第一節(jié)Lp-空間簡介

人們在用迭代方法解微分方程或積分方程時，常常會碰到這樣的問題：盡管任意有限次迭代函數都是很好的函數（可微或連續(xù)函數），但當施行極限手續(xù)以求出準確解時卻發(fā)現，迭代序列的極限不在原來所限定的范圍內，這促使人們將函數的范圍拓寬，空間理論正是在此基礎上產生的。1907年，F.Riesz與Frechet首先定義了[0，1]上的平方可積函數空間，即第一節(jié)Lp-空間簡介人們在用迭代方法解1第一節(jié)Lp-空間簡介隨后,人們又進一步考察p-方可積函數，得到空間,考慮這些空間的一個基本思想是，不再是將每一個函數當作一個孤立對象看，而是作為某一類集合中的一個元素，將這個函數集合看作一個整體討論其結構。如果說前面所研究的Lebesgue可測函數是一棵棵的樹木,現在則要將這些樹木放在起構成一片森林。第一節(jié)Lp-空間簡介隨后,人們又進一步2第一節(jié)Lp-空間簡介一.—空間的定義我們知道，Rn中有線性運算，有距離公式，對于兩個函數，可以定義它們的線性運算，但它們之間所謂“距離”的定義卻不是件簡單的是。首先，所定義的距離必須有意義，例如，對于中的兩個函數，可以用定義它們的距離，但如果用它來定義一般Lebesgue可測函數間的距離顯然是不合適的。其次，所定義的距離，必須滿足距離的一些最基本的性質。這些性質是什么呢？我們可以通過中的距離歸納出來，即下面的第一節(jié)Lp-空間簡介一.—空間的定義3第一節(jié)Lp-空間簡介定義1設是一個集合。的函數。滿足：（i）對任意

（ii）對任意（iii）對任意（三角不等式）。則稱是A上的距離是E上的Lebesgue可測函數，

設且

。第一節(jié)Lp-空間簡介定義1設是一個集合。4第一節(jié)Lp-空間簡介

對任意，顯然仍是E上的可測函數，由于對任意實數，有

所以第一節(jié)Lp-空間簡介對任意5第一節(jié)Lp-空間簡介因此不難看出。從的定義，啟發(fā)我們以下面的方式定義上的距離：由上面的討論，顯見對任意，有第一節(jié)Lp-空間簡介因此不難看出6第一節(jié)Lp-空間簡介

即上非負的有限函數。它是不是上的距離呢？為此，設，則得，于是，進而由此立得另一方面，若

第一節(jié)Lp-空間簡介即7第一節(jié)Lp-空間簡介則，從而。上述分析說明，并不是上的距離，但使的函數必有幾乎處處相等的，反之亦然。因此，我們可以將中幾乎處處相等的函數放在一起，從而構成新的集合：當且僅當第一節(jié)Lp-空間簡介則8第一節(jié)Lp-空間簡介

對任意，定義

不難看到，對任意，，恒有

故上面的定義是無歧義的，此外，若，則顯然有。這樣，作為上的函數的確滿足距離定義中的（i），至于（ii）則是顯而易見的，所以只需驗證它是否滿足（iii）。

第一節(jié)Lp-空間簡介對任意9第一節(jié)Lp-空間簡介

為方便起見，以后也用記，只要說則指的就是與幾乎處處相等的函數類，若說則指的就是單一的函數。二。幾個重要的不等式引理1設是正數，，，則等式成立當且僅當，或中有一個為0。第一節(jié)Lp-空間簡介為方便起見，以后10第一節(jié)Lp-空間簡介

證明：不妨設（情形可類似證明），由引理的條件知，于是要證的不等式可寫成即記，則對任意，存在，使，因，所以，從而，第一節(jié)Lp-空間簡介證明：不妨設11第一節(jié)Lp-空間簡介

即。令

，立得

從證明過程可以看出，等號成立當且僅當或或0，證畢。定理1（霍爾德（Holder）不等式）設，（滿足條件的稱作共軛數），，，則第一節(jié)Lp-空間簡介即12第一節(jié)Lp-空間簡介

且。 （1）等式成立當且僅當與相差一個常數因子。證明：若中有一個為0，則（1）式顯然成立（事實上，此時（1）式兩邊都為0），故不妨設均不為0。于是 都不為0，第一節(jié)Lp-空間簡介且13第一節(jié)Lp-空間簡介

記則由引理1，當，都不為0時，有

即

第一節(jié)Lp-空間簡介記14第一節(jié)Lp-空間簡介

且等號只有在即與只差一個常數因子時才成立，不等式兩邊作積分得，此即所要的不等式，證畢。定理2（Minkowski不等式）第一節(jié)Lp-空間簡介且等號只有在15第一節(jié)Lp-空間簡介設，，則（2）若，則等號只在與相差一個非負常數因子時成立。證明：當時，不等式顯然成立，若,則不等式也是顯然的，故不妨第一節(jié)Lp-空間簡介設，16第一節(jié)Lp-空間簡介

設，且，注意到時，，故其中是的共軛數，即，于是由Holder不等式得（3）第一節(jié)Lp-空間簡介設17第一節(jié)Lp-空間簡介

類似地，也有

（4）將兩個不等式相加得

第一節(jié)Lp-空間簡介類似地，也有18第一節(jié)Lp-空間簡介

兩邊同除以立得所要的不等式。要使（2）式中的等號成立，必須且只需（3）、（4）及（5）的第一個不等式成為等式，而使（3）、（4）成為等式的充要

第一節(jié)Lp-空間簡介19第一節(jié)Lp-空間簡介

條件是，與都只差一常數因子.由于假設了從而，所以與只差一常數因子，即存在常數c，使進而。要使（5）中第一個不等式成為等式，必須有第一節(jié)Lp-空間簡介條件是，20第一節(jié)Lp-空間簡介這意味著與的符號在E上幾乎處處相同，從而由得所以，證畢。