第第頁2022-2023學(xué)年上海重點(diǎn)大學(xué)附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年上海重點(diǎn)大學(xué)附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知向量，且，則的值是()

A.B.C.D.

2.一個(gè)扇形的面積是平方厘米，它的周長是厘米，則它的圓心角是弧度()

A.B.C.D.

3.若如圖所對應(yīng)的是某個(gè)函數(shù)的一部分圖象，則此函數(shù)解析式為()

A.

B.

C.

D.

4.我們在享受經(jīng)濟(jì)增長帶來的喜悅時(shí)，也無法忽視垃圾增長引發(fā)的煩惱某區(qū)至年底生活垃圾堆積量達(dá)萬噸，估計(jì)今后平均每年增加萬噸在實(shí)施生活垃圾管理例之后，清運(yùn)公司處理垃圾的效能得到明顯改觀，預(yù)估年能處理垃圾萬噸，今后每年還需提高的處理能力，則該區(qū)生活垃圾堆積量達(dá)到最大的年份是()

A.年B.年C.年D.年

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.函數(shù)的最小正周期為______．

6.若成等比數(shù)列，則______．

7.若，，則______．

8.已知向量、滿足，，則______．

9.已知復(fù)平面上有點(diǎn)和點(diǎn)，向量與向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為與，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

10.已知，，且，是虛數(shù)單位是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值為______．

11.若數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和______．

12.已知，，則______．

13.已知數(shù)列是公比為的無窮等比數(shù)列，且，則______．

14.若復(fù)數(shù)、滿足，且，則的值為______

15.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到時(shí)，等式左邊需要增加的項(xiàng)是______．

16.“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊若正六邊形的邊長為，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)包含邊界，則的取值范圍為______．

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知．

若，求實(shí)數(shù)的值；

若與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

設(shè)復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，．

若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

若，求復(fù)數(shù)的模．

19.本小題分

在中，角，，對應(yīng)的邊分別是，，，且．

求角的大?。?/p>

若，的面積，求的周長．

20.本小題分

已知函數(shù)．

求函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)遞增區(qū)間；

求函數(shù)在區(qū)間的值域；

已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

21.本小題分

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，且滿足．

求的值；

求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

若數(shù)列的通項(xiàng)公式是其中常數(shù)是整數(shù)，對于任意，都有成立，求整數(shù)的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：向量，且，

，

解得，

故選：．

直接利用向量的數(shù)量積和向量垂直的充要條件的應(yīng)用求出的值．

本題考查的知識要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：設(shè)扇形半徑，弧長，則，

解得，，

所以圓心角為．

故選：．

結(jié)合扇形面積公式及弧長公式可求，，然后結(jié)合扇形圓心角公式可求．

本題主要考查了扇形面積公式及弧長公式，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：設(shè)函數(shù)為，

由函數(shù)圖像可知，，

函數(shù)周期為，所以，

所以，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即函數(shù)過，

所以，

解得即，，時(shí)，，

所以．

故選：．

設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)其圖像，依次求出，，，計(jì)算可得函數(shù)圖像過點(diǎn)，代入函數(shù)表達(dá)式可得，進(jìn)而得到答案．

本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

4.【答案】

【解析】解：從年起第年處理生活垃圾的量為，，顯然單調(diào)遞增，

而，，生活垃圾堆積量平均每年增加萬噸，

則從第年起處理生活垃圾的量超過每年增加的量，

故該區(qū)生活垃圾堆積量達(dá)到最大的年份是．

故選：．

從年起第年處理生活垃圾的量為，，而生活垃圾堆積量平均每年增加萬噸，通過數(shù)據(jù)比較可得結(jié)果．

本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：，

，

函數(shù)的最小正周期為，

故答案為：．

利用三角函數(shù)的倍角公式先化簡，再利用三角函數(shù)周期公式求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)周期的計(jì)算，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由等比中項(xiàng)定義可得：

，

解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．

故答案為：．

直接由等比中項(xiàng)概念可得，即可求解．

本題考查等比中項(xiàng)的概念，屬簡單題．

7.【答案】

【解析】解：因?yàn)橄蛄?，?/p>

所以．

因?yàn)?，所以?/p>

故答案為：．

利用向量的夾角公式直接求解．

本題主要考查向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

解得．

故答案為：．

根據(jù)求解即可．

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：，

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故答案為：．

由向量的運(yùn)算知，從而可得對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，從而求得．

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：分別將，代入方程得：

對整理得：

；

解得：，．

本題也可以用“韋達(dá)定理”求解：

，對整理得：

，

故答案為：；

把根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等列出方程組，可解出結(jié)果．

本題方法較多，考查復(fù)數(shù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對，韋達(dá)定理，復(fù)數(shù)相等的條件，是中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，

，

數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，

，

，

．

故答案為：．

根據(jù)數(shù)列的遞推式構(gòu)造新數(shù)列，使所構(gòu)造的新數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得，再根據(jù)分組求和法可得．

本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，分組求和法的應(yīng)用，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．

本題考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：，

，即．

故答案為：．

由無窮遞縮等比數(shù)列極限的求法直接構(gòu)造等式，整理即可得到結(jié)果．

本題考查無窮遞縮等比數(shù)列的極限，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：復(fù)數(shù)、滿足，，

可設(shè)，，，．

，可得：，即．

又，聯(lián)立解得，．

．

故答案為：．

復(fù)數(shù)、滿足，，可設(shè)，，，可得，，即又，聯(lián)立解得，，進(jìn)而得出．

本題考查了復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，

當(dāng)左邊所得的項(xiàng)是；

假設(shè)時(shí)，命題成立，左端為；

則當(dāng)時(shí)，左端為，

從“”需增添的項(xiàng)是．

故答案為：．

由數(shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，左端為，到時(shí)，左端，從而可得答案．

本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查理解與觀察能力，考查推理證明的能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：如圖：由正六邊形的性質(zhì)可知，，故AC，

所以，所以點(diǎn)的位置在直線的右側(cè)的六邊形內(nèi)包括邊界或落在線段上，

又表示的是與在上的投影的乘積，故當(dāng)落在線段上時(shí)，在上的投影最小為，當(dāng)落在線段上時(shí)，在上的投影最大為，

故，

故答案為：．

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知，表示的是與在上的投影的乘積，顯然，所以，所以點(diǎn)的位置在直線的右側(cè)的六邊形內(nèi)包括邊界或落在線段上，則由此易求得結(jié)論．

本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義和運(yùn)算，屬于中檔題．

17.【答案】解：若，則，解得．

若與夾角為銳角，設(shè)該夾角為，則，

故只需，解得，

且與不同向共線，即，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且．

【解析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，列式計(jì)算即可；

設(shè)夾角為，則，得到，計(jì)算可得的范圍，注意與不同向共線．

本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：是純虛數(shù)，

，解得；

若，則，

復(fù)數(shù)的模為．

【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為且虛部不為，列式求解值；

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．

19.【答案】解：在中，由正弦定理得：

，代入式子，

化簡得，，

，

，即，

，．

，

，

由余弦定理得，

，

的周長為．

【解析】利用正弦定理化邊為角即可求解；

根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解．

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：，

令，，

得，，

故嚴(yán)格單調(diào)遞增區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)，，

所以，

故值域?yàn)椋?/p>

由題意得，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，則，則，

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】首先化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可；

根據(jù)范圍求出范圍，即可得到其值域；

分離參數(shù)得，利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式得，再結(jié)合范圍，即可求出右邊最小值，即得到答案．

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，三角恒等變換及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)