./模塊復習提升課一常用邏輯用語,[學生用書P76]>1．四種命題及其關(guān)系<1>四種命題命題表述形式原命題若p,則q逆命題若q,則p否命題若?p,則?q逆否命題若?q,則?p<2>四種命題間的逆否關(guān)系<3>四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系．2．充分條件與必要條件<1>如果p?q,那么稱p是q的充分條件,q是p的必要條件．<2>分類①充要條件：p?q且q?p,記作p?q；②充分不必要條件：p?q,qeq\o<?,\s\up0</>>p；③必要不充分條件：q?p,peq\o<?,\s\up0</>>q,④既不充分也不必要條件：peq\o<?,\s\up0</>>q,且qeq\o<?,\s\up0</>>p.3．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞<1>用聯(lián)結(jié)詞"且""或""非"聯(lián)結(jié)命題p和命題q,可得p∧q,p∨q,?p.<2>命題p∧q,p∨q,?p的真假判斷．p∧q中p、q有一假為假,p∨q有一真為真,p與?p必定是一真一假．4．全稱量詞與存在量詞<1>全稱量詞與全稱命題．全稱量詞用符號"?"表示．全稱命題用符號簡記為?x∈M,p<x>．<2>存在量詞與特稱命題．存在量詞用符號"?"表示．特稱命題用符號簡記為?x0∈M,p<x0>．5．含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M,p<x>?x0∈M,?p<x0>?x0∈M,p<x0>?x∈M,?p<x>1．否命題和命題的否定是兩個不同的概念<1>否命題是將原命題的條件否定作為條件,將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造一個新的命題；<2>命題的否定只是否定命題的結(jié)論,常用于反證法．若命題為："若p,則q",則該命題的否命題是"若?p,則?q"；命題的否定為"若p,則?q"．2．判斷p與q之間的關(guān)系時,要注意p與q之間關(guān)系的方向性,充分條件與必要條件方向正好相反,不要混淆．如"a＝0"是"a·b＝0"的充分不必要條件,"a·b＝0"是"a＝0"的必要不充分條件．3．注意常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定一些常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定要記住,如："都是"的否定"不都是","全是"的否定"不全是","至少有一個"的否定"一個也沒有","至多有一個"的否定"至少有兩個"．四種命題及其關(guān)系[學生用書P76]設(shè)命題為"若k＞0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實數(shù)根",該命題的否定、逆命題、否命題和逆否命題中假命題的個數(shù)為________．[解析]命題的否定：若k＞0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實數(shù)根．假命題；逆命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0有實數(shù)根,則k＞0.假命題；否命題：若k≤0,則關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實數(shù)根．假命題；逆否命題：若關(guān)于x的方程x2－x－k＝0沒有實數(shù)根,則k≤0.真命題．[答案]3eq\a\vs4\al<>四種命題的寫法及其真假的判斷方法<1>四種命題的寫法①明確條件和結(jié)論：認清命題的條件p和結(jié)論q,然后按定義寫出命題的逆命題、否命題、逆否命題；②應(yīng)注意：原命題中的前提不能作為命題的條件．<2>簡單命題真假的判斷方法①直接法：判斷簡單命題的真假,通常用直接法判斷．用直接法判斷時,應(yīng)先分清條件和結(jié)論,運用命題所涉及的知識進行推理論證；②間接法：當命題的真假不易判斷時,還可以用間接法,轉(zhuǎn)化為等價命題或舉反例．用轉(zhuǎn)化法判斷時,需要準確地寫出所給命題的等價命題．寫出命題"若eq\r<x－2>＋<y＋1>2＝0,則x＝2且y＝－1"的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假．解：逆命題：若x＝2且y＝－1,則eq\r<x－2>＋<y＋1>2＝0,真命題．否命題：若eq\r<x－2>＋<y＋1>2≠0,則x≠2或y≠－1,真命題．逆否命題：若x≠2或y≠－1,則eq\r<x－2>＋<y＋1>2≠0,真命題．充分、必要條件的判斷及應(yīng)用[學生用書P77]<1>在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,則"a≤b"是"sinA≤sinB"的<>A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件<2>已知集合A＝{x||x|≤4,x∈R},B＝{x|x＜a},則"a＞5"是"A?B"的<>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]<1>由正弦定理,知a≤b?2RsinA≤2RsinB<R為△ABC外接圓的半徑>?sinA≤sin B．故選A.<2>A＝{x||x|≤4,x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4},所以A?B?a＞4,而a＞5?a＞4,且a＞4eq\o<?,\s\up0</>>a＞5,所以"a＞5"是"A?B"的充分不必要條件．[答案]<1>A<2>Aeq\a\vs4\al<>判斷充分、必要條件的方法集合法：即看集合A和B的包含關(guān)系．①若A?B,則A是B的充分條件,B是A的必要條件．②若AB,則A是B的充分不必要條件；③若AB,則A是B的必要不充分條件；④若A＝B,則A,B互為充要條件；⑤若Aeq\o<?,\s\up0</>>B,且Aeq\o<?,\s\up0</>>B,則A是B的既不充分也不必要條件．已知p：x2－8x－20>0,q：x2－2x＋1－a2>0,若p是q的充分而不必要條件,求正實數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10},B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a},由于p是q的充分而不必要條件,可知AB.從而eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a>0,,1－a≥－2,,1＋a<10>>或eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a>0,,1－a>－2,,1＋a≤10,>>解得0<a≤3.故所求正實數(shù)a的取值范圍為<0,3]．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題[學生用書P77]<1>命題p：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)；命題q：若函數(shù)f<x>在<－∞,0]及<0,＋∞>上都是減函數(shù),則f<x>在<－∞,＋∞>上是減函數(shù)．下列說法中正確的是<>A．"p或q"是真命題B．"p或q"是假命題C．?p為假命題 D．?q為假命題<2>設(shè)集合A＝{x|－2－a＜x＜a,a＞0},命題p：1∈A,命題q：2∈A.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則a的取值范圍是________．[解析]<1>例如?x0>1,logax0＞0<a>1>,所以命題p是假命題；命題q是假命題,例如f<x>＝eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<－x＋1,x≤0,,－x＋2,x>0.>>綜上可知,"p或q"是假命題,故選B.<2>若p為真命題,則－2－a＜1＜a,解得a＞1.若q為真命題,則－2－a＜2＜a,解得a＞2.依題意得p與q一真一假,若p真q假,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＞1,,a≤2,>>即1＜a≤2.若p假q真,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a≤1,,a＞2,>>a不存在．綜上1＜a≤2.[答案]<1>B<2><1,2]eq\a\vs4\al<>判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法<1>先確定簡單命題p,q.<2>分別確定簡單命題p,q的真假．<3>利用真值表判斷所給命題的真假．1.已知命題p：若a>1,則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中<其中公差d≠0>,"m＋n＝p＋q"是"am＋an＝ap＋aq"的充分不必要條件<m,n,p,q∈N*>,則下面選項中真命題是<>A．?p∧?q B．?p∨?qC．?p∨q D．p∧q解析：選B.對于命題p,如圖所示作出函數(shù)y＝ax<a>1>與y＝logax<a>1>在<0,＋∞>上的圖象,顯然當a>1時,函數(shù)y＝ax的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的上方,即a>1時,ax>logax恒成立,故命題p為真命題．對于命題q,由等差數(shù)列的性質(zhì),可知當公差不為0時,"m＋n＝p＋q"是"am＋an＝ap＋aq"的充要條件,故命題q為假命題．所以?p為假,?q為真,所以p∧q為假,?p∨q為假,?p∧?q為假,?p∨?q為真．2．設(shè)命題p：c2＜c和命題q：?x∈R,x2＋4cx＋1＞0,且p∨q為真,p∧q為假,則實數(shù)c的取值范圍是________．解析：解不等式c2＜c,得0＜c＜1,即命題p：0＜c＜1,所以命題?p：c≤0或c≥1.又由<4c>2－4＜0,得－eq\f<1,2>＜c＜eq\f<1,2>,即命題q：－eq\f<1,2>＜c＜eq\f<1,2>,所以命題?q：c≤－eq\f<1,2>或c≥eq\f<1,2>,由p∨q為真,知p與q中至少有一個為真,由p∧q為假,知p與q中至少有一個為假,所以p與q中一個為真命題,一個為假命題．當p真q假時,實數(shù)c的取值范圍是eq\f<1,2>≤c＜1.當p假q真時,實數(shù)c的取值范圍是－eq\f<1,2>＜c≤0.綜上所述,實數(shù)c的取值范圍是－eq\f<1,2>＜c≤0或eq\f<1,2>≤c＜1.答案：eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,0>>∪eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>全稱命題與特稱命題[學生用書P78]<1>命題"?x0∈<0,＋∞>,lnx0＝x0－1"的否定是<>A．?x∈<0,＋∞>,lnx≠x－1B．?x?<0,＋∞>,lnx＝x－1C．?x0∈<0,＋∞>,lnx0≠x0－1D．?x0?<0,＋∞>,lnx0＝x0－1<2>若命題"?x0∈R,使得xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＜0"是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]<1>改變原命題中的三個地方即可得其否定,?改為?,x0改為x,否定結(jié)論,即lnx≠x－1,故選A.<2>因為?x0∈R,使得xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＜0是真命題,所以方程xeq\o\al<2,0>＋<a－1>x0＋1＝0有兩個不等實根,所以Δ＝<a－1>2－4＞0,解得a＞3或a＜－1.[答案]<1>A<2><－∞,－1>∪<3,＋∞>eq\a\vs4\al<>全稱命題、特稱命題真假判斷<1>全稱命題的真假判定：要判定一個全稱命題為真,必須對限定集合M中每一個x驗證p<x>成立,一般用代數(shù)推理的方法加以證明；要判定一個全稱命題為假,只需舉出一個反例即可．<2>特稱命題的真假判定：要判定一個特稱命題為真,只要在限定集合M中,能找到一個x0,使p<x0>成立即可；否則,這一特稱命題為假．1.已知命題p：?x>0,總有<x＋1>ex>1,則?p為<>A．?x0≤0,使得<x0＋1>ex0≤1B．?x0>0,使得<x0＋1>ex0≤1C．?x>0,總有<x＋1>ex≤1D．?x≤0,總有<x＋1>ex≤1解析：選B.全稱命題的否定是特稱命題,所以命題p：?x>0,總有<x＋1>ex>1的否定是?p：?x0>0,使得<x0＋1>ex0≤1.2．已知函數(shù)f<x>＝x2－2x,g<x>＝ax＋2<a>0>,若?x1∈[－1,2],?x2∈[－1,2],使得f<x1>＝g<x2>,則實數(shù)a的取值范圍是<>A．eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>B．eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,3>>C．<0,3]D．[3,＋∞>解析：選D.由函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f<x>＝x2－2x的值域為[－1,3],g<x>＝ax＋2的值域是[2－a,2＋2a]．因為?x1∈[－1,2],?x2∈[－1,2],使得f<x1>＝g<x2>,所以[－1,3]?[2－a,2＋2a],所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<2－a≤－1,,2＋2a≥3,>>解得a≥3.,[學生用書P147<單獨成冊>]>[A基礎(chǔ)達標]1．命題"若a>0,則a2>0"的逆命題是<>A．若a>0,則a2≤0B．若a2>0,則a>0C．若a≤0,則a2>0 D．若a≤0,則a2≤0解析：選B.交換原命題的條件和結(jié)論即可得其逆命題．2．若命題p：x＝2且y＝3,則?p為<>A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：選A.由于"且"的否定為"或",所以?p：x≠2或y≠3.故選A.3．下列表述錯誤的是<>A．存在α,β∈R,使tan<α＋β>＝tanα＋tanβB．命題"若a∈M,則b?M"的等價命題是"若b∈M,則a?M"C．"x>2"是"x2>4"的充分不必要條件D．對任意的φ∈R,函數(shù)y＝sin<2x＋φ>都不是偶函數(shù)解析：選D.當α＝0,β＝eq\f<π,3>時,taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0＋\f<π,3>>>＝tan0＋taneq\f<π,3>成立,故選項A正確．對于選項B、C,顯然正確．在D中,存在φ＝kπ＋eq\f<π,2><k∈Z>時,函數(shù)y＝sin<2x＋φ>是偶函數(shù),D錯誤．4．設(shè)p：log2x<0,q：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<x－1>>1,則p是q的<>A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.p：log2x<0?0<x<1；q：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<x－1>>1?x<1,所以p?q但qeq\o<?,\s\up0</>>p,所以p是q的充分不必要條件,故選B.5．已知命題p：?x0∈R,x0－2>lgx0,命題q：?x∈R,x2>0,則<>A．命題p∨q是假命題B．命題p∧q是真命題C．命題p∧<?q>是真命題D．命題p∨<?q>是假命題解析：選C.當x＝10時,x－2＝8,lgx＝lg10＝1,故命題p為真命題,令x＝0,則x2＝0,故命題q為假命題,依據(jù)復合命題真假性的判斷法則,可知命題p∨q是真命題,命題p∧q是假命題,?q是真命題,進而得到命題p∧<?q>是真命題,命題p∨<?q>是真命題．故選C.6．寫出命題"若方程ax2－bx＋c＝0的兩根均大于0,則ac＞0"的一個等價命題：________________．解析：一個命題與其逆否命題是等價命題．答案：若ac≤0,則方程ax2－bx＋c＝0的兩根不均大于07．給出下列三個命題：①當m＝0時,函數(shù)f<x>＝mx2＋2x是奇函數(shù)；②若b2＝ac,則a,b,c成等比數(shù)列；③已知x,y是實數(shù),若x＋y≠2,則x≠1或y≠1.其中為真命題的是________<填序號>．解析：①中,當m＝0時,f<x>＝mx2＋2x＝2x是奇函數(shù),故①是真命題；②中,取a＝b＝0,c＝1,滿足b2＝ac,但a,b,c不成等比數(shù)列,故②不是真命題；③的逆否命題為"已知x,y是實數(shù),若x＝1且y＝1,則x＋y＝2"是真命題,所以原命題也是真命題,即③是真命題．答案：①③8．已知p：－4＜x－a＜4,q：<x－2><3－x>＞0.若?p是?q的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：p：－4＜x－a＜4,即a－4＜x＜a＋4；q：<x－2><3－x>＞0,即2＜x＜3,所以?p：x≤a－4或x≥a＋4,?q：x≤2或x≥3；而?p是?q的充分條件,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a－4≤2,,a＋4≥3.>>解得－1≤a≤6.答案：[－1,6]9．指出下列命題中,p是q的什么條件：<1>p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；<2>p：a與b都是奇數(shù)；q：a＋b是偶數(shù)；<3>p：0<m<eq\f<1,3>；q：方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實根．解：<1>因為{x|x>－2或x<3}＝R,{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3},所以{x|x>－2或x<3}?{x|－2<x<3},而{x|－2<x<3}{x|x>－2或x<3}．所以p是q的必要不充分條件．<2>因為a、b都是奇數(shù)?a＋b為偶數(shù),而a＋b為偶數(shù)eq\o<?,\s\up0</>>a、b都是奇數(shù),所以p是q的充分不必要條件．<3>mx2－2x＋3＝0有兩個同號不等實根?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<Δ>0,,\f<3,m>>0>>?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<4－12m>0,,m>0>>?eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m<\f<1,3>,,m>0>>?0<m<eq\f<1,3>.所以p是q的充要條件．10．設(shè)有兩個命題：p：關(guān)于x的不等式sinxcosx>m2＋eq\f<m,2>－1的解集是R；q：冪函數(shù)f<x>＝x7－3m在<0,＋∞>上是減函數(shù)．若"p且q"是假命題,"p或q"是真命題,求m的取值范圍．解：因為"p且q"是假命題,所以p,q中至少有一個是假命題．因為"p或q"是真命題,所以p,q中至少有一個是真命題．故p和q兩個命題一真一假．若p真,則2m2＋m－2<－1,即2m2＋m－1<0,所以－1<m<eq\f<1,2>.若q真,則7－3m<0,所以m>eq\f<7,3>.p真q假時,－1<m<eq\f<1,2>；p假q真時,m>eq\f<7,3>.所以m的取值范圍是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－1,\f<1,2>>>∪eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,3>,＋∞>>.[B能力提升]11．設(shè)f<x>＝x2－4x<x∈R>,則f<x>＞0的一個必要不充分條件是<>A．x＜0 B．x＜0或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：選C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0,故f<x>＞0的必要不充分條件中x的取值范圍應(yīng)包含集合{x|x＞4或x＜0},驗證可知,只有C選項符合．12．下列選項中敘述錯誤的是<>A．命題"若x2－3x＋2＝0,則x＝1"的逆否命題為假命題B．"x＞2"是"x2－3x＋2＞0"的充分不必要條件C．若"p∨q"為假命題,則"<?p>∧<?q>"也為假命題D．若命題p：?x∈R,x2＋x＋1≠0,則?p：?x0∈R,xeq\o\al<2,0>＋x0＋1＝0解析：選C.對于A,命題"若x2－3x＋2＝0,則x＝1"是假命題,因此該命題的逆否命題也是假命題；對于B,由x＞2可得x2－3x＋2＝<x－1>·<x－2>＞0,反過來,由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2,因此"x＞2"是"x2－3x＋2＞0"的充分不必要條件；對于C,若"p∨q"為假命題,則p,q均為假命題,所以"<?p>∧<?q>"是真命題；對于D,命題p：?x∈R,x2＋x＋1≠0,則?p：?x0∈R,xeq\o\al<2,0>＋x0＋1＝0,綜上所述,選C.13．已知a＞0,函數(shù)f<x>＝ax－bx2.<1>當b＞0時,若對任意x∈R,都有f<x>≤1,證明：a≤2eq\r<b>；<2>當b＞1時,證明：對任意x∈[0,1],|f<x>|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r<b>.證明：<1>此題等價于對所有x∈R有ax－bx2≤1,即bx2－ax＋1≥0,因為b＞0,所以Δ＝a2－4b≤0.又因為a＞0,所以a≤2eq\r<b>.<2>①必要性：設(shè)對所有x∈[0,1],有|f<x>|≤1,即－1≤ax－bx2≤1.令x＝1∈[0,1],則有－1≤a－b≤1,即b－1≤a≤b＋1.因為b＞1,所以eq\f<1,2>－eq\f<1,2b>≤eq\f<a,2b>≤eq\f<1,2>＋eq\f<1,2b>.這說明eq\f<a,2b>∈[0,1]．所以feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a,2b>>>≤1,即eq\f<a2,2b>－b·eq\f<a2,4b2>≤1.所以a2≤4b,a≤2eq\r<b>.綜上所述,有b－1≤a≤2eq\r<b>.②充分性：設(shè)b－1≤a≤2eq\r<b>.因為b＞1,所以eq\f<a,2b>＝eq\f<a,2\r<b>>·eq\f<1,\r<b>>＜1.所以當x∈[0,1]時f<x>的最大值為f<x>max＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a,2b>>>＝a·eq\f<a,2b>－b·eq\f<a2,4b2>＝eq\f<a2,4b>＜1.又因為f<x>的圖像是開口向下的拋物線,所以當x∈[0,1]時,f<x>的最小值f<x>min＝min{f<0>,f<1>}＝min{0,a－b}≥－1.所以當x∈[0,1]時,|f<x>|≤1.綜合①②可知,當b＞1時,對任意x∈[0,1]有|f<x>|≤1的充要條件是b－1≤a≤2eq\r<b>.14．<選做題>已知f<x>＝m<x－2m><x＋m＋3>,g<x>＝2x－2,若同時滿足條件：①對任意x∈R,f<x><0或g<x><0；②存在x∈<－∞,－4>,f<x>g<x><0,求m的取值范圍．解：將①轉(zhuǎn)化為g<x><0的解集的補集是f<x><0解集的子集求解；②轉(zhuǎn)化為f<x>>0的解集與<－∞,－4>的交集非空．若g<x>＝2x－2<0,則x<1.又因為對任意x∈R,g<x><0或f<x><0,所以[1,＋∞>是f<x><0的解集的子集．又由f<x>＝m<x－2m><x＋m＋3><0知,m不可能大于或等于0,因此m<0.當m<0時,f<x><0,即<x－2m><x＋m＋3>>0.當2m＝－m－3,即m＝－1時,f<x><0的解集為{x|x≠－1},滿足條件．當2m>－m－3,即－1<m<0時,f<x><0的解集為{x|x>2m或x<－m－3}．依題意2m<1,即m<eq\f<1,2>,所以－1<m<0.當2m<－m－3,即m<－1時,f<x><0的解集為{x|x<2m或x>－m－3}．依題意－m－3<1,即m>－4,所以－4<m<－1.因此滿足①的m的取值范圍是－4<m<0.②中,因為當x∈<－∞,－4>時,g<x>＝2x－2<0,所以問題轉(zhuǎn)化為存在x∈<－∞,－4>,f<x>>0,即f<x>>0的解集與<－∞,－4>的交集非空．又m<0,則<x－2m><x＋m＋3><0.由①的解法知,當－1<m<0時,2m>－m－3,即－m－3<－4,所以m>1,此時無解．當m＝－1時,f<x>＝－<x＋2>2恒小于或等于0,此時無解．當m<－1時,2m<－m－3,即2m<－4,所以m<－2.綜合①②可知滿足條件的m的取值范圍是－4<m<－2.二圓錐曲線與方程,1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)<大于|F1F2|>的點的軌跡平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)<小于|F1F2|且大于零>的點的軌跡平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l<l不經(jīng)過點F>距離相等的點的軌跡標準方程eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1或eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1或eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1<a>0,b>0>y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py<p>0>關(guān)系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2圖形封閉圖形無限延展,但有漸近線y＝±eq\f<b,a>x或y＝±eq\f<a,b>x無限延展,沒有漸近線,有準線變量范圍|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0對稱性對稱中心為原點無對稱中心兩條對稱軸一條對稱軸頂點四個兩個一個離心率e＝eq\f<c,a>,且0<e<1e＝eq\f<c,a>,且e>1e＝1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小2．橢圓的焦點三角形設(shè)P為橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>上任意一點<不在x軸上>,F1,F2為焦點且∠F1PF2＝α,則△PF1F2為焦點三角形<如圖>．<1>焦點三角形的面積S＝b2taneq\f<α,2>.<2>焦點三角形的周長L＝2a＋2c.3．雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧<1>由雙曲線標準方程求其漸近線方程時,最簡單實用的辦法是：把標準方程中的1換成0,即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線方程為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝0<a>0,b>0>,即y＝±eq\f<b,a>x；雙曲線eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線方程為eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝0<a>0,b>0>,即y＝±eq\f<a,b>x.<2>如果雙曲線的漸近線為eq\f<x,a>±eq\f<y,b>＝0時,它的雙曲線方程可設(shè)為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝λ<λ≠0>．4．特殊的兩個雙曲線<1>雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線．與eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1具有相同漸近線的雙曲線系方程為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝k<k≠0>．<2>雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距．<3>等軸雙曲線方程一般設(shè)為x2－y2＝a2<或y2－x2＝a2>．5．拋物線方程的設(shè)法對頂點在原點,對稱軸為坐標軸的拋物線方程,一般可設(shè)為y2＝ax<a≠0>或x2＝ay<a≠0>．6．拋物線的焦點弦問題拋物線過焦點F的弦長|AB|的一個重要結(jié)論．<1>y2＝2px<p>0>中,|AB|＝x1＋x2＋p.<2>y2＝－2px<p>0>中,|AB|＝－x1－x2＋p.<3>x2＝2py<p>0>中,|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p<4>x2＝－2py<p>0>中,|AB|＝－y1－y2＋p.1．橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a中,應(yīng)有2a>|F1F2|,雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝2a中,應(yīng)有2a<|F1F2|,拋物線定義中,定點F不在定直線l上．2．求圓錐曲線的標準方程時,一定要先區(qū)別焦點在哪個軸上,選取合適的形式．3．由標準方程判斷橢圓、雙曲線的焦點位置時,橢圓看分母的大小,雙曲線看x2,y2系數(shù)的符號．4．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個公共點應(yīng)有兩種情況：一是相切；二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對稱軸平行．軌跡問題[學生用書P79]<1>已知點F<0,1>,直線l：y＝－1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且eq\o<QP,\s\up6<→>>·eq\o<QF,\s\up6<→>>＝eq\o<FP,\s\up6<→>>·eq\o<FQ,\s\up6<→>>.則動點P的軌跡C的方程為________．<2>如圖所示,橢圓C0：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0,a,b為常數(shù)>,動圓O：x2＋y2＝teq\o\al<2,1>,b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點,圓O與橢圓C0相交于A,B,C,D四點,求直線AA1與直線A2B的交點M的軌跡方程．[解]<1>設(shè)P<x,y>,則Q<x,－1>．因為eq\o<QP,\s\up6<→>>·eq\o<QF,\s\up6<→>>＝eq\o<FP,\s\up6<→>>·eq\o<FQ,\s\up6<→>>,所以<0,y＋1>·<－x,2>＝<x,y－1>·<x,－2>,即2<y＋1>＝x2－2<y－1>,即x2＝4y,所以動點P的軌跡C的方程為x2＝4y.故填x2＝4y.<2>設(shè)A<x1,y1>,則B<x1,－y1>,又知A1<－a,0>,A2<a,0>,則直線AA1的方程為y＝eq\f<y1,x1＋a><x＋a>,①直線A2B的方程為y＝eq\f<－y1,x1－a><x－a>,②由①×②,得y2＝eq\f<－yeq\o\al<2,1>,xeq\o\al<2,1>－a2><x2－a2>,③又點A<x1,y1>在橢圓C0上,故eq\f<xeq\o\al<2,1>,a2>＋eq\f<yeq\o\al<2,1>,b2>＝1,從而yeq\o\al<2,1>＝b2eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－\f<xeq\o\al<2,1>,a2>>>.④把④代入③,得eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<x<－a,y<0>,即為點M的軌跡方程．eq\a\vs4\al<>求曲線方程的常用方法及特點<1>直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系,只需把這種關(guān)系"翻譯"成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程．<2>定義法：動點滿足已知曲線的定義,可先設(shè)定方程,再確定其中的基本量．<3>代入法：動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點<稱之為相關(guān)點>而運動的．如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標,根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程．<4>待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型,可設(shè)出方程形式,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．已知動點M到定點A<1,0>與到定直線l：x＝3的距離之和等于4,求動點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線？解：設(shè)M<x,y>是軌跡上的任意一點,作MN⊥l于N,由|MA|＋|MN|＝4得eq\r<〔x－12＋y2>＋|x－3|＝4.當x≥3時,上式化簡為y2＝－12<x－4>；當x<3時,上式化簡為y2＝4x.所以點M的軌跡方程為y2＝－12<x－4><x≥3>和y2＝4x<x<3>,其軌跡是兩條拋物線段．圓錐曲線的定義及應(yīng)用[學生用書P80]<1>設(shè)P是曲線y2＝4x上的一個動點,則點P到點A<－1,1>的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．<2>已知雙曲線eq\f<x2,16>－eq\f<y2,25>＝1的左焦點為F,點P為雙曲線右支上一點,且PF與圓x2＋y2＝16相切于點N,M為線段PF的中點,O為坐標原點,則|MN|－|MO|＝________．[解析]<1>如圖,易知拋物線的焦點為F<1,0>,準線是x＝－1.由拋物線的定義,知點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離．于是,問題轉(zhuǎn)化為求點P到點A<－1,1>的距離與點P到點F<1,0>的距離之和的最小值．顯然,A,P,F三點共線時,所求的距離之和取得最小值,且AF的長為所求的最小值,故最小值為eq\r<22＋12>,即為eq\r<5>.<2>設(shè)F′是雙曲線的右焦點,連接PF′<圖略>．因為M,O分別是FP,FF′的中點,所以|MO|＝eq\f<1,2>|PF′|,又|FN|＝eq\r<|OF|2－|ON|2>＝5,且由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8,故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f<1,2>|PF′|＝eq\f<1,2><|PF|－|PF′|>－|FN|＝eq\f<1,2>×8－5＝－1.[答案]<1>eq\r<5><2>－1eq\a\vs4\al<>圓錐曲線定義的應(yīng)用技巧<1>在求點的軌跡問題時,若所求軌跡符合圓錐曲線的定義,則根據(jù)定義直接寫出圓錐曲線的軌跡方程．<2>焦點三角形問題,在橢圓和雙曲線中,常涉及曲線上的點與兩焦點連接而成的"焦點三角形",處理時常結(jié)合圓錐曲線的定義及解三角形的知識解決．<3>在拋物線中,常利用定義,以達到"到焦點的距離"和"到準線的距離"的相互轉(zhuǎn)化．已知動點M的坐標滿足方程5eq\r<x2＋y2>＝|3x＋4y－12|,則動點M的軌跡是<>A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對解析：選C.把軌跡方程5eq\r<x2＋y2>＝|3x＋4y－12|寫成eq\r<x2＋y2>＝eq\f<|3x＋4y－12|,5>.所以動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．所以動點M的軌跡是以原點為焦點,直線3x＋4y－12＝0為準線的拋物線．圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)[學生用書P80]<1>已知橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的半焦距是c,A,B分別是長軸、短軸的一個端點,O為原點,若△ABO的面積是eq\r<3>c2,則這一橢圓的離心率是<>A．eq\f<1,2>B．eq\f<\r<3>,2>C．eq\f<\r<2>,2> D．eq\f<\r<3>,3><2>雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的離心率為2,焦點到漸近線的距離為eq\r<3>,則C的焦距等于<>A．2 B．2eq\r<2>C．4 D．4eq\r<2>[解析]<1>eq\f<1,2>ab＝eq\r<3>c2,即a2<a2－c2>＝12c4,所以<a2＋3c2><a2－4c2>＝0,所以a2＝4c2,a＝2c,故e＝eq\f<c,a>＝eq\f<1,2>.<2>雙曲線的一條漸近線方程為eq\f<x,a>－eq\f<y,b>＝0,即bx－ay＝0,焦點<c,0>到該漸近線的距離為eq\f<bc,\r<a2＋b2>>＝eq\f<bc,c>＝eq\r<3>,故b＝eq\r<3>,結(jié)合eq\f<c,a>＝2,c2＝a2＋b2得c＝2,則雙曲線C的焦距為2c＝4.[答案]<1>A<2>Ceq\a\vs4\al<>求解離心率的方法<1>定義法：由橢圓<雙曲線>的標準方程可知,不論橢圓<雙曲線>的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2<a2＋b2＝c2>以及e＝eq\f<c,a>,已知其中的任意兩個參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法．<2>方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法．1.過雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的右焦點作一條與其漸近線平行的直線交C于點P.若點P的橫坐標為2a,則C的離心率為________．解析：設(shè)直線方程為y＝eq\f<b,a><x－c>,由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\f<x2,a2>－\f<y2,b2>＝1,,y＝\f<b,a>〔x－c>>得x＝eq\f<a2＋c2,2c>,由eq\f<a2＋c2,2c>＝2a,e＝eq\f<c,a>,解得e＝2＋eq\r<3><e＝2－eq\r<3>舍去>．答案：2＋eq\r<3>2．已知拋物線x2＝8y的焦點F到雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的漸近線的距離為eq\f<4\r<5>,5>,點P是拋物線x2＝8y上的一動點,P到雙曲線C的右焦點F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的標準方程為__________．解析：拋物線焦點為F<0,2>,準線為y＝－2,雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的一條漸近線方程為y＝eq\f<b,a>x,依題意可得eq\f<|－2a|,\r<a2＋b2>>＝eq\f<4\r<5>,5>,即eq\f<a,c>＝eq\f<2,\r<5>>,又P到雙曲線C的右焦點F2的距離與到直線y＝－2的距離之和的最小值為3,所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3,在Rt△FOF2中,|OF2|＝eq\r<32－22>＝eq\r<5>,所以c＝eq\r<5>,所以a＝2,b＝1,所以雙曲線方程為eq\f<x2,4>－y2＝1.答案：eq\f<x2,4>－y2＝1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[學生用書P81]已知橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>上的點P到左右兩焦點F1,F2的距離之和為2eq\r<2>,離心率為eq\f<\r<2>,2>.<1>求橢圓的標準方程；<2>過右焦點F2的直線l交橢圓于A,B兩點,若y軸上一點Meq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,7>>>滿足|MA|＝|MB|,求直線l的斜率k的值．[解]<1>|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r<2>,所以a＝eq\r<2>,e＝eq\f<c,a>＝eq\f<\r<2>,2>,所以c＝eq\f<\r<2>,2>×eq\r<2>＝1,所以b2＝a2－c2＝2－1＝1,所以橢圓的標準方程為eq\f<x2,2>＋y2＝1.<2>由第一問知F2<1,0>,直線斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為y＝k<x－1>,交點為A<x1,y1>,B<x2,y2>．聯(lián)立直線與橢圓的方程eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k〔x－1,,\f<x2,2>＋y2＝1,>>化簡得：<1＋2k2>x2－4k2x＋2k2－2＝0,所以x1＋x2＝eq\f<4k2,1＋2k2>,y1＋y2＝k<x1＋x2>－2k＝eq\f<－2k,1＋2k2>,所以AB的中點坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2k2,1＋2k2>,\f<－k,1＋2k2>>>,①當k≠0時,AB的中垂線方程為y－eq\f<－k,1＋2k2>＝－eq\f<1,k>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<2k2,1＋2k2>>>,因為|MA|＝|MB|,所以點M在AB的中垂線上,將點M的坐標代入直線方程得：eq\f<\r<3>,7>＋eq\f<k,1＋2k2>＝eq\f<2k,1＋2k2>,即2eq\r<3>k2－7k＋eq\r<3>＝0,解得k＝eq\r<3>或k＝eq\f<\r<3>,6>.②當k＝0時,AB的中垂線方程為x＝0,滿足題意．所以斜率k的取值為0,eq\r<3>,eq\f<\r<3>,6>.eq\a\vs4\al<>直線與圓錐曲線關(guān)系問題的求解方法<1>將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x<或y>的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有如下三種：①相交：Δ>0?直線與橢圓相交；Δ>0?直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0,如當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點,故"Δ>0"是"直線與雙曲線相交"的充分不必要條件；Δ>0?直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有Δ>0,當直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線相交且只有一個交點,故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件,而不是必要條件．②相切：Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ＝0?直線與雙曲線相切；Δ＝0?直線與拋物線相切．③相離：Δ<0?直線與橢圓相離；Δ<0?直線與雙曲線相離；Δ<0?直線與拋物線相離．<2>直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等許多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義,根與系數(shù)的關(guān)系以及"點差法"等．已知橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點為<eq\r<2>,0>,離心率為eq\f<\r<6>,3>.<1>求橢圓C的方程；<2>若直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O,求證：點O到直線AB的距離為定值；<3>在<2>的條件下,求△OAB面積的最大值．解：<1>因為橢圓的右焦點為<eq\r<2>,0>,離心率為eq\f<\r<6>,3>,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<c＝\r<2>,,e＝\f<c,a>＝\f<\r<6>,3>,>>所以a＝eq\r<3>,b＝1.所以橢圓C的方程為eq\f<x2,3>＋y2＝1.<2>證明：設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>,直線AB斜率存在時,直線AB的方程為y＝kx＋m,代入橢圓方程,消元可得<1＋3k2>x2＋6kmx＋3m2－3＝0,所以x1＋x2＝－eq\f<6km,1＋3k2>,x1x2＝eq\f<3m2－3,1＋3k2>,因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,所以eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0.所以x1x2＋y1y2＝0,所以<1＋k2>eq\f<3m2－3,1＋3k2>－km×eq\f<6km,1＋3k2>＋m2＝0,所以4m2＝3<k2＋1>．所以原點O到直線的距離為d＝eq\f<|m|,\r<k2＋1>>＝eq\f<\r<3>,2>,當直線AB斜率不存在時,由橢圓的對稱性可知x1＝x2,y1＝－y2,因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,所以eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,所以x1x2＋y1y2＝0,所以xeq\o\al<2,1>－yeq\o\al<2,1>＝0,因為xeq\o\al<2,1>＋3yeq\o\al<2,1>＝3,所以|x1|＝|y1|＝eq\f<\r<3>,2>,所以原點O到直線的距離為d＝|x1|＝eq\f<\r<3>,2>,綜上,點O到直線AB的距離為定值．<3>當直線AB斜率存在時,由弦長公式可得|AB|＝eq\r<1＋k2>|x1－x2|＝eq\r<\f<〔1＋k2〔36k2－12m2＋12,〔1＋3k22>>＝eq\r<3＋\f<12,9k2＋\f<1,k2>＋6>>≤eq\r<3＋\f<12,6＋2\r<9k2·\f<1,k2>>>>＝2,當且僅當k＝±eq\f<\r<3>,3>時,等號成立,所以|AB|≤2,當直線AB斜率不存在時,|AB|＝|y1－y2|＝eq\r<3><2,所以△OAB面積＝eq\f<1,2>|AB|d≤eq\f<1,2>×2×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<\r<3>,2>,所以△OAB面積的最大值為eq\f<\r<3>,2>.,[學生用書P149<單獨成冊>]>[A基礎(chǔ)達標]1．已知拋物線的方程為y＝2ax2,且過點<1,4>,則焦點坐標為<>A．<1,0> B．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,16>,0>>C．eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,16>>> D．<0,1>解析：選C.因為拋物線過點<1,4>,所以4＝2a,所以a＝2,所以拋物線方程為x2＝eq\f<1,4>y,焦點坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,16>>>.故選C.2．設(shè)k<3,k≠0,則下列關(guān)于二次曲線eq\f<x2,3－k>－eq\f<y2,k>＝1與eq\f<x2,5>＋eq\f<y2,2>＝1的說法正確的是<>A．它們表示的曲線一條為雙曲線,另一條為橢圓B．有相同的頂點C．有相同的焦點D．有相同的離心率解析：選C.當0<k<3時,則0<3－k<3,所以eq\f<x2,3－k>－eq\f<y2,k>＝1表示實軸在x軸上的雙曲線,a2＋b2＝3＝c2.所以兩曲線有相同焦點；當k<0時,－k>0且3－k>－k,所以eq\f<x2,3－k>＋eq\f<y2,－k>＝1表示焦點在x軸上的橢圓．a(chǎn)2＝3－k,b2＝－k.所以a2－b2＝3＝c2,與已知橢圓有相同焦點．3．設(shè)點P是雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,且|PF1|＝eq\r<3>|PF2|,則此雙曲線的離心率為<>A．eq\r<5> B．eq\f<\r<10>,2>C．eq\r<3>＋1 D．3解析：選C.由題知PF1⊥PF2,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<|PF1|－|PF2|＝2a,,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2,,|PF1|＝\r<3>|PF2|,>>得eq\f<c,a>＝eq\r<3>＋1.故選C.4．已知點P是橢圓16x2＋25y2＝400上一點,且在x軸上方,F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF2的斜率為－4eq\r<3>,則△PF1F2的面積是<>A．24eq\r<3> B．12eq\r<3>C．6eq\r<3> D．3eq\r<3>解析：選C.橢圓16x2＋25y2＝400的標準方程是eq\f<x2,52>＋eq\f<y2,42>＝1,F1<－3,0>、F2<3,0>．直線PF2的方程為y＝－4eq\r<3><x－3>．由點P在x軸上方和方程組eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<16x2＋25y2＝400,,y＝－4\r<3>〔x－3>>可得P點的坐標是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>,2\r<3>>>.所以S△PF1F2＝eq\f<1,2>×6×2eq\r<3>＝6eq\r<3>.5．設(shè)雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點．若A1B⊥A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為<>A．±eq\f<1,2> B．±eq\f<\r<2>,2>C．±1 D．±eq\r<2>解析：選C.由題設(shè),得A1<－a,0>,A2<a,0>,F<c,0>．將x＝c代入雙曲線方程,解得y＝±eq\f<b2,a>.不妨設(shè)B<c,eq\f<b2,a>>,C<c,－eq\f<b2,a>>,則kA1B＝eq\f<\f<b2,a>,c＋a>,kA2C＝eq\f<－\f<b2,a>,c－a>,根據(jù)題意,有eq\f<\f<b2,a>,c＋a>·eq\f<－\f<b2,a>,c－a>＝－1,整理得eq\f<b,a>＝1,所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1.故選C.6．已知直線l：x＝my＋1<m≠0>恒過橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,橢圓C的上頂點為拋物線x2＝4eq\r<3>y的焦點,則橢圓C的方程為________．解析：根據(jù)題意,直線l：x＝my＋1<m≠0>恒過橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點F,所以F<1,0>,所以c＝1.又因為橢圓C的上頂點為拋物線x2＝4eq\r<3>y的焦點,所以b＝eq\r<3>,b2＝3,所以a2＝b2＋c2＝4,所以橢圓C的方程為eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,3>＝1.答案：eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,3>＝17．已知點A<4,0>,M是拋物線y2＝6x上的動點,當點M到A距離最小時,M點坐標為________．解析：設(shè)M<eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>,y1>,則|MA|2＝<eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>－4>2＋yeq\o\al<2,1>＝eq\f<1,36>yeq\o\al<4,1>－eq\f<1,3>yeq\o\al<2,1>＋16＝eq\f<1,36><yeq\o\al<2,1>－6>2＋15≥15,當且僅當yeq\o\al<2,1>＝6,即y1＝±eq\r<6>,x1＝eq\f<yeq\o\al<2,1>,6>＝1時,|MA|取最小值eq\r<15>,此時M<1,±eq\r<6>>．答案：<1,±eq\r<6>>8．橢圓eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,16>＝1上一點P到左焦點F的距離為6,若點M滿足eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<OP,\s\up6<→>>＋eq\o<OF,\s\up6<→>>><O為坐標原點>,則|eq\o<OM,\s\up6<→>>|＝________．解析：設(shè)F1為右焦點,因為|eq\o<PF,\s\up6<→>>|＝6,所以|eq\o<PF1,\s\up6<→>>|＝10－6＝4,又eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<OP,\s\up6<→>>＋eq\o<OF,\s\up6<→>>>,所以M為PF的中點,所以O(shè)M為△FPF1的中位線,所以|eq\o<OM,\s\up6<→>>|＝eq\f<1,2>|eq\o<PF1,\s\up6<→>>|＝2.答案：29．已知拋物線y2＝2px<p>0>有一內(nèi)接△OAB,O為坐標原點,若eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,直線OA的方程為y＝2x,且|AB|＝4eq\r<13>,求拋物線方程．解：由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝2x,,y2＝2px,>>解得Aeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<p,2>,p>>,又eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝0,所以O(shè)A⊥OB,故直線OB的方程為y＝－eq\f<1,2>x.由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝－\f<1,2>x,,y2＝2px,>>聯(lián)立得B<8p,－4p>．因為|AB|＝4eq\r<13>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<p,2>－8p>>eq\s\up12<2>＋<p＋4p>2＝16×13,所以p＝eq\f<8,5>,所以拋物線方程為y2＝eq\f<16,5>x.10．設(shè)橢圓的方程為eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>,離心率為eq\f<\r<2>,2>,過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點,|AB|＝2.<1>求該橢圓的標準方程；<2>設(shè)動點P<x0,y0>滿足eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OM,\s\up6<→>>＋2eq\o<ON,\s\up6<→>>,其中M,N是橢圓上的點,直線OM與ON的斜率之積為－eq\f<1,2>,求證：xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>為定值．解：<1>由e2＝eq\f<a2－b2,a2>＝eq\f<1,2>,得a2＝2b2,因為過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點,且|AB|＝2,所以由橢圓的對稱性,知該直線過點<c,1>或<－c,1>,且點<±c,1>在橢圓上,即eq\f<c2,a2>＋eq\f<1,b2>＝1,即eq\f<a2－b2,a2>＋eq\f<1,b2>＝1,解得a2＝4,b2＝2,所以橢圓的標準方程為eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,2>＝1.<2>證明：設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>,則kOM·kON＝eq\f<y1,x1>·eq\f<y2,x2>＝－eq\f<1,2>,化簡得x1x2＋2y1y2＝0.因為M,N是橢圓上的點,所以eq\f<xeq\o\al<2,1>,4>＋eq\f<yeq\o\al<2,1>,2>＝1,eq\f<xeq\o\al<2,2>,4>＋eq\f<yeq\o\al<2,2>,2>＝1,即有xeq\o\al<2,1>＋2yeq\o\al<2,1>＝4,xeq\o\al<2,2>＋2yeq\o\al<2,2>＝4,由eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OM,\s\up6<→>>＋2eq\o<ON,\s\up6<→>>,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝x1＋2x2,y0＝y(tǒng)1＋2y2>>,所以xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>＝<x1＋2x2>2＋2<y1＋2y2>2＝<xeq\o\al<2,1>＋2yeq\o\al<2,1>>＋4<xeq\o\al<2,2>＋2yeq\o\al<2,2>>＋4<x1x2＋2y1y2>＝4＋4×4＋0＝20.即xeq\o\al<2,0>＋2yeq\o\al<2,0>為定值．[B能力提升]11．邊長為1的等邊三角形AOB,O為原點,AB⊥x軸,以O(shè)為頂點且過A,B的拋物線方程是<>A．y2＝eq\f<\r<3>,6>x B．y2＝－eq\f<\r<3>,6>xC．y2＝±eq\f<\r<3>,6>x D．y2＝±eq\f<\r<3>,3>x解析：選C.因為△AOB為邊長等于1的正三角形,所以O(shè)到AB的距離為eq\f<\r<3>,2>,A或B到x軸的距離為eq\f<1,2>.當拋物線的焦點在x軸的正半軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2＝2px<p>0>．因為拋物線過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<2>＝2p·eq\f<\r<3>,2>,所以2p＝eq\f<\r<3>,6>.所以拋物線的方程為y2＝eq\f<\r<3>,6>x.當拋物線的焦點在x軸的負半軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px<p>0>．因為拋物線過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,所以eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>eq\s\up12<2>＝－2p·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>>>,所以2p＝eq\f<\r<3>,6>.所以拋物線的方程為y2＝－eq\f<\r<3>,6>x.12．點F是雙曲線C：eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a＞0,b＞0>的右焦點,過點F向C的一條漸近線作垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點B.若2eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<FB,\s\up6<→>>,則雙曲線C的離心率是________．解析：由題意得雙曲線C的右焦點為F<c,0>,記一條漸近線OA的方程為y＝eq\f<b,a>x,則另一條漸近線OB的方程為y＝－eq\f<b,a>x,設(shè)A<m,eq\f<bm,a>>,B<n,－eq\f<bn,a>>,因為2eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<FB,\s\up6<→>>,所以2<c－m,－eq\f<bm,a>>＝<n－c,－eq\f<bn,a>>,所以2<c－m>＝n－c,－eq\f<2bm,a>＝－eq\f<bn,a>,解得m＝eq\f<3c,4>,n＝eq\f<3c,2>,所以A<eq\f<3c,4>,eq\f<3bc,4a>>．由FA⊥OA可得eq\f<\f<3bc,4a>－0,\f<3c,4>－c>·eq\f<b,a>＝－1.所以a2＝3b2,所以e＝eq\f<c,a>＝eq\f<\r<a2＋b2>,a>＝eq\f<2\r<3>,3>.答案：eq\f<2\r<3>,3>13．設(shè)橢圓E：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,1－a2>＝1的焦點在x軸上．<1>若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程；<2>設(shè)F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1P⊥F1Q,證明：當a變化時,點P在某定直線上．解：<1>因為a2>1－a2,2c＝1,a2＝1－a2＋c2,則a2＝eq\f<5,8>,1－a2＝eq\f<3,8>,所以橢圓E的方程為eq\f<8x2,5>＋eq\f<8y2,3>＝1.<2>證明：設(shè)F1<－c,0>,F2<c,0>,P<x,y>,Q<0,m>,則eq\o<F2P,\s\up6<→>>＝<x－c,y>,eq\o<QF2,\s\up6<→>>＝<c,－m>,eq\o<F1P,\s\up6<→>>＝<x＋c,y>,eq\o<F1Q,\s\up6<→>>＝<c,m>．由eq\o<F2P,\s\up6<→>>∥eq\o<QF2,\s\up6<→>>,eq\o<F1P,\s\up6<→>>⊥eq\o<F1Q,\s\up6<→>>,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m〔c－x＝y(tǒng)c,,c〔x＋c＋my＝0,>>所以<x－c><x＋c>＝y(tǒng)2,即x2－y2＝c2.由橢圓E的方程可知,c2＝a2－<1－a2>＝2a2－1,所以x2－y2＝2a2－1,即y2＝x2－2a2＋1.將上式代入橢圓E的方程,得eq\f<x2,a2>＋eq\f<x2－2a2＋1,1－a2>＝1,解得x2＝a4.因為點P是第一象限內(nèi)的點,所以x＝a2,y＝1－a2.故點P在定直線x＋y＝1上．14．<選做題>已知圓M：<x＋eq\r<5>>2＋y2＝36,定點N<eq\r<5>,0>,點P為圓M上的動點,點Q在NP上,點G在MP上,且滿足eq\o<NP,\s\up6<→>>＝2eq\o<NQ,\s\up6<→>>,eq\o<GQ,\s\up6<→>>·eq\o<NP,\s\up6<→>>＝0.<1>求點G的軌跡C的方程；<2>過點<2,0>作斜率為k的直線l,與曲線C交于A,B兩點,O是坐標原點,是否存在這樣的直線l,使得eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>≤－1？若存在,求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在,請說明理由．解：<1>由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\o<NP,\s\up6<→>>＝2\o<NQ,\s\up6<→>>,,\o<GQ,\s\up6<→>>·\o<NP,\s\up6<→>>＝0,>>知Q為線段PN的中點,且GQ⊥PN,則GQ為線段PN的中垂線,故|eq\o<PG,\s\up6<→>>|＝|eq\o<GN,\s\up6<→>>|,所以|eq\o<GN,\s\up6<→>>|＋|eq\o<GM,\s\up6<→>>|＝|eq\o<PM,\s\up6<→>>|＝6.故點G的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,且其長半軸長a＝3,半焦距c＝eq\r<5>,所以短半軸長b＝2.所以點G的軌跡C的方程是eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1.<2>設(shè)l的方程為y＝k<x－2>,A<x1,y1>,B<x2,y2>,則eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝x1x2＋y1y2.由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k〔x－2,,\f<x2,9>＋\f<y2,4>＝1>>?<9k2＋4>x2－36k2x＋36<k2－1>＝0,所以x1＋x2＝eq\f<36k2,9k2＋4>,x1x2＝eq\f<36〔k2－1,9k2＋4>,y1y2＝[k<x1－2>][k<x2－2>]＝k2[x1x2－2<x1＋x2>＋4]＝－eq\f<20k2,9k2＋4>,則x1x2＋y1y2＝eq\f<36〔k2－1,9k2＋4>－eq\f<20k2,9k2＋4>＝eq\f<16k2－36,9k2＋4>.由eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>＝x1x2＋y1y2≤－1,得eq\f<16k2－36,9k2＋4>≤－1,解得k2≤eq\f<32,25>,故－eq\f<4\r<2>,5>≤k≤eq\f<4\r<2>,5>.故存在這樣的直線l,使得eq\o<OA,\s\up6<→>>·eq\o<OB,\s\up6<→>>≤－1,且直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<4\r<2>,5>,\f<4\r<2>,5>>>.三空間向量與立體幾何,1．空間向量的有關(guān)定理和推論<1>共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b<b≠0>,a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使得a＝λb.<2>共線向量定理的推論：若eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OB,\s\up6<→>>不共線,則P,A,B三點共線的充要條件是eq\o<OP,\s\up6<→>>＝λeq\o<OA,\s\up6<→>>＋μeq\o<OB,\s\up6<→>>,且λ＋μ＝1.<3>共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對<x,y>,使得p＝xa＋yb.<4>共面向量定理的推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A,B,C,則P,A,B,C四點共面的充要條件是eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>＋zeq\o<OC,\s\up6<→>><其中x＋y＋z＝1>．<5>空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p＝xa＋yb＋zc,其中{a,b,c}叫做空間的一個基底．2．空間向量運算的坐標表示設(shè)a＝<a1,a2,a3>,b＝<b1,b2,b3>．<1>a＋b＝<a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3>,a－b＝<a1－b1,a2－b2,a3－b3>,λa＝<λa1,λa2,λa3>,a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.<2>重要結(jié)論a∥b?a＝λb?a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3<λ∈R>；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夾角和距離公式<1>設(shè)a＝<a1,a2,a3>,b＝<b1,b2,b3>,則①|(zhì)a|＝eq\r<a·a>＝eq\r<aeq\o\al<2,1>＋aeq\o\al<2,2>＋aeq\o\al<2,3>>；②cos〈a,b〉＝eq\f<a·b,|a||b|>＝eq\f<a1b1＋a2b2＋a3b3,\r<aeq\o\al<2,1>＋aeq\o\al<2,2>＋aeq\o\al<2,3>>·\r<beq\o\al<2,1>＋beq\o\al<2,2>＋beq\o\al<2,3>>>.<2>設(shè)A<a1,b1,c1>,B<a2,b2,c2>,則dAB＝|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝eq\r<〔a2－a12＋〔b2－b12＋〔c2－c12>.4．空間向量的運算與線面位置關(guān)系的判定<1>設(shè)直線l的方向向量是u＝<a1,b1,c1>,平面α的法向量v＝<a2,b2,c2>,則l∥α?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0,l⊥α?u∥v?u＝kv?<a1,b1,c1>＝k<a2,b2,c2>?a1＝ka2,b1＝kb2,c1＝kc2<k∈R>．<2>設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v,則l∥m?a∥b?a＝kb,k∈R；l⊥m?a⊥b?a·b＝0；l∥α?a⊥u?a·u＝0；l⊥α?a∥u?a＝ku,k∈R；α∥β?u∥v?u＝kv,k∈R；α⊥β?u⊥v?u·v＝0.5．空間向量與空間角的關(guān)系<1>設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1,m2〉|.<2>設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m,n〉|.<3>求二面角的大?。?lt;ⅰ>如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的兩個半平面α,β內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝〈eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<CD,\s\up6<→>>〉．<ⅱ>如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1,n2〉或－cos〈n1,n2〉．1．關(guān)注零向量<1>由于零向量與任意向量平行,所以由a∥b,b∥c無法推出a∥c.<2>0a＝0,而0·a＝0.2．正確理解數(shù)量積的概念和運算性質(zhì)<1>a·b＝a·c<a≠0>的本質(zhì)是向量b,c在向量a方向上的投影相等,b與c不一定相等．<2>求兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵,也是易錯點,如等邊三角形ABC中,eq\o<AB,\s\up6<→>>與eq\o<BC,\s\up6<→>>的夾角為120°而不是60°.<3>兩個非零向量a和b的夾角θ是銳角<或鈍角>的充要條件是a·b>0<或<0>且a與b不同向<或反向>．3．弄清