第二章

直線和圓的方程人教版

高中數(shù)學(xué)選擇性必修一一、總體設(shè)計(jì)

直線和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn).

本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置和圓的幾何要素；然后用代數(shù)方法刻畫直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離.

在此基礎(chǔ)上，建立直線和圓的方程；用方程研究兩條直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；

解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，初步感悟平面解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.二、本章內(nèi)容第一部分是直線的方程共3小節(jié)01“2.1直線的傾斜角與斜率”“2.2直線的方程”“2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式"3節(jié)；第二部分是圓的方程共2小節(jié)02“2.4圓的方程”“2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”三、本章教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)具體分配如下（僅供參考）：2.1直線的傾斜角與斜率

約2課時(shí)2.2直線的方程

約3課時(shí)2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 約4課時(shí)2.4圓的方程

約2課時(shí)2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 約3課時(shí)小結(jié)

約2課時(shí)四、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)第1節(jié)“直線的傾斜角與斜率”，

主要內(nèi)容是直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜率之間的關(guān)系，過兩點(diǎn)的直線斜率公式，

以及運(yùn)用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系.

為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，教科書首先探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法表示這些幾何要素.第1節(jié)“直線的傾斜角與斜率”，

通過一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線，引入直線傾斜角刻畫直線的傾斜程度（方向）；

然后通過具體實(shí)例，由具體到一般，通過向量法，用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫傾斜角；

把傾斜角的正切值表示為這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差與橫坐標(biāo)的差的商，進(jìn)而引出直線斜率的概念；

建立過兩點(diǎn)的直線斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.由于兩條直線平行或垂直取決于它們的方向，所以由它們斜率的關(guān)系可以判斷兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系. ’第2節(jié)“直線的方程”包括直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式方程，斜截式、截距式方程分別是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程的特例.點(diǎn)斜式方程是其他所有方程的基礎(chǔ)，它是在經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式的基礎(chǔ)上，利用給定的點(diǎn)和斜率建立直線上任意一點(diǎn)所滿足的代數(shù)關(guān)系.它一方面表示直線上的點(diǎn)滿足這個(gè)關(guān)系式，另一方面表示滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在這條直線上.兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的“變式”表達(dá)或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率.而一般式方程揭示了任意一個(gè)二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程都可以化為一般式方程.第3節(jié)“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”

運(yùn)用直線的方程，判斷兩條直線的位置關(guān)系，求出兩條直線相交時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)；推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離公式.

距離問題是歐氏幾何的基本問題之一，在歐氏幾何中，把兩點(diǎn)間線段的長度定義為距離.而兩點(diǎn)間的距離公式與過兩點(diǎn)的直線斜率公式是平面解析幾何中兩個(gè)最基本的公式.

教科書用向量方法得出平面上兩點(diǎn)間的距離公式.

對(duì)于點(diǎn)到直線的距離公式，教科書給出了兩種推導(dǎo)方法，兩種方法各有所長，在比較中可以體會(huì)坐標(biāo)法與向量法的異同.

而兩條平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求出，是點(diǎn)到直線的距離公式的“推論”.圓是本章研究的第二類圖形.雖然圓與直線是兩類圖形，但研究方法是一致的，即根據(jù)確定圓的幾何要素，建立圓的方程，運(yùn)用圓的方程研究與圓有關(guān)的幾何性質(zhì).第4節(jié)“圓的方程”包括圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程兩部分內(nèi)容.教科書從確定圓的幾何要素：圓心、半徑出發(fā)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，得到圓的一般方程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程是圓的方程的兩種形式，它們各有自己的特點(diǎn)，而且兩者之間可以互化.第5節(jié)是“直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”.

綜合運(yùn)用直線和圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.

圖形之間的位置關(guān)系，既可以直觀定性描述，也可以嚴(yán)格定量刻畫.定量刻畫的方法既可以完全運(yùn)用代數(shù)的方法，通過運(yùn)算求解，得到圖形之間的位置關(guān)系；

也可以綜合運(yùn)用幾何方法和代數(shù)方法，這種綜合是充分借助圖形的幾何性質(zhì)，一定程度上簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，最后得到圖形之間的位置關(guān)系.本章選學(xué)內(nèi)容

本章還安排了“方向向量與直線的參數(shù)方程”“笛卡兒與解析幾何”“坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化”等選學(xué)內(nèi)容，

目的是拓展學(xué)生的知識(shí)面，讓學(xué)生從多種角度認(rèn)識(shí)直線方程的表示形式，了解解析幾何產(chǎn)生的過程，以及我國數(shù)學(xué)家吳文俊先生運(yùn)用坐標(biāo)法進(jìn)行幾何定理機(jī)器證明的杰出貢獻(xiàn).五、本章的重點(diǎn)過兩點(diǎn)的直線斜率公式是建立直線方程的基礎(chǔ)，兩點(diǎn)間的距離公式是建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)，兩個(gè)公式是本章內(nèi)容的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上建立的直線的方程、圓的方程，以及運(yùn)用它們研究兩條直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等六、本章的難點(diǎn)用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，以及對(duì)直線與直線的方程，圓與圓的方程之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，坐標(biāo)法是解析幾何最基本的研究方法本章研究直線、圓及其相關(guān)問題，用的是坐標(biāo)法.坐標(biāo)法是解析幾何最基本的研究方法，它建立了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.七、本章學(xué)業(yè)要求

能夠根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn)，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建立直線與圓的方程.

能夠根據(jù)直線與圓等相關(guān)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；能夠根據(jù)對(duì)直線與圓問題的分析，探索解決問題的思路；能夠運(yùn)用代數(shù)方法解決問題得到代數(shù)結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論的幾何解釋，解決直線與圓的問題.

能夠運(yùn)用平面解析幾何思想解決一些簡(jiǎn)單的與直線、圓有關(guān)的實(shí)際問題.

重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).八、核心知識(shí)評(píng)價(jià)要求主題知識(shí)單元核心知識(shí)評(píng)價(jià)要求合計(jì)個(gè)數(shù)了解理解掌握幾何與代數(shù)直線和圓的方程直線的方程直線的傾斜角與斜率

7

4過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式

V兩條直線平行或垂直的判定

直線方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式

V兩條直線的交點(diǎn)及其坐標(biāo)

4兩點(diǎn)間的距離公式

點(diǎn)到直線的距離公式

V兩條平行直線間的距離

圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

5圓的一般方程

直線與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系

直線與圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用V

總計(jì)個(gè)數(shù)16613九、思想方法評(píng)價(jià)要求思想方法評(píng)價(jià)要求數(shù)形結(jié)合能以確定直線位置的幾何要素為基礎(chǔ)，通過分析直線與圓上點(diǎn)的幾何特征，建立直線與圓的方程;.能從給定的直線或圓的方程說出直線或圓的幾何特征，能揭示直線或圓上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)與方程能用方程的語言與形式表達(dá)幾何圖形的幾何特征，能分析直線與圓的方程中的數(shù)量關(guān)系，能通過研究直線或圓的方程以及它們所組成的方程組解的情況得到直線與圓的位置關(guān)系或其他幾何問題的結(jié)論.化歸與轉(zhuǎn)化能在平面直角坐標(biāo)系下將直線與直線的方程、圓與圓的方程熟練進(jìn)行轉(zhuǎn)化；能在具體問題情境下，將幾何關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，通過運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)論后能將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論；能將直線的點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程與一般式方程相互進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特殊與一般能認(rèn)識(shí)直線的點(diǎn)斜式方程與兩點(diǎn)式方程是在特殊條件下的直線方程，能認(rèn)識(shí)直線的斜截式方程是特殊的點(diǎn)斜式方程，截距式方程是特殊的兩點(diǎn)式方程；能理解直線的一般式方程的代數(shù)意義；能將直線的各種形式方程進(jìn)行互化；能認(rèn)識(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程間的關(guān)系.十、關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)要求關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)要求直觀想象能通過觀察直線發(fā)現(xiàn)確定直線位置的幾何要素與直線的幾何特征，通過對(duì)圓的觀察發(fā)現(xiàn)確定圓的幾何要素與圓的幾何特征；能通過對(duì)直線方程的觀察感知直線的位置狀態(tài)，通過對(duì)圓的方程的觀察感知圓的位置與大小；能借助信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)演示直觀感知方程中的參數(shù)對(duì)曲線形態(tài)的影響，形成數(shù)學(xué)直覺和數(shù)形結(jié)合的思想.運(yùn)算求解能根據(jù)幾何背景問題的分析得到問題解決方法，并能明確相應(yīng)代數(shù)方法的運(yùn)算流程；運(yùn)算過程中能清晰描述直線與圓的方程的幾何意義；能熟練地運(yùn)用待定系數(shù)法、消元法、換元法等進(jìn)行求解、化簡(jiǎn)和運(yùn)算，能靈活運(yùn)用函數(shù)與方程的思想和坐標(biāo)法解決與直線和圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.推理論證能通過類比、歸納、演繹等推理過程，認(rèn)清