空間向量及其線性運(yùn)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間向量的相關(guān)概念1.空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示；記作：或。2.空間向量的長(zhǎng)度（模）：表示空間向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或3．空間向量的有關(guān)概念：零向量：長(zhǎng)度為0或者說(shuō)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為。規(guī)定：與任意向量平行。單位向量：長(zhǎng)度為1的空間向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量。要點(diǎn)詮釋：①當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或//）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．②向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的．要點(diǎn)二、空間向量的加減法1．加減法定義空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．（如下圖）．2．運(yùn)算律交換律：結(jié)合律：空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；要點(diǎn)三、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)＞0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)＞0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)=0時(shí)，a=0．a(chǎn)的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的||倍．如右圖所示．2．運(yùn)算律．分配律：(a+b)=a+b；結(jié)合律：(μa)=(μ)a．要點(diǎn)四、共線定理1．共線向量的定義．與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b．注意：0與任意向量是共線向量．2．共線向量定理．空間任意兩個(gè)向量、（≠），//的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．要點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：a∥b（b≠0）存在唯一實(shí)數(shù)，使得a=b；存在唯一實(shí)數(shù)，使得a=b（b≠0），則a∥b．注意:b≠0不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．3.共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線。

要點(diǎn)五、共面定理1．共面向量的定義．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意：空間任兩個(gè)向量是共面的，但空間任三個(gè)向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（），使．推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有，上式叫做平面的向量表達(dá)式．3.共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）?！镜湫屠}】類型一：空間向量的線性運(yùn)算例1.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則=（）A．B．C．D．【解析】選：A，∵，，，∴，舉一反三：【變式1】如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量是（）【答案】A顯然【變式2】已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示向量為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，連接ON，AN，則，所以例2、如右圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是（）①；②；③；④．A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】①；②；③；④．因此，①②兩式的運(yùn)算結(jié)果為向量，而③④兩式運(yùn)算的結(jié)果不為向量．故選A．舉一反三：【變式1】如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：（1）；（2）；（3）；（4）?！敬鸢浮肯蛄康募臃ɡ闷叫兴倪呅畏▌t或三角形法則，封閉圖形，首尾連接的向量的和為0。（1）；（2）；（3）；（4）。例3．若三棱錐O一ABC中G是ΔABC的重心，求證：.【解析】如圖所示，∵G是ΔABC的重心，∴，D為BC的中點(diǎn)∴舉一反三：【變式1】在如圖所示的平行六面體中，求證：【答案】∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，∴，，，∴又由于，，∴∴。例4、正方體，點(diǎn)E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：（1）；（2）?！窘馕觥浚?）∵，又∵，∴x=1，y=－1，z=1。（2）∵，又∵，∴，，。舉一反三：【變式】已知是平行六面體（1）化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出其結(jié)果；（2）設(shè)M是底面ABCD的中心、N是側(cè)面對(duì)角線上的分點(diǎn)，設(shè)，試求、、的值?！敬鸢浮浚?）如圖，取的中點(diǎn)為E，則取F為的一個(gè)三等分點(diǎn)，則又，，∴。（2）∴，，。類型二：共線向量定理的應(yīng)用例5．證明：在四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分．（此點(diǎn)稱為四面體的重心）【解析】∵E、G分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴，同理，∴．從而四邊形EGFH為平行四邊形，對(duì)角線相交于一點(diǎn)O，且O為它們的中點(diǎn)．連接OP、OQ．只要能證明向量，就可以說(shuō)明P、O、Q三點(diǎn)共線，且O為PQ的中點(diǎn)．事實(shí)上，，，而O為GH的中點(diǎn)，∴，，，∴，．∴．∴，∴PQ經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，且O為PQ的中點(diǎn)．即證得EF、GH、Q相交于點(diǎn)O，且O為它們的中點(diǎn)，故原命題得證．舉一反三：【變式1】如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點(diǎn)。求證：平面EFG∥平面AB1C?！敬鸢浮孔C明：設(shè)，，，則，∴，∴，∴EG∥AC又∵，∴，∴，EF∥B1C。又∵EG與EF相交，AC與B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C類型三：共面向量及應(yīng)用例6．已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面．【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．例7.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C∥平面ODC1.【解析】舉一反三：【變式