*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二重積分的計算

第八章

按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：1、積分域D:（1）X-型域D:［X－型］其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).（2）Y-型域D：

Y型區(qū)域的特點:

1)穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個;2)［Y－型］

X型區(qū)域的特點：1)平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；2)

2、X-型域下二重積分的計算:

應(yīng)用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計算這個曲頂柱體的體積。在區(qū)間[a,b]上任取一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。先計算截面面積。oax0

bxyzoax0

bxyz

這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其面積為：一般地，過區(qū)間[a,b]上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應(yīng)用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體體積為這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz---先對y積分，后對x

積分的二次積分【累次積分】就是說，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計算從

1(x)到

2(x)的定積分；再把計算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對x計算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這樣的二次積分也常記作1）積分次序:X-型域先Y后X;2）積分限確定法:域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。類似可得體積計算公式3、Y-型域下二重積分的計算：一般地必須是X－型必須是Y－型當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則說明:

(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.要依被積函數(shù)及積分域兩方面的情況選定積分順序。確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點而定的，一定要做到熟練、準(zhǔn)確。要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。4、二重積分計算的一般方法【化為兩次單積分】其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則例1.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:

為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則例2.

計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例3.計算例4.

求兩個底圓半徑為R

的直交圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為【P58例4】①由所給的積分順序及積分限寫出D的不等式表示并畫出積分區(qū)域的草圖②由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。4、交換積分順序解積分區(qū)域如圖y1y＝2

xO12x2D1D2例6

交換次序解練習(xí)：

改變以下二次積分的積分次序1o2xy1yxy解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則例7.交換下列積分順序D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)D關(guān)于y

軸對稱,f關(guān)于變量x有奇偶性時,有類似結(jié)果.在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則在第一象限部分,則有5、對稱區(qū)域上的積分設(shè)函數(shù)其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,例8.計算當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計算時，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計算問題。二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分1直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：面積元素或一般地有換元積分公式：（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：（4）極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積相當(dāng)于二重積分的換元法2極系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。D：（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1D：（2）區(qū)域如圖2圖2D：（3）區(qū)域如圖3圖3（4）區(qū)域如圖4D：若f≡1則可求得D的面積圖4例9將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。（1)（2）（3）（4）（1）解在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D:（2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D:（2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D:（3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D:（4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D:思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)解例11.計算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.例12.計算解:設(shè)利用上例可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式①【P61例7】注:【另一證明】上式不等式兩邊極限均為由夾逼準(zhǔn)則知被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對稱性可知Dyxo

【P61例8】例13.求球體定積分換元法*三、二重積分換元法滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,【公式證明】即面積元素關(guān)系為其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則例14.

計算解:

由對稱性令則D的原象為的體積V.廣義極坐標(biāo)變換類似可得橢圓面積

例15.試計算橢球體內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則則(2)一般換元公式且則在變換下極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為?畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式補(bǔ)充例題(3)計算步驟及注意事項練習(xí)題一練習(xí)題一答案練習(xí)題二練習(xí)題二答案思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:xyDD

或通過下列方法計算也可借用原函數(shù)證明：設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則提示:積分域如圖2.交換積分順序事實上,當(dāng)D為R2時,利用上例的結(jié)果,得故①式成立.在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的