2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式.(數(shù)學(xué)抽象)3.會(huì)求兩條平行直線間的距離.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡單的平面幾何問題.(數(shù)學(xué)建模)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]在一條筆直的公路同側(cè)有兩個(gè)村莊A和B,現(xiàn)在計(jì)劃在公路上某處建一個(gè)公交站點(diǎn)C,以方便兩村人民的出行.如何選址能使站點(diǎn)到兩個(gè)村的距離之和最小?[知識(shí)點(diǎn)撥]一、兩點(diǎn)間的距離公式1.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么這兩點(diǎn)間的距離為2.特別地,原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離要點(diǎn)筆記1.當(dāng)P1P2∥x軸(y1=y2)時(shí),|P1P2|=|x2-x1|.2.當(dāng)P1P2∥y軸(x1=x2)時(shí),|P1P2|=|y2-y1|.微思考

微練習(xí)已知點(diǎn)P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|=

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二、點(diǎn)到直線的距離1.概念:已知點(diǎn)P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,點(diǎn)P到直線l的距離,就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長度,其中Q是垂足.2.公式:點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的距離名師點(diǎn)析

1.運(yùn)用公式前首先應(yīng)把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對(duì)值符號(hào)里面是把坐標(biāo)(x0,y0)代入直線方程的左邊得到的.當(dāng)A=0或B=0時(shí),上述公式仍然成立.微練習(xí)原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為(

)答案

D微思考點(diǎn)P(x0,y0)到x軸,y軸,直線y=a,x=b的距離分別是什么?提示

到x軸的距離d=|y0|,到y(tǒng)軸的距離d=|x0|,到y(tǒng)=a的距離d=|y0-a|,到x=b的距離d=|x0-b|.三、兩條平行直線間的距離1.概念:夾在兩條平行直線間的公垂線段的長就是兩條平行直線間的距離.2.求法:兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離名師點(diǎn)析

兩條平行線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式,并且x,y分別對(duì)應(yīng)的系數(shù)一模一樣的情況,如果兩平行直線的方程中x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)不同,必須先等價(jià)化為系數(shù)對(duì)應(yīng)相同才能套用公式.微練習(xí)兩條平行線l1:3x-4y-1=0與l2:6x-8y-7=0間的距離為(

)答案

A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例1已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路分析可求出三條邊的長,根據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.要點(diǎn)筆記兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.探究二坐標(biāo)法及其應(yīng)用例2如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點(diǎn),求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式證明.證明

如圖,以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.反思感悟

坐標(biāo)法及其應(yīng)用(1)坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí),關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)系建立的是否合適,會(huì)直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點(diǎn):①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運(yùn)算.②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標(biāo)軸;如果圖形為中心對(duì)稱圖形,可考慮將中心作為原點(diǎn);如果有軸對(duì)稱性,可考慮將對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸.(2)利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟:①建立坐標(biāo)系,盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上;②用坐標(biāo)表示有關(guān)的量;③將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算;④把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.變式訓(xùn)練2已知正三角形ABC的邊長為a,在平面ABC上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.探究三求點(diǎn)到直線的距離例3求點(diǎn)P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.思路分析當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不平行時(shí),直接代入公式求得距離;當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí),可以數(shù)形結(jié)合求解.反思感悟

點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),只需把直線方程化為一般式,直接利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.(2)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)值時(shí),只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于參數(shù)的方程即可.延伸探究

已知點(diǎn)A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a的值為

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探究四兩平行線間的距離例4(1)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(

)思路分析(1)首先利用兩直線平行求出參數(shù)m的值,將兩直線方程對(duì)應(yīng)系數(shù)化為相同,然后代入距離公式求值;(2)首先將兩直線方程系數(shù)化為相同,然后代入距離公式求解.答案

(1)D

(2)A反思感悟

兩條平行線間的距離的求法(1)化為一般式,且兩條平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的,代入兩條平行線的距離公式.(2)一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離.變式訓(xùn)練3已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離是,求l1的方程.

素養(yǎng)形成一題多解——求直線的方程典例求過點(diǎn)M(-2,1),且與A(-1,2),B(3,0)距離相等的直線方程.【規(guī)范答題】

方法總結(jié)

解此類題目有兩種方法,一是利用數(shù)形結(jié)合的方法,過一定點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的直線有兩條(三定點(diǎn)不共線),根據(jù)這兩條直線的幾何特征可求出其直線方程.二是求此類問題的一般方法,它應(yīng)用了點(diǎn)到直線的距離公式,但設(shè)所求直線的方程時(shí),要注意考慮直線的斜率是否存在.

當(dāng)堂檢測(cè)1.點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A',則|AA'|為(

)答案

A答案

A3.兩條平行直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0間的距離為(

)答案

C4.設(shè)點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,線段AB的中點(diǎn)P(2,-1),則|AB|=(

)解析

依題意