正平分線11．（2022秋?高郵市期中）【模型建立】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、AC邊上，∠ADE＝60°，求證：AB?CE＝BD?DC；【模型應用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于點D，點E在AC邊上，AE＝AD，點F在DC邊上，∠EFD＝60°，則DFCF的值為【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠ABC＝60°，點D、E分別在BC、AC邊上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的長．12．（2022秋?射陽縣月考）從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中，一個為等腰三角