第1講直線與平面平行一、教學目標1．借助手中的筆與課本，讓學生直觀感受直線與平面平行的位置關系，并能夠用圖形來表示，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力；2．理解并掌握直線與平面平行的判定定理和性質定理，能運用其解決有關問題；3．通過運用兩個定理解決有關問題，是學生感受化歸的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題、解決問題的能力．二、基礎知識回顧與梳理1.直線a和平面α的位置關系有______、_____、__________，其中_____與______統(tǒng)稱直線在平面外.(1)定義：________________________________________________；(2)判定定理：一條直線與的一條直線平行，則該直線與此平面平行，用符號表示為.3.直線和平面平行的性質定理：一條直線與一個，則過這條直線的任一平面與此平面的與該．用符號表示為：?a∥b.三、診斷練習題1.在長方體ABCDA1B1C1D1的側面和底面所在的平面中(1)與直線AB平行的平面是_______________________(2)與直線AC平行的平面是_______________________【分析與點評】問題1：空間中直線與平面的位置關系有哪些？問題2：要找線面平行，只要找什么？答案：，題2．已知不重合的直線a，b和平面α，①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α；④若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α，上面命題中正確的是(填序號).【分析與點評】借助實物（筆和課桌）讓學生自己動手，擺放所有的可能性．通過最熟悉的幾何體—長方體，讓學生在圖形中畫出上述的幾種情形，增強學生的空間想象力和讀圖能力．【答案】④題3．如果直線平行于平面，則平面內有條直線與平行．【分析與點評】問題1：空間中兩條直線的位置關系有哪些？問題2：在內任意作一條直線，由線面平行的定義知道直線與直線沒有公共點，那么可以由此就斷定與平行嗎？【交流與討論】1．關鍵詞“任意”、“所有”、“無數(shù)”的區(qū)別．2．如果直線垂直于平面，則平面內有條直線與垂直．【答案】無數(shù)（交流與討論中2的答案為“任意”或“所有”）題4．已知直線，平面，且，則“∥”是“∥”的條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【分析與點評】先引導學生回憶命題的充分性與必要性的定義．提出下列問題：由“∥”能推出“∥”嗎？（直線與平面是怎樣的位置關系）由“∥”能推出“∥”嗎？已知直線，平面，且，則“∥”是“∥”的條件．【答案】既不充分也不必要3、要點歸納（1）判斷命題正確與錯誤時，一般錯誤的命題只要舉出反例，正確的命題要進行簡單的證明。有時也可以借助特殊的幾何體，如長方體、正四面體等模型，結合有關的概念加以判斷．（如題２）（2）對于線線、線面的位置關系問題，考慮時一定要全面．（如題１、題3和題４）（3）要重視空間圖形在解題中的作用，輔助分析，幫助理解．四、范例導析例1：在正方體中，棱長為，分別為和上的點，且.求證：∥平面；求的長．【教學處理】要求學生認真審題，自己分析條件和結論的關系．建議多提問，讓學生主動去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．【引導分析與精講建議】第（1）問：【變式】在正方體中，分別為和上的中點，求證：∥平面．平面中找到一條線與平行？教師指導：方法一：連結與，由正方體知為的中點，由中位線定理易得：∥．（圖1）方法二：取中點，中點，連結、、，由已知易證四邊形為平行四邊形，從而有：∥．（圖2）(圖1)（圖2）（圖3）問題2.本題中，如何在平面中找到一條線與平行？由第1問中方法二的啟示可以作如下的輔助線：過作∥交于，過作∥交于，連結，從而構造出平行四邊形．（圖3）第（2）問：由（1）中的證明可以知道=，故只需要在正方形中求得的長度即可．【討論交流】1.對于第（1）問，能否利用三角形構造出線線平行？試作出輔助線．2.能否嘗試用面面平行去得線線平行呢？對比分析，那種方法更為簡捷．【說明】在提出問題討論交流后，可教師板書示范，也可讓學生練習、板演后點評．【小結】要證明線面平行關鍵是找線線平行，而構造線線平行的途徑主要有三種：利用三角形的中位線定理；利用平行四邊形；利用對應線段成比例．例2：如圖，四棱錐中，底面為菱形，,為中點，在上找一點，使得∥平面．【教學處理】要求學生獨立思考并解題，指名學生板演，老師巡視指導了解學情；再結合板演情況進行點評．教師在點評過程中要強調解題過程的規(guī)范性．【引導分析與精講建議】在正面無法入手時，老師可以引導學生從結論出發(fā)去尋找突破點．連結交于，連結．(如圖4)由∥平面，利用線面平行的性質定理可以得到∥．那么，現(xiàn)在要考慮的問題就是：將點定在上什么位置，可以使得∥呢？(圖4)【變式】是所在平面外一點，分別是,的重心，則在平面，平面，平面，平面中，與平行的是．例3.四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點，過A，N，D三點的平面交PC于M.(1)求證：PD∥平面ANC；(2)求證：M是PC中點．答案為：證明(1)連接BD，AC，設BD∩AC＝O，連接NO，∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD中點，在△PBD中，又N是PB中點，∴PD∥NO，又NO?平面ANC，PD?平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，又∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB中點，∴M是PC中點．【教學處理】指導學生識圖，標注條件，讓學生先嘗試思考分析。如，由平行四邊形想到什么？中點？在思路交流環(huán)節(jié)，教師應設計針對性的問題引導學生去思考，通過問題示范思考方法，加深學生對方法的理解。此外，步驟必須重視并嚴格要求到位?！疽龑Х治雠c精講建議】、第（1）問中證線面平行，是用平移構造輔助面？還是中心投影（即面外線+點構造三角形）形成輔助面？面外線PD+點B形成輔助面得到要找的交線！第2問：要證中點，已知什么，只要證什么？線面平行的性質定理的條件必須強化，讓學生動手寫?！緜溆妙}】：如圖，已知四面體的四個面均為銳角三角形，分別為上的點，∥平面，且．求證：∥平面．【教學處理】指導學生識圖，標注條件，讓學生先嘗試思考分析，教師延遲引導，最后由學生板演．【引導分析與精講建議】本題中＂線線平行＂和＂線面平行＂關系比較多，學生可能容易混亂，在講解過程中要讓學生抓準已知的關系去推到未知的．證明過程中對線面平行的性質定理和判定定理要加以區(qū)分，定理的條件要全面準確．變式遷移如下圖，三棱錐A－BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：CD∥平面EFGH.【引導分析與精講建議】問題1、如何證明線面平行（通過線線平行來證）問題2、鎖定目標，直觀看，你認為CD與哪條線平行（GH）問題3、GH與那條直線有關？什么關系？可以進一步得到什么結論？問題4、GH//面ACD，可以得到什么結論。用了什么定理？說明：本題旨在強化線面平行的性質定理。五、解題反思每一道例題討論之后，都應該留出一點時間讓學生進行回顧和體悟，可引導學生對上面的三道例題作如下反思：熟練掌握立體幾何中線面平行的判定定理和性質定理，是解決本節(jié)內容的基礎，特別是定理中的前提條件，在分析問題時要全面到位；（如診斷題4）對于線面平行的證明，可以尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；也可以尋找面面平行，利用面面平行的性質定理；（如例1）高考中立體幾何難度不大，解題時，證明要嚴謹，書寫要規(guī)范，同時力求證明過程簡潔，步驟清晰．六、課后鞏固：1.平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是________(填序號).①AB∥CD；②AD∥CB；③AB與CD相交；④A，B，C，D四點共面.答案④2.有下列命題：①若直線l平行于平面α內的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數(shù)條直線.其中真命題的個數(shù)有________.答案13.“一條直線與兩個相交平面都平行”是“這條直線與這兩個平面的交線平行”的________條件.答案充分不必要4.如圖，在四棱錐PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點.(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC//AE，,∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點，又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.5.如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點.(1)求三棱錐A－PDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.解(1)因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱錐A－PDE的高.因為E為PC的中點，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\v