PAGE6PAGE1《數(shù)學(xué)史論約》試題一、填空1、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是（）；2、數(shù)學(xué)史分期的依據(jù)主要有兩大類，其一是根據(jù)（）來(lái)分期，其一是根據(jù)（）來(lái)分期；3、17世紀(jì)產(chǎn)生了影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它們分別是（）、（）、（）、（）、（）；4、18世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展以（）為主線；5、整數(shù)458用古埃及記數(shù)法可以表示為（）。6、研究巴比倫數(shù)學(xué)的主要?dú)v史資料是（），而萊因特紙草書和莫斯科紙草書是研究古代（）的主要?dú)v史資料；7、古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展歷經(jīng)1200多年，可以分為（）時(shí)期和（）時(shí)期；8、17世紀(jì)創(chuàng)立的幾門影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，分別是笛卡兒和（）創(chuàng)立了解析幾何，牛頓和（）創(chuàng)立了微積分，（）和帕斯卡創(chuàng)立了射影幾何，（）和費(fèi)馬創(chuàng)立了概率論，費(fèi)馬創(chuàng)立了數(shù)論；9、19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是（）精神和（）精神都高度發(fā)揚(yáng)；10、整數(shù)458用巴比倫的記數(shù)法可以表示為（）。11、數(shù)學(xué)史的研究?jī)?nèi)容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內(nèi)史，即（），其一是外史，即（）；19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說(shuō)明：（1）分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化和（），（2）（）和射影幾何的完善，（3）群論和（）；13、20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展“日新月異，突飛猛進(jìn)”，其顯著趨勢(shì)是：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公理化，數(shù)學(xué)發(fā)展整體化，（）的挑戰(zhàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)異軍突起，數(shù)學(xué)傳播與（）的社會(huì)化協(xié)作，（）的導(dǎo)向；14、《九章算術(shù)》的內(nèi)容分九章，全書共（）問(wèn)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家（）曾為它作注；15、整數(shù)458用瑪雅記數(shù)法可以表示為（）。16、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，既要研究其（歷史進(jìn)程），還要研究其（）；17、古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派有泰勒斯學(xué)派、（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派）、（厄利亞學(xué)派）、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和（）；18、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家（）在他的著作（）中，系統(tǒng)地研究了當(dāng)時(shí)對(duì)一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以用以下三方面的典型成就加以說(shuō)明：（1）（）和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立；（2）非歐幾里得幾何學(xué)問(wèn)世和（）；（3）在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域（）與非交換代數(shù)的誕生。20、整數(shù)458用古印度記數(shù)法可以表示為（）。選擇數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是（）；A、數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)B、歷史學(xué)科知識(shí)C、數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史2、中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以（）為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算；A、算籌B、籌算C、珠算3、阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數(shù)”的方程形如（）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算術(shù)》的作者（）；A、是劉徽B、是楊輝C、不可詳考5、柯西把分析學(xué)的基礎(chǔ)建立在（）之上。A、導(dǎo)數(shù)論B、極限論C、集合論三、解釋古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方程術(shù)印度數(shù)學(xué)6、《幾何原本》7、阿爾-花拉子模8、牟合方蓋9、籌算10、不可分量原理大衍求一術(shù)12、超實(shí)數(shù)域13．巴比倫楔形文字泥板14．《海島算經(jīng)》。15．窮竭法原理16．開(kāi)方術(shù)四、求解用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對(duì)角線不可以公度。以X2+8X=84為例，說(shuō)明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應(yīng)的幾何釋意。3．以為例，說(shuō)明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。4.曲邊四邊形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積。5、用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；6.用秦九韶的“大衍求一術(shù)”求解一次同余式組：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）7.用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對(duì)角線不可以公度。8.用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解并給出相應(yīng)的幾何釋意。五、注釋1、“對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)分別加上某個(gè)數(shù)，使它們成為兩個(gè)平方數(shù)?！盵丟番圖方法]用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)可以表示為：丟番圖的解題方法是：??；構(gòu)成差3-2=1；取兩數(shù)積等于該差：；設(shè)；解得。要求：分析丟番圖解法的要點(diǎn)，并論證其合理性。2、《張丘建算經(jīng)》卷上第23問(wèn)：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問(wèn)日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術(shù)曰置今織尺數(shù)以一月日而一所得倍之又倍初日尺數(shù)減之余為實(shí)以一月日數(shù)初一日減之余為法實(shí)如法而一”將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理。3、“求四個(gè)數(shù)，使這四個(gè)數(shù)之和的平方加上或減去這四個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)，所得的仍然是一個(gè)平方數(shù)?！盵丟番圖解法]取四組數(shù)（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令將x1=40562代入，解得，故(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丟番圖解法的要點(diǎn)，并說(shuō)明其合理性。“今有人持米出三關(guān)外關(guān)三而取一中關(guān)五而取一內(nèi)關(guān)七而取一余米五斗問(wèn)持米幾何答曰十斗九升八分升之三術(shù)曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實(shí)以余不稅者二之四之六之為法實(shí)如法而一”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，論述其造術(shù)原理。5、“已知一個(gè)數(shù)為兩個(gè)平方數(shù)之和，把它分成另外兩個(gè)平方數(shù)之和。”[丟番圖解法]x2+y2=m2+n2取13=22+32，令x2=(+2)2，y2=(2-3)2，由(+2)2+(2-3)2=13，解得=8/5，故x2=324/25，y2=1/25。要求：分析丟番圖的解法原理，并探討其解法的變化；6、“今有與人錢初一人與三錢次一人與四錢次一人與五錢以次與之轉(zhuǎn)多一錢與訖還斂聚與均分之人得一百錢問(wèn)人幾何答曰一百九十五人術(shù)曰置人得錢數(shù)以減初錢數(shù)余倍之以轉(zhuǎn)多錢數(shù)加之得人數(shù)”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，分析其造術(shù)原理。7．如圖，取KL上任一點(diǎn)Z，使，由于NO非常小，設(shè)，則有(1)有，即；類似地，可以得到曲邊四邊形面積(2)要求：用上例說(shuō)明巴羅已經(jīng)認(rèn)識(shí)到微分與積分的互逆關(guān)系。8、《九章算術(shù)》均輸?shù)?6問(wèn)“今有客馬日行三百里?？腿ネ忠?，日已三分之一，主人乃覺(jué)。持衣追及與之而還，至家視日四分之三。問(wèn)主人馬不休，日行幾何。答曰：七百八十里。術(shù)曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以為法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，為實(shí)。實(shí)如法得主人馬一日行。”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理?！稊?shù)學(xué)史論約》復(fù)習(xí)題參考答案一、填空（22分）1、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是（數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史），既要研究其歷史進(jìn)程，還要研究其（一般規(guī)律）；2、數(shù)學(xué)史分期的依據(jù)主要有兩大類，其一是根據(jù)（數(shù)學(xué)學(xué)科自身的研究對(duì)象、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、知識(shí)領(lǐng)域的演進(jìn)）來(lái)分期，其一是根據(jù)（數(shù)學(xué)學(xué)科所處的社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、文化環(huán)境的變遷）來(lái)分期；3、17世紀(jì)產(chǎn)生了影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它們分別是（解析幾何）、（微積分）、（射影幾何）、（概率論）、（數(shù)論）；4、18世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展以（微積分的深入發(fā)展）為主線；5、整數(shù)458用古埃及記數(shù)法可以表示為（）。6、研究巴比倫數(shù)學(xué)的主要?dú)v史資料是（契形文字泥板），而萊因特紙草書和莫斯科紙草書是研究古代（埃及數(shù)學(xué)）的主要?dú)v史資料；7、古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展歷經(jīng)1200多年，可以分為（古典）時(shí)期和（亞歷山大里亞）時(shí)期；8、17世紀(jì)創(chuàng)立的幾門影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，分別是笛卡兒和（費(fèi)馬）創(chuàng)立了解析幾何，牛頓和（萊布尼茨）創(chuàng)立了微積分，（笛沙格）和帕斯卡創(chuàng)立了射影幾何，（帕斯卡）和費(fèi)馬創(chuàng)立了概率論，費(fèi)馬創(chuàng)立了數(shù)論；9、19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是（創(chuàng)造）精神和（嚴(yán)格）精神都高度發(fā)揚(yáng)；10、整數(shù)458用巴比倫的記數(shù)法可以表示為（）。11、數(shù)學(xué)史的研究?jī)?nèi)容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內(nèi)史，即（數(shù)學(xué)內(nèi)在學(xué)科因素促使其發(fā)展），其一是外史，即（數(shù)學(xué)外在的似乎因素影響其發(fā)展）；19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說(shuō)明：（1）分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化和（復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)立），（2）（非歐幾里得幾何學(xué)問(wèn)世）和射影幾何的完善，（3）群論和（非交換代數(shù)誕生）；13、20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展“日新月異，突飛猛進(jìn)”，其顯著趨勢(shì)是：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公理化，數(shù)學(xué)發(fā)展整體化，（電子計(jì)算機(jī)）的挑戰(zhàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)異軍突起，數(shù)學(xué)傳播與（研究）的社會(huì)化協(xié)作，（新理論）的導(dǎo)向；14、《九章算術(shù)》的內(nèi)容分九章，全書共（246）問(wèn)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家（劉徽）曾為它作注；15、整數(shù)458用瑪雅記數(shù)法可以表示為（）。16、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，既要研究其（歷史進(jìn)程），還要研究其（一般規(guī)律）；17、古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派有泰勒斯學(xué)派、（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派）、（厄利亞學(xué)派）、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和（亞里士多德學(xué)派）；18、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家（阿爾-花拉子模）在他的著作（《代數(shù)學(xué)》）中，系統(tǒng)地研究了當(dāng)時(shí)對(duì)一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以用以下三方面的典型成就加以說(shuō)明：（1）（分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化）和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立；（2）非歐幾里得幾何學(xué)問(wèn)世和（射影幾何的完善）；（3）在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域（群論）與非交換代數(shù)的誕生。20、整數(shù)458用古印度記數(shù)法可以表示為（）。二、選擇題數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是（C）；A、數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)B、歷史學(xué)科知識(shí)C、數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展的歷史2、中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以（B）為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算；A、算籌B、籌算C、珠算3、阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數(shù)”的方程形如（A）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算術(shù)》的作者（C）；A、是劉徽B、是楊輝C、不可詳考5、柯西把分析學(xué)的基礎(chǔ)建立在（B）之上。A、導(dǎo)數(shù)論B、極限論C、集合論三、解釋（28分）古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派——公元前6世紀(jì)~公元前3世紀(jì)，是古希臘的古典時(shí)期，當(dāng)時(shí)的哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家，先后形成以一兩位杰出人物為中心的組織，開(kāi)展學(xué)術(shù)、或政治、或宗教活動(dòng)，這類組織被稱為古希臘哲學(xué)學(xué)派，亦即古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派。他們相繼是泰勒斯學(xué)派、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、厄利亞學(xué)派、巧辯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、歐多克索學(xué)派和亞里士多德學(xué)派，他們?yōu)槌醯葦?shù)學(xué)的開(kāi)創(chuàng)作出重要貢獻(xiàn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)——公元8世紀(jì)~15世紀(jì)，在中東、北非和西班牙等地的伊斯蘭國(guó)家，以阿拉伯文字書寫為主的數(shù)學(xué)著作所代表的數(shù)學(xué)；為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)作出貢獻(xiàn)的人，不止于阿拉伯人，還有希臘人、波斯人、猶太人、甚至有基督徒。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)史上有承前啟后的作用，有人稱之為歐洲近代數(shù)學(xué)的“繼父”。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的興衰經(jīng)歷了8~9世紀(jì)的初創(chuàng)、9~13世紀(jì)的興盛、14世紀(jì)以后外傳三個(gè)階段。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)——從遠(yuǎn)古到明代，在中國(guó)獨(dú)立產(chǎn)生、發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。它以籌算為基礎(chǔ)，以算為主，寓理于算，廣泛應(yīng)用。它有明顯的算法化、模型化、程序化、機(jī)械化的特征。方程術(shù)——載于《九章算術(shù)》卷八方程章，按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，方程術(shù)是指多元線性方程組的求解方法。方程術(shù)采用線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，通過(guò)“遍乘”、“直除”的方法，即矩陣的初等行變換，將矩陣化為三角陣，逐一求解各變量的值。這種方法與19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的方法完全一致，只是矩陣的書寫是豎式，轉(zhuǎn)置后與現(xiàn)代的表達(dá)完全一樣。而且，3世紀(jì)的劉徽在注釋方程術(shù)時(shí)，還明確指出方程組有解的條件，即“行之左右無(wú)所同存，且為有所據(jù)而言耳?！庇《葦?shù)學(xué)——6世紀(jì)—12世紀(jì)，印度文明古國(guó)的數(shù)學(xué)與歷法都受婆羅門宗教的影響而發(fā)展起來(lái)，同阿拉伯、中國(guó)都有來(lái)往，但記載不詳。在印度ganita(計(jì)算）載于宗教書，年代不詳，公元后該字被分為Pati-ganita(算術(shù))，Bija-ganita(代數(shù))，Krestra-ganita(幾何)?！耙蛎鳌彼婆c邏輯學(xué)同義，與數(shù)學(xué)關(guān)系不明，古希臘似的幾何論證并不發(fā)展，先進(jìn)的十進(jìn)位值制，使用記號(hào)的代數(shù)卻發(fā)展起來(lái)。這個(gè)時(shí)期有著名的數(shù)學(xué)家：Arya-Bhatta（476~550）阿利阿伯哈塔Brahmagupta（598~660）婆羅摩及多“梵藏”Bhaskara—Acharya（1114~1185）婆什迦羅6、《幾何原本》——公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的巨著。版本：目前可見(jiàn)最早的是888年希臘文抄本，最早的中譯本是1607年徐光啟筆譯，后來(lái)1857年李善蘭續(xù)中譯本，1925年T.LHeath英譯本比較權(quán)威，1990年有中譯本。內(nèi)容：原版13卷，后人有擴(kuò)充成15卷的版本。13卷的內(nèi)容包括：[1]直線形，[2]幾何代數(shù)法，[3]圓，[4]多邊形，[5]比例論[6]相似形，[7][8][9]數(shù)論，[10]不可公度比，[11]立體圖形，[12]求積術(shù)，[13]正多面體；這些數(shù)學(xué)知識(shí)可以追溯到古希臘古典時(shí)期的數(shù)學(xué)學(xué)派，乃至巴比倫和古埃及。特征：1．大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；2．采用獨(dú)特的編寫方式：先給出定義，公設(shè)，公理，再由簡(jiǎn)到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯演繹體系，成為后世西方數(shù)學(xué)的典范。7、阿爾-花拉子?！?約780~840，一說(shuō)850)(A-Khowarizmi，MohammedibnMusa)曾擔(dān)任巴格達(dá)“智慧宮”的主持人，著有《代數(shù)學(xué)》、《Al-jabrW`almuqabala》《Algebra》，意為“復(fù)原”與“化簡(jiǎn)”；其中，討論一元一次、二次方程求解：用“數(shù)”、“根”、“平方”分別表示：常數(shù)、x、x2，研究以下形式的方程：ax2=bxax2=cbx=cax2=bx+cax2+bx=cax2+c=bx譬如x2+10x=39稱之為“平方和根等于數(shù)”型，對(duì)于每一種方程給出解法，求出“根”和“平方”兩個(gè)結(jié)果，但是一般只有正根，另外給出幾何“證明”，以示其解法的合理性。8、牟合方蓋——一個(gè)正方體用它的兩個(gè)中心軸線互相垂直的內(nèi)切圓柱貫穿，所得到的相貫體；它是公元3世紀(jì)的劉徽在注“開(kāi)立圓術(shù)”時(shí)提出的概念，并認(rèn)識(shí)到它與其內(nèi)切球的體積之比為4：，但是不會(huì)計(jì)算它的體積；6世紀(jì)的祖暅用“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理，求出了它的體積，進(jìn)而求出了球體積。9、籌算——在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，把生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一定的數(shù)學(xué)模型，采用算籌表示數(shù)，按照特定“術(shù)文”進(jìn)行運(yùn)算，從而解決實(shí)際問(wèn)題。籌算具有明顯的算法化、模型化、程序化、機(jī)械化的特征?；I算以算為主，寓理于算，廣泛應(yīng)用。10、不可分量原理——意大利數(shù)學(xué)家Cavalieri，F(xiàn)rancescoBonaventure（1598~1647）在《用新的方法推進(jìn)連續(xù)體的不可分量的幾何學(xué)》（1635）提出“不可分量原理”：線段是無(wú)數(shù)個(gè)等距點(diǎn)構(gòu)成，面積是無(wú)數(shù)個(gè)等距平行線段構(gòu)成，體積是無(wú)數(shù)個(gè)等距平行平面構(gòu)成，這些點(diǎn)、線段、平面是長(zhǎng)度、面積、體積的“不可分量”。Cavalieri利用這種“不可分量”，進(jìn)行長(zhǎng)度、面積、體積的計(jì)算及其相關(guān)的推理，但是，他未能對(duì)“不可分量”作出嚴(yán)格的論述。數(shù)學(xué)家們對(duì)此褒貶不一。1644年，Cavalieri本人發(fā)現(xiàn)了關(guān)于“不可分量”的悖論。大衍求一術(shù)——“大衍求一術(shù)”起源于5世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》卷下第26問(wèn)“物不知其數(shù)”，世紀(jì)秦九韶的《數(shù)書九章》（1247年）總結(jié)出該算法，現(xiàn)在國(guó)際上稱之為“中國(guó)剩余定理”。秦九韶的工作可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表示如下：對(duì)于一般的一次同余式組NRi(modAi)i=1,2,3,…n，給出“大衍總數(shù)術(shù)”，它包括兩部分：1）將{Ai}，化為{ai}，使(ai,aj)=1,ij，得到等價(jià)問(wèn)題NRi(modai)i=1,2,3,…n；此為化“問(wèn)數(shù)”為“定數(shù)”。2）求解ki×gi1(modai)i=1,2,3,…n；得到ki。從而，N=RiKi(M/ai)-pM，i=1,2,3,…n；其中M=ai，giai，為mI=M/aI累減ai所得余，p為適當(dāng)?shù)姆秦?fù)整數(shù)，使NM；此為“大衍求一術(shù)”。12、超實(shí)數(shù)域——在美國(guó)數(shù)學(xué)家Robinson，Abraham（1918~1974）創(chuàng)立非標(biāo)準(zhǔn)分析中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)域R的一個(gè)有序域正真擴(kuò)張R*，R*的元素稱之為超實(shí)數(shù)。若xR*，r0rR，有|x|r，則x稱為無(wú)窮?。蝗魓、yR*，x-y是無(wú)窮小，則x、y為無(wú)限接近，記為xy。對(duì)于每一個(gè)有限超實(shí)數(shù)x，存在唯一實(shí)數(shù)r，使rx，則這個(gè)唯一的r為x的標(biāo)準(zhǔn)部分，記為r=St(x)。xR*，在r=St(x)周圍有與x相差為無(wú)窮小的單子的集合。在此基礎(chǔ)之上，建立超實(shí)數(shù)域上的微積分，把無(wú)窮小作為一個(gè)邏輯實(shí)體，又有求標(biāo)準(zhǔn)部分的方法，為微積分的運(yùn)算和推理帶來(lái)了方便。13．巴比倫楔形文字泥板——現(xiàn)在我們研究巴比倫數(shù)學(xué)知識(shí)的積累最可靠的資料，它是用截面呈三角形的利器作筆，在將干而未干的膠泥板上斜刻寫而成的，由于字體為楔形筆畫，故稱之為楔形文字泥板書。從19世紀(jì)前期至今，相繼出土了這種泥板有50萬(wàn)塊之多。其中，大約有300至400塊是數(shù)學(xué)泥板，數(shù)學(xué)泥板中又以數(shù)表居多，據(jù)推測(cè)這些數(shù)表是用來(lái)運(yùn)算和解題的。這些古老的泥板，現(xiàn)在散藏于世界各地許多博物館內(nèi)，并且被一一編號(hào)。在這些泥板書中，記錄了巴比倫人當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)成就。14．《海島算經(jīng)》——?jiǎng)⒒兆⑨尅毒耪滤阈g(shù)》勾股之后，感到意猶未盡，又自撰了九問(wèn)附于勾股之后，皆為重差術(shù)之題。因此，有的《九章算術(shù)》版本把它作為第十章，稱為重差。后來(lái)，還是將它獨(dú)立出來(lái)成為《海島算經(jīng)》。15．窮竭法原理——如果從任何量中減去不小于其一半的量，從余下的量中再減去不小于其一半的量，如此類推，那么最后余下的量將小于任何事先給定的同類量。16．開(kāi)方術(shù)——最早載于《九章算術(shù)》少?gòu)V第12問(wèn)的開(kāi)平方術(shù)，還有開(kāi)帶從平方，以及開(kāi)立方和開(kāi)帶從立方術(shù)，后來(lái)又演變成增乘開(kāi)方法，可以開(kāi)任意次方，并且算法規(guī)范，人們都認(rèn)為，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“開(kāi)方術(shù)”與高次方程數(shù)值解相關(guān)。四、求解（24分）用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對(duì)角線不可以公度。解：abr3r1r2b=a+r1，a=r1+r2，r1=r2+r3，r2=r3+r4，······，rn=rn+1+rn+2······，只有當(dāng)rn=0時(shí)，a與b才能公度，而這是不可能的。以X2+8X=84為例，說(shuō)明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應(yīng)的幾何釋意。解：[解法步驟]_______________________8/2(8/2)2(8/2)2+84(8/2)2+84(8/2)2+84-(8/2)10–4=662=364x424x424x4x4xx24xx23．以為例，說(shuō)明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。泰塔格利亞的解法：設(shè)，則有對(duì)于這個(gè)方程組用巴比倫人的方法可以求解：即可求出，開(kāi)立方后，即得?？ǖさ墓ぷ鳎河米儞Q，化為型三次方程，再用泰塔格利亞的方法求解，此后他還對(duì)這種方法給出了幾何證明。如圖，考慮兩個(gè)正方體AE，CL，其體積之差值為20。若令A(yù)C×CK=2，能作出BC=CK，則AB=AC-BC為所求。為此，在正方體AE中劃分出正方體DC，使VDC=VCL，于是產(chǎn)生以下分割：VDC=BC3，VDF=AB3，VDE=BC×AB2，VDA=AB×BC2，VAE=AC3，BC3=CK3。由圖，可見(jiàn)AC3-BC3=3VDA+3VDE+VDF(1)由于AC×CK=2，所以AC×3CK=6，即有AB×AC×3CK=6AB，3AB×AC×BC=6AB(2)而AB×AC×BC=VDA+VDE，所以6AB=3AB×AC×BC=3×DA+3×DE(3)將(3)代入(1)得AC3-BC3=6AB+VDF，即有AB3+6AB=20，故AB=AC-BC．4.曲邊四邊形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積。解:__取OA=22k,任取垂直于y軸的截面MN，可有：S側(cè)=2·OL·LM=2k·，S截=·(OA/2)2=2k·；一一對(duì)應(yīng)，兩兩相等，由不可分量原理，得V=2k·m·。5、用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；解：將方程化為X2–6X–42=0；如圖，取AB=6，AP=PB，作BC垂直于AB，取BC=4，以P為圓心，以PC為半徑，劃弧，交AB的延長(zhǎng)線于D，則有向線段AD或DB為所求的解。用秦九韶的“大衍求一術(shù)”求解一次同余式組：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）解：求“定數(shù)”：789a1=7a2=8aa1a2a3為Ai的最小公倍數(shù)，且ai|AN1(mod7)2(mod8)3(mod9)求“衍母”：M=7×8×9=504求“衍數(shù)”：m1=72m2求“奇數(shù)”：g1=2g2=7求“乘率”：k1×21(mod7)k2×71(mod8)k3×21(mod9)k1=4k2=7k3=5求“泛用”：k1m1=288k2m2=441故得N1×288+2×441+3×280(mod7×8×9)N=2010-3×504=498．用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對(duì)角線不可以公度。如上圖，正方形ABDC的邊，對(duì)角線，由A作∠BAD的平分線交BD于E，過(guò)E作EB′⊥AD，交AD于B′，過(guò)E作∠B′ED的平分線交B′D于E′，過(guò)E′作E′B"⊥BD，交BC于B"，過(guò)E′作∠B"E′D的平分線交B"D于E"，BE=r1，B′E′=r2。通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何證明，就可以得到如下的關(guān)系式：，其中的rn可以無(wú)窮無(wú)盡地寫下去，所以正方形的邊與對(duì)角線之比成為不可公度比，即無(wú)法找到一個(gè)單位能夠分別把和量盡。用古希臘的“幾何代數(shù)法”求解并給出相應(yīng)的幾何釋意。如圖，設(shè)，即解方程。滿足。五、注釋（26分）1、“對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)分別加上某個(gè)數(shù)，使它們成為兩個(gè)平方數(shù)?！盵丟番圖方法]用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)可以表示為：丟番圖的解題方法是：??；構(gòu)成差3-2=1；取兩數(shù)積等于該差：；設(shè)；解得。要求：分析丟番圖解法的要點(diǎn)，并論證其合理性。[分析]上面我們看到的是不定方程，如何求解？上述解法合理嗎？我們知道解方程一般原理是消元、降次，但是丟番圖是如何消元、降次的呢，他確實(shí)是很有講究的。[評(píng)論]我們不妨設(shè)，??；令，則；得。關(guān)鍵在于。2、《張丘建算經(jīng)》卷上第23問(wèn)：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問(wèn)日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術(shù)曰置今織尺數(shù)以一月日而一所得倍之又倍初日尺數(shù)減之余為實(shí)以一月日數(shù)初一日減之余為法實(shí)如法而一”將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，注釋題文、術(shù)文，論述其造術(shù)原理。[譯文]今有一女子善長(zhǎng)織布，一天比一天快。第一天織5尺，一個(gè)月織9匹3丈。問(wèn)：她每天比前一天多織多少？答：5寸15/29寸。[解法]（9匹3丈/30）2，5尺2，（9匹3丈/30）2-5尺2，30–1，[（9匹3丈/30）2-5尺2]/（30-1）[造術(shù)原理]按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，這是關(guān)于等差數(shù)列的問(wèn)題。已知：首項(xiàng)a1，前n項(xiàng)的和Sn，求：公差d；解法：Sn=[（a1+an）n]/2，而an=a1+（n-1）d，Sn=[（a1+a1+（n-1）d）]/2，d=（Sn2-2a1）/（n-1）這與以上解法的表達(dá)完全一樣，可見(jiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)中已經(jīng)有關(guān)于等差數(shù)列的求解問(wèn)題。3、“求四個(gè)數(shù)，使這四個(gè)數(shù)之和的平方加上或減去這四個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)，所得的仍然是一個(gè)平方數(shù)?！盵丟番圖解法]取四組數(shù)（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令將x1=40562代入，解得，故(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丟番圖解法的要點(diǎn)，并說(shuō)明其合理性。[分析]丟番圖解法的合理性，關(guān)鍵在于巧妙地取了四組勾股數(shù)。在直角三角形中，斜邊與兩直角邊有，故能滿足。所以，能確保結(jié)論的正確?！敖裼腥顺置壮鋈P(guān)外關(guān)三而取一中關(guān)五而取一內(nèi)關(guān)七而取一余米五斗問(wèn)持米幾何答曰十斗九升八分升之三術(shù)曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實(shí)以余不稅者二之四之六之為法實(shí)如法而一”要求：將題文、術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，論述其造術(shù)原理。[譯文]今有一人帶米出關(guān)，外關(guān)收取所帶米的三分之一，中關(guān)收取五分之一，內(nèi)關(guān)收取七分之一，最后剩米五斗。問(wèn)：原帶米多少？答：10斗9升3/8升。[解法]5斗357，246，（5斗357）/（246）[造術(shù)原理]按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，可以列方程如下：設(shè)原帶米x，則有：x（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）=5斗即：x（2/3）（4/5）（6/7）=5斗x=（5斗357）/（246）