第第頁(yè)2022-2023學(xué)年福建省廈門(mén)市思明區(qū)名校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年福建省廈門(mén)市思明區(qū)名校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于()

A.B.C.D.

2.已知，，，則()

A.B.C.D.

3.在中，已知，，，則角等于()

A.B.C.或D.或

4.一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為的直棱柱的底面用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形，其中，則該直棱柱的體積為()

A.

B.

C.

D.

5.某公司年月至年月的各月利潤(rùn)率與每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.年月的利潤(rùn)率呈遞減趨勢(shì)

B.這個(gè)月的利潤(rùn)率的分位數(shù)為

C.這個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本呈遞增趨勢(shì)

D.這個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的方差大于

6.我國(guó)古代為了進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，曾經(jīng)使用“算籌”表示數(shù)，后漸漸發(fā)展為算盤(pán)．算籌有縱式和橫式兩種排列方式，各個(gè)數(shù)字及其算籌表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：

縱式

橫式

排列數(shù)字時(shí)，個(gè)位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式縱式和橫式依次交替出現(xiàn)．如“”表示，“”表示在由“”、“”、“”、“”、“”按照一定順序排列成的三位數(shù)中任取一個(gè)，取到偶數(shù)的概率是()

A.B.C.D.

7.已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，，若，則與的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.不確定

8.在直三棱柱中，是中點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)到平面的距離是

B.異面直線與的角的余弦值是

C.若為側(cè)面含邊界上一點(diǎn)，滿足平面，則線段長(zhǎng)的最小值是

D.過(guò)，，的截面是鈍角三角形

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.關(guān)于復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是()

A.

B.若，

C.若，則

D.

10.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則()

A.B.與的夾角為

C.D.在上的投影向量為

11.如圖，矩形中，，等腰梯形中，，將梯形沿折起，得到如圖所示的多面體，則()

A.異面直線與所成的角為

B.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，

C.存在某個(gè)位置，使得平面

D.點(diǎn)到平面的距離大于點(diǎn)到平面的距離

12.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列命題正確的是()

A.若且，則是直角三角形

B.若，則為銳角三角形

C.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是

D.若，，分別表示，的面積，則：：

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量與的夾角為，，，則實(shí)數(shù)______．

14.已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，則______．

15.袋中裝有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，從中一次性隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)兩球標(biāo)號(hào)為和，并記，將球放回袋中，重復(fù)上述操作，得到和設(shè)平面向量，，則與能構(gòu)成基底的概率為_(kāi)_____．

16.已知球的體積為，球面上四點(diǎn)，，，，滿足是邊長(zhǎng)為的正三角形，若點(diǎn)為的外心，且，則四面體的體積等于______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

某中學(xué)為了解高中一年級(jí)學(xué)生對(duì)生涯規(guī)劃讀本學(xué)習(xí)情況，在該年級(jí)名學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生作為樣本，對(duì)他們一周內(nèi)對(duì)生源規(guī)劃讀本學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些時(shí)間全部介于至單位：分鐘之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖為了研究的方便，該年級(jí)規(guī)定，若一周學(xué)習(xí)生涯規(guī)劃讀本時(shí)間多于分鐘的學(xué)生稱為“精生涯生”，若一周學(xué)習(xí)生涯規(guī)劃讀本時(shí)間小于分鐘的學(xué)生稱為“泛生涯生”．

求圖中的值，并估計(jì)該年級(jí)學(xué)生一周內(nèi)對(duì)生涯規(guī)劃讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的均值；

從樣本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任選名學(xué)生，求這兩名學(xué)生一周內(nèi)對(duì)生源規(guī)劃讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的差不超過(guò)分鐘的概率．

18.本小題分

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．

求；

若的面積為，為邊上的中線，求的最小值．

19.本小題分

如圖，在圓柱中，，為圓上一定點(diǎn)，為圓上異于點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)．

若，求證：；

若為等邊三角形，求二面角的余弦值．

20.本小題分

如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑設(shè)，，，在下面給出條件中選一個(gè)條件解答后面的問(wèn)題，

；

；

的面積為選擇條件_____．

求的值；

求的周長(zhǎng)的取值范圍．

21.本小題分

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．

設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，求證：平面；

若二面角的大小為，，且，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍．

22.本小題分

已知正的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓圓心為，點(diǎn)滿足．

求證：為定值；

把三個(gè)實(shí)數(shù)，，的最小值記為，若，求的取值范圍；

若，求當(dāng)取最大值時(shí)，的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因?yàn)闉榧兲摂?shù)，

所以，解得．

故選：．

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，，?/p>

所以，，

所以，，，，

則ACD錯(cuò)誤，B正確．

故選：．

根據(jù)平面向量數(shù)量積及線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算即可．

本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：在中，已知，，，

由正弦定理可得，

解得．

再根據(jù)，可得，

故A，

故選：．

由正弦定理求得再根據(jù)，可得，由此求得的值．

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，大邊對(duì)大角，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．

4.【答案】

【解析】解：由直棱柱的底面四邊形的直觀圖可知，

原底面四邊形為矩形，且邊長(zhǎng)，，側(cè)棱長(zhǎng)為，

該直棱柱的體積為．

故選：．

由已知直觀圖可得原直棱柱的底面為矩形且邊長(zhǎng)分別為和，直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，由棱柱體積公式得答案．

本題考查水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法，考查直棱柱體積的求法，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：對(duì)于，年，月的利潤(rùn)率相同，，月的利潤(rùn)率在遞增，所以不正確；

對(duì)于，將這個(gè)月的利潤(rùn)率從小排到大為：

，，，，，，，，，，，

所以分位數(shù)為：，為第位數(shù)即所以B正確；

對(duì)于，由圖中可知，，月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本呈遞減趨勢(shì)，所以不正確；

對(duì)于，這個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的平均數(shù)為，

因?yàn)?，所以這個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的方差不可能大于，所以不正確．

故選：．

由圖中信息可判斷，；由百分位數(shù)和方差的定義可判斷，．

本題考查合情推理，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：所有情況列舉如下：

百位十位個(gè)位備注

偶數(shù)

偶數(shù)

偶數(shù)

偶數(shù)

偶數(shù)

奇數(shù)

偶數(shù)

奇數(shù)

偶數(shù)

奇數(shù)

所以取到偶數(shù)的概率是．

故選：．

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率．

本題考查古典概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，

，

，，

，．

故選：．

利用標(biāo)準(zhǔn)差公式直接求解．

本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：對(duì)于：過(guò)作，交于點(diǎn)，在直三棱柱中，

易知平面，故點(diǎn)到平面的距離是，

由，

得，而，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，

則易證平面平面，

故點(diǎn)在上時(shí)，滿足平面，

則線段，

即線段長(zhǎng)的最大值為，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于：取的中點(diǎn)，連接，，則易知異面直線與的角為，

在中，

，

，，

，，

，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于：在中，，，，

因?yàn)?，所以為鈍角，選項(xiàng)正確．

故選：．

根據(jù)點(diǎn)到面的距離，異面直線所成的角，線面平形的判斷，余弦定理等知識(shí)逐一判斷即可．

本題考查立體幾何中的線面垂直，面面平行的證明及應(yīng)用，屬于綜合題．

9.【答案】

【解析】解：設(shè)，，，，，，

，，，

，A正確；

，時(shí)，滿足，且，不滿足，B錯(cuò)誤；

，，

，，且，

，

，

不一定等于，錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；

，，

，D正確．

故選：．

設(shè)，，，，，，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可判斷的正誤；舉反例即可判斷的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)加法、減法和模的計(jì)算公式即可得出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷的正誤；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的求法即可判斷的正誤．

本題考查了復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，復(fù)數(shù)的加法和減法、乘法的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義及求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：，，

，

解得，A錯(cuò)誤；

設(shè)，的夾角為，則，

由于，

與的夾角為，故B正確；

，故C正確；

在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤．

故選：．

利用向量的模長(zhǎng)公式以及題中條件即可判斷，，由夾角公式可判斷，根據(jù)投影向量的求法即可判斷．

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，如圖，作，垂足為，

由于為等腰梯形，

故，，

即有，

故在中，，

因?yàn)?，所以，所成角即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，

而，所成角為，則異面直線與所成的角為，A正確；

對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作，由于四邊形為矩形，故G，

由于，且，，平面，

故AD平面，平面，

故平面平面，平面平面，

作，垂足為，因?yàn)槠矫?，故E平面，

因?yàn)?，，故即為二面角的平面角?/p>

故，所以，

故，B正確；

對(duì)于，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得平面，平面，

則，，

又因?yàn)?，故，這與三角形內(nèi)角和矛盾，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離可分別看作為三棱錐，的高，

故只需比較三棱錐，的體積大小，

而，，

故只需比較，的大小，

在等腰梯形中，，故，

則點(diǎn)到平面的距離大于點(diǎn)到平面的距離，D正確．

故選：．

利用平移法求得異面直線與所成的角，判斷；作出二面角的平面角，求得四棱錐的高，根據(jù)棱錐體積公式可判斷；采用反證的方法可判斷；將點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為棱錐，的體積的問(wèn)題可判斷．

本題考查空間異面直線所成角，二面角以及點(diǎn)、線、面間的位置和距離，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由可得，，

即，，則，

由得，，

由于，為三角形內(nèi)角，則或，

綜合可得，即是直角三角形，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，由可得，

即，

故，

又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，

故C為銳角，但不能判定為銳角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，，則，

故，

即，即，

由于，故，由于，

，

設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則

，

因?yàn)?，則，

所以，即

故該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，若，設(shè)，

則，可得為的重心，如圖：

設(shè)，，，則，，，

由于為的重心，延長(zhǎng)交與，則為的中點(diǎn)；

則，，，

同理可得，

故，不妨取，，，

可得：：：，故選項(xiàng)D正確．

故選：．

利用同角的三角函數(shù)關(guān)系以及正弦定理判斷；利用余弦定理可判斷；根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換，確定三角形為直角三角形，再求得內(nèi)切圓半徑的范圍，即可判斷；根據(jù)向量的線性運(yùn)算構(gòu)造三角形，利用三角形重心性質(zhì)可判斷．

本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：向量與的夾角為，，，

可得，

，

可得

，

解得，

故答案為：．

運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量垂直的條件：數(shù)量積為，解方程即可得到所求值．

本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量垂直的條件：數(shù)量積為，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，

則該方程的另一個(gè)根為，

故，解得．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，即可求解．

本題主要考查實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由條件可知，向量和為，，，，，，，，，，，，，，，共種情況，

當(dāng)，共種情況，

當(dāng)時(shí)，滿足，有，，，共種情況；，，共種情況；以及，，共種情況，

綜上可知，時(shí)，與不能構(gòu)成基底，共有種情況，

所以與能構(gòu)成基底的概率．

故答案為：．

首先列舉向量和的所有情況，并結(jié)合排列數(shù)公式，得到不能構(gòu)成基底的情況，最后利用對(duì)立事件求概率．

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：如圖所示，設(shè)過(guò)球心和平面垂直的直徑和球的大圓的交點(diǎn)為，

因?yàn)榍虻捏w積為，設(shè)球的半徑為，

則，

解得，

是邊長(zhǎng)為的正三角形，設(shè)其外接圓半徑為，外接圓圓心，

則，，共線，

則，

，

則，

由于，

故D點(diǎn)在球心所在的一側(cè)．

作，垂足為，

則，且，

即，聯(lián)立，

解得，

故，

由于平面，，平面，

故DF平面，

則三棱錐的高為，

故．

故答案為：．

由題意求得球的半徑，利用正弦定理求得外接圓半徑，利用球的性質(zhì)結(jié)合條件可得四面體的高，再根據(jù)棱錐的體積公式即得答案．

本題考查幾何體的體積計(jì)算，考查球以及四面體的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由題意，得，

解得，

估計(jì)該年級(jí)學(xué)生一周內(nèi)對(duì)生涯規(guī)劃讀本學(xué)習(xí)時(shí)間為：分鐘；

樣本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人，

從人中選人時(shí)間的差不超過(guò)分鐘，即人同在一個(gè)時(shí)間組內(nèi)，

則時(shí)間的差不超過(guò)分鐘的概率．

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為求，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均值的求法估計(jì)閱讀時(shí)間；

由題意，所取人在同一時(shí)間組內(nèi)，據(jù)此由古典概型求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：因?yàn)椋?，?/p>

故，

即，

故，

因?yàn)?，，故?/p>

由于，故；

由題意知，，

在中，，

當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，

故BD的最小值．

【解析】根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式以及三角恒等變換，化簡(jiǎn)可得答案；

由三角形面積可得，再用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得答案．

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：證明：由圓柱的性質(zhì)，，，

，平面，平面，

，

平面，平面，，

，平面，

平面，；

過(guò)作于，過(guò)作于，連接，

由已知平面，平面，

平面平面，平面平面，

平面，平面，

，，平面，

，為二面角的平面角，

為等邊三角形，，

，

在中，，

∽，，，

在中，，

．

【解析】由已知易證，，可證平面，進(jìn)而可證；

過(guò)作于，過(guò)作于，連接，可證為二面角的平面角，求解即可．

本題考查線線垂直的證明，考查面面角的求法，屬中檔題．

20.【答案】解：若選，因?yàn)椋?/p>

由正弦定理可得，

，，

所以，

即，所以，所以，

又，所以，

因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以．

若選，因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

所以，

所以，所以，

又，所以，

因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以．

若選，的面積為，則，

由余弦定理可得，

所以，所以，

又，所以，

因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以．

由題知，設(shè)，，

由正弦定理，

所以，，

所以的周長(zhǎng)為

，

因?yàn)椋?，所以?/p>

所以．

【解析】若選，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式求出，再利用正弦定理計(jì)算可得；

若選，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式及誘導(dǎo)公式求出，再利用正弦定理計(jì)算可得；

若選，利用面積公式及余弦定理求出，再利用正弦定理計(jì)算可得；

由題知，設(shè)，，利用正弦定理得到，，再根據(jù)三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．

本題考查利用正余弦定理和面積公式解三角形，還考查了三角函數(shù)的值域和三角恒等變換，屬于中檔題．

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