類型一圓的基本性質(zhì)證明與計算命題點1垂徑定理例1、如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論正確的是()A．AE>BEB.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))C．∠D＝eq\f(1,2)∠AECD．△ADE∽△CBE【答案】：D命題點2圓周角定理例2、如圖，點O為優(yōu)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圓的圓心，∠AOC＝108°，點D在AB的延長線上，BD＝BC，則∠D______．【答案】：27°重難點1垂徑定理及其應(yīng)用例3、已知AB是半徑為5的⊙O的直徑，E是AB上一點，且BE＝2.(1)如圖1，過點E作直線CD⊥AB，交⊙O于C，D兩點，則CD＝_______；圖1圖2圖3圖4探究：如圖2，連接AD，過點O作OF⊥AD于點F，則OF＝_____；(2)過點E作直線CD交⊙O于C，D兩點．①若∠AED＝30°，如圖3，則CD＝__________；②若∠AED＝45°，如圖4，則CD＝___________．【答案】：（1）8,（2）【思路點撥】由于CD是⊙O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【變式訓(xùn)練1】如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為()A．4B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【答案】：D【變式訓(xùn)練2】【分類討論思想】已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，則弦AB和CD之間的距離是__________________【答案】：2cm或14cmeq\x(方法指導(dǎo))1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結(jié)論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣?。?．圓中有關(guān)弦的證明與計算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關(guān)的三個量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構(gòu)成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實現(xiàn)求解．3．事實上，過點E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長．重難點2圓周角定理及其推論例3、已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4.(1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長；(2)如圖2，若∠A＝45°：①求BC的長；②若點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，求AB的長；(3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長．圖1圖2圖3【答案】（1）4（2）4eq\r(2).,8（3）4eq\r(2).【點撥】連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解的等腰三角形求解．【解析】解：(1)連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).②∵點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8.(3)在優(yōu)弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq\r(2).【變式訓(xùn)練3】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點，∠OAC＝32°，則∠B的度數(shù)是()A．58°B．60°C．64°D．68°【答案】：A【變式訓(xùn)練4】將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A，B的讀數(shù)分別為88°，30°，則∠ACB的大小為()A．15°B．28°C．29°D．34°【答案】Ceq\x(方法指導(dǎo))1．在圓中由已知角求未知角，同(等)弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系是一個重要途徑，其關(guān)鍵是找到同一條?。?．弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個端點，構(gòu)建等腰三角形來解決．3．一條弦所對的兩種圓周角互補，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補．eq\x(模型建立)在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對的邊．eq\x(易錯提示)注意同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關(guān)系弄顛倒．重難點3圓內(nèi)接四邊形例4、如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為()A．50°B．60°C．80°D．90°【答案】C【思路點撥】延長AE交⊙O于點M，由垂徑定理可得eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(DM,\s\up8(︵))，所以∠CBD＝2∠EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE與∠EAD互余，由此得解．【變式訓(xùn)練5】如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是()A．80°B．120°C．100°D．90°【答案】B【變式訓(xùn)練6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠A＝n°，則∠DCE＝____________【答案】n°eq\x(方法指導(dǎo))1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關(guān)系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補和三角形外角的性質(zhì)．2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍．Ｋ能力提升1．如圖，在⊙O中，如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(AC,\s\up8(︵))，那么()A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC【答案】C2．如圖，在半徑為4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，則AB的長為()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)【答案】D3．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O′經(jīng)過原點O，并且分別與x軸、y軸交于點B，C，分別作O′E⊥OC于點E，O′D⊥OB于點D.若OB＝8，OC＝6，則⊙O′的半徑為()A．7B．6C．5D．4【答案】C4．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數(shù)是()A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為()A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A6．如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABDE的兩組對邊，延長線相交于點F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，則∠C的度數(shù)為()A．30°B．43°C．47°D．53°【答案】C如圖，小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學(xué)的知識，將一寬度為2cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請你幫小華算出圓盤的半徑是________cm.【答案】10cm8．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E.(1)求證：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．【答案】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)連接CD.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑．∴∠BDC＝90°.∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝4eq\r(2).∴△ABC外接圓的半徑為2eq\r(2).9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE＝3，則AD的長為()A．5B．4C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)提示：過點D作DF⊥AC于點F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．【答案】D10．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))eq\f(EF,AE)＝eq\f(3,4)，則eq\f(CG,GB)＝_____________．【答案】eq\f(\r(5),5)11．如圖1是小明制作的一副弓箭，點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2，當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.(1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為30eq\r(3)cm；(2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為(10eq\r(5)－10)cm.【答案】,12．如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H.(1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4eq\r(3)，求∠BAC的度數(shù)；(2)若點E為eq\o(ADB,\s\up8(︵))的中點，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD；(3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個？并說明理由．【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(3).在Rt△COH中，sin∠COH＝eq\f(CH,OC)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠COH＝30°.