Riemann猜測(cè)漫談（十四）盧昌海在Bohr與Landau研究零點(diǎn)分布的同時(shí)，另一位為Riemann猜測(cè)而著迷的數(shù)學(xué)家Hardy也沒(méi)閑著。1914年，即與Bohr-Landau定理的提出同一年,Hardy對(duì)Riemann猜測(cè)的研究也取得了突破性的結(jié)果。這便是我們?cè)诘谝还?jié)中提到過(guò)的那個(gè)“令歐洲大陸數(shù)學(xué)界為之震動(dòng)的成就〃。在Riemann猜測(cè)的研究中，這一結(jié)果被稱為Hardy定理［注一］：Hardy定理：Riemann函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)位于臨界線上。我們知道（詳見(jiàn)上節(jié)），無(wú)論Hadamard、Vailee-Poussin，還是Bohr、Landau，在Hardy之前人們所做的有關(guān)Riemann猜測(cè)的所有解析研究，都沒(méi)能證明Riemannl函數(shù)的哪怕一個(gè)非平凡零點(diǎn)落在臨界線上。那時(shí)人們所知的有關(guān)臨界線上的零點(diǎn)的全部結(jié)果只有我們?cè)诘诎斯?jié)中提到過(guò)的1903年Gram給出的15個(gè)零點(diǎn)以及1914年（與Hardy定理的提出同一年）Backlund計(jì)算出的79個(gè)零點(diǎn)。全部都是零星計(jì)算，且涉及的零點(diǎn)數(shù)目少得可憐。而突然間，來(lái)自英倫島上的Hardy居然不動(dòng)聲色地一舉把臨界線上的零點(diǎn)數(shù)目擴(kuò)大到了無(wú)窮,不僅遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)Backlund的區(qū)區(qū)79個(gè)零點(diǎn)，也永久性地超過(guò)了后世所能給出的任何具體的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。因?yàn)闊o(wú)論用多么高明的計(jì)算方法，無(wú)論用多么強(qiáng)大的計(jì)算設(shè)備，也無(wú)論用多么漫長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，任何具體的數(shù)值計(jì)算所能驗(yàn)證的零點(diǎn)數(shù)目都是有限的，而無(wú)論多么大的有限數(shù)目相對(duì)于無(wú)窮來(lái)說(shuō)都只是一個(gè)“零〃。因此Hardy定理雖然沒(méi)有給出臨界線上任何一個(gè)具體零點(diǎn)的數(shù)值，但它通過(guò)對(duì)這些零點(diǎn)的存在性證明，為Riemann猜測(cè)提供了強(qiáng)有力的支持，并且超越了任何可能的具體數(shù)值計(jì)算［注二］。這樣的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)在人們對(duì)Riemann彳函數(shù)的非平凡零點(diǎn)還知之甚少的1914年，而且還出現(xiàn)在與歐洲大陸數(shù)學(xué)界頗為疏離的英國(guó)，不能不令歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們感到震動(dòng)。Hardy定理的證明可以從一個(gè)有關(guān)自(s)的積分表達(dá)式：入手。這里s的取值滿足ORe(s)l,被積表達(dá)式中的函數(shù)G(x)那么定義為：我們?cè)诘谖骞?jié)中介紹過(guò)，&(s)的零點(diǎn)與RiemannI函數(shù)的非平凡零點(diǎn)相重合，并且自(s)是一個(gè)整函數(shù)，性質(zhì)比RiemannC函數(shù)來(lái)得簡(jiǎn)單，從而在Riemann猜測(cè)的研究中是一個(gè)十分重要的輔助函數(shù)。證明Hardy定理的根本思路便是設(shè)法從前式中找出與8(s)在臨界線上的零點(diǎn)分布有關(guān)的約束條件來(lái)。為此，第一步是從前式中解出G(x)-1-1/x。這與我們?cè)诘谒墓?jié)中介紹過(guò)的從InU(s)與J(x)的積分表達(dá)式中解出J(x)來(lái)是完全類似的，其結(jié)果也類似，為：其中積分上下限中的a滿足01。從G(x)的定義中不難看到(讀者可以自行證明)，G(x)在復(fù)平面上-n/4Indn(x)兀/4的鍥形區(qū)域內(nèi)解析。進(jìn)一步的研究還說(shuō)明，在這一鍥形區(qū)域的邊界上G(x)存在奇點(diǎn)，特別是，當(dāng)x從鍥形區(qū)域內(nèi)逼近il/2(即eni/4)時(shí)，G(x)及其所有導(dǎo)數(shù)都趨于零。另一方面，假設(shè)白(s)在臨界線上只有有限多個(gè)零點(diǎn)，那么只要t足夠大，4(l/2+it)的符號(hào)就將保持恒定(請(qǐng)讀者想一想這是為什么？)。換句話說(shuō)，只要t足夠大，&(l/2+it)要么是恒正函數(shù)，要么是恒負(fù)函數(shù)［注三］。顯然，t的這種大范圍特征對(duì)上式右端的積分(積分限中的a取為1/2)會(huì)產(chǎn)生可觀的影響。這種影響究竟有多大呢？Hardy經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，它足以破壞G(x)在x-il/2時(shí)的所有導(dǎo)數(shù)都趨于零這一結(jié)果［注四］。這就說(shuō)明&(s)在臨界線上不可能只有有限多個(gè)零點(diǎn)一一而這正是Hardy定理。Hardy定理在研究Riemann猜測(cè)的征程上無(wú)疑是一個(gè)了不起的成就。但是它距離目標(biāo)究竟還有多遠(yuǎn)呢？卻是誰(shuí)也答不上來(lái)。從字面上看,Riemann函數(shù)共有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)，而Hardy定理所說(shuō)的正是有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)位于臨界線上，兩者似乎已是一回事?？上У氖牵盁o(wú)窮〃這一概念卻是數(shù)學(xué)中最微妙的概念之一，兩個(gè)“無(wú)窮〃之間非但未見(jiàn)得相同，簡(jiǎn)直可以相距要多遙遠(yuǎn)有多遙遠(yuǎn)，甚至相距無(wú)窮遠(yuǎn)！因此，為了知道我們離目標(biāo)究竟還有多遠(yuǎn)，我們還需要比Hardy定理更具體的結(jié)果。幸運(yùn)的是，那樣的結(jié)果很快就有了，離Hardy定理的問(wèn)世僅僅相隔七個(gè)年頭。在研究Riemann定理的征程中，時(shí)間動(dòng)輒就以幾十年計(jì)，因此七年應(yīng)該算是很短的時(shí)間。這回出現(xiàn)在英雄榜上的人物除了Hardy外，還有Hardy的同胞兼“親密戰(zhàn)友〃Littlewood。二十四.Hardy-Littlewood定理Hardy一生除了對(duì)數(shù)學(xué)本身的卓越奉獻(xiàn)外，還有兩段與他人合作的經(jīng)歷在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。其中一段是與印度數(shù)學(xué)奇才SrinivasaRamanujan(1887-1920)的傳奇性的合作，另一段便是與Littlewood的合作。Littlewood與Hardy一樣，是英國(guó)外鄉(xiāng)的數(shù)學(xué)家。我們?cè)诘谝还?jié)中介紹過(guò)，英國(guó)的數(shù)學(xué)界自Newton-Leibniz論戰(zhàn)以來(lái)漸漸與歐洲大陸的數(shù)學(xué)界孤立了開(kāi)來(lái)。1906年，當(dāng)Littlewood還是劍橋大學(xué)三一學(xué)院(TrinityCollege)的一位年輕學(xué)生的時(shí)候，這種孤立所導(dǎo)致的一個(gè)有趣的后果落到了他的頭上。他當(dāng)時(shí)的導(dǎo)師、英國(guó)數(shù)學(xué)家ErnestBarnes(1874T953)在那年的暑期之前隨手寫(xiě)給了他一個(gè)函數(shù)，輕描淡寫(xiě)地告訴他說(shuō)這叫做U函數(shù)，讓他研究一下這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)位置。初出茅廬的Littlewood不知C函數(shù)為何方神圣，領(lǐng)命而去倒也罷了，但Barnes居然能漫不經(jīng)心地把這樣的課題交給當(dāng)時(shí)還是“菜鳥(niǎo)〃（盡管算是比擬厲害的“菜鳥(niǎo)〃）的Littlewood,說(shuō)明他對(duì)歐洲大陸在近半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里對(duì)這一函數(shù)的研究，以及由此所顯示的這一課題的艱深程度了解得很不夠。不過(guò)Barnes雖有對(duì)“敵情〃失察之過(guò)，把任務(wù)交給Littlewood卻是找對(duì)人了，因?yàn)長(zhǎng)ittlewood很快就成長(zhǎng)為了英國(guó)第一流的數(shù)學(xué)家。而在這過(guò)程中，Barnes所給的這個(gè)課題對(duì)他的成長(zhǎng)不無(wú)促進(jìn)之功。假設(shè)千年后，當(dāng)Littlewood終于體會(huì)到了Riemann猜測(cè)的艱深程度，甚至開(kāi)始疑心其正確性（參閱第九節(jié)）的時(shí)候，他并沒(méi)有懊悔當(dāng)時(shí)曾經(jīng)接下了這一課題，因?yàn)橐晃徽嬲齼?yōu)秀的數(shù)學(xué)家在面對(duì)一個(gè)絕頂難題的時(shí)候，往往會(huì)被激發(fā)出最大的潛力及最敏銳的靈感。事實(shí)上，拿到上述課題后的第二年,Littlewood就發(fā)現(xiàn)這個(gè)V函數(shù)與素?cái)?shù)分布之間存在著緊密關(guān)聯(lián)。對(duì)于歐洲大陸的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這種關(guān)聯(lián)已缺乏為奇，因?yàn)樗缭谒氖四曛熬捅籖iemann發(fā)現(xiàn)了。但在閉塞的英國(guó)數(shù)學(xué)界，歐洲大陸在這方面的工作當(dāng)時(shí)還鮮為人知。不過(guò)閉塞歸閉塞，例外還是有的，其中與Littlewood恰好同在三一學(xué)院的Hardy就是一個(gè)例外。盡管Littlewood的發(fā)現(xiàn)在時(shí)間上未能領(lǐng)先，但他能獨(dú)立地重復(fù)Riemann的局部工作，其功力之非凡還是給年長(zhǎng)的Hardy留下了深刻印象。此后Littlewood在曼徹斯特大學(xué)（UniversityofManchester）大學(xué)教了三年書(shū)。1910他在獲得了三一學(xué)院的教職后重返劍橋，由此開(kāi)始了與Hardy長(zhǎng)達(dá)三十七年親密無(wú)間的合作生涯，直至1947年Hardy去世為止。Hardy與Littlewood的合作堪稱數(shù)學(xué)史上合作關(guān)系的典范。在他們合作的極盛時(shí)期，歐洲數(shù)學(xué)界流傳著許多有關(guān)他們的善意玩笑。比方Bohr(Bohr-Landau定理中的Bohr)曾經(jīng)開(kāi)玩笑說(shuō)當(dāng)時(shí)英國(guó)共有三位第一流的數(shù)學(xué)家：一位是Hardy,一位是Littlewood，還有一位是Hardy-Li111ewoodo而與之截然相反的另一個(gè)玩笑那么宣稱Littlewood根本就不存在，是Hardy為了自己的文章一旦出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)可以有替罪羊而杜撰出來(lái)的虛擬人物。據(jù)說(shuō)Landau(Bohr-Landau定理中的Landau)還專程從德國(guó)跑到英國(guó)來(lái)證實(shí)Littlewood的存在性［注五］。Hardy與Littlewood對(duì)臨界線上非平凡零點(diǎn)的研究起點(diǎn)與Hardy定理相同，也是上面提到的G(x)與昌(s)之間的積分表達(dá)式。在Hardy定理的證明中，如我們?cè)谏衔募白⑨屩锌吹降模埸c(diǎn)是2a(z)xz-l/z(z-1)在整個(gè)臨界線上的積分。這一著眼點(diǎn)其實(shí)已經(jīng)為Hardy定理的結(jié)果埋下了伏筆。正所謂“種瓜得瓜，種豆得豆〃，既然所研究的是整個(gè)臨界線上的積分，所得到的當(dāng)然也就只是有關(guān)整個(gè)臨界線上零點(diǎn)總數(shù)的籠統(tǒng)結(jié)果。那么，為了得到能與Riemann猜測(cè)對(duì)非平凡零點(diǎn)的描述進(jìn)行具體比擬的結(jié)果，我們需要什么呢？我們需要的不僅是對(duì)整個(gè)臨界線上零點(diǎn)總數(shù)的研究，更重要的是要了解臨界線上位于區(qū)間0Wlm(s)WT的零點(diǎn)數(shù)目。為此，Hardy與Littlewood研究了21(z)xzT/z(zT)在臨界線上任一區(qū)間的積分，即:其中Re(s)=1/2。通過(guò)對(duì)這一積分的細(xì)致研究，Hardy與Littlewood發(fā)現(xiàn)臨界線上不僅有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)，而且虛部在0到T之間的零點(diǎn)總數(shù)隨T趨于無(wú)窮的速度起碼是KT(其中K為大于零的常數(shù))。他們發(fā)表于1921年的這一結(jié)果在數(shù)學(xué)界并無(wú)確切名稱，我們?cè)谶@里將它稱之為Hardy-Littlewood定理［注六］,它的完整表述如下：Hardy-Littlewood定理：存在常數(shù)K0及TOO,使得對(duì)所有TT0,RiemannC函數(shù)在臨界線上0Wlm(s)WT的區(qū)間內(nèi)的非平凡零點(diǎn)數(shù)目不小于KT。有了這樣的具體結(jié)果，我們就可以將它與Riemann猜測(cè)相比擬了。那么,Hardy-Littlewood定理距離Riemann猜測(cè)這一目標(biāo)究竟有多遠(yuǎn)呢?為了答復(fù)這一問(wèn)題，我們可以回憶一下第五節(jié)中Riemann那三個(gè)命題中的第一個(gè)，即：在Olm(s)T的區(qū)間內(nèi)(不限于臨界線上)，RiemannG函數(shù)的零點(diǎn)總數(shù)大約為(T/2Ji)ln(T/2ji)-(T/2兀)。這個(gè)命題于1905年被Mangoldt所證明，并且也是Riemann那三個(gè)命題中迄今唯一得到證明的命題。與這個(gè)命題相比，我們可以看到一個(gè)令人沮喪的結(jié)果，那就是Hardy-Littlewood定理所給出的對(duì)臨界線上非平凡零點(diǎn)數(shù)目下限的漸近估計(jì)相對(duì)于零點(diǎn)總數(shù)來(lái)說(shuō)，其漸近比例為零！真是不比不知道，一比嚇一跳，原來(lái)花了這么大功夫所得到的這一結(jié)果從純比例的角度看竟是如此地“微缺乏道〃。這就是我們與Riemann猜測(cè)的距離所在，也是Riemann猜測(cè)的難度所在。但盡管如此,Hardy-Littlewood定理是有關(guān)RiemannC函數(shù)非平凡零點(diǎn)在臨界線上的具體分布的第一個(gè)解析結(jié)果。在當(dāng)時(shí)也是唯一一個(gè)那樣的結(jié)果，其重要性是不言而喻的。Hardy-Li111ewood定理的這一紀(jì)錄總共維持了21年，直到1942年才被我們?cè)诘谑吖?jié)中提到過(guò)的Selberg所打破。注釋.Hardy一生對(duì)數(shù)學(xué)有著諸多奉獻(xiàn)，“Hardy定理〃這一名稱有時(shí)也被用來(lái)表示復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)定理，為防止歧義，我們?cè)谶@里添加了“在Riemann猜測(cè)的研究中〃這一限定。.在歷史上，這種存在性證明由于其非構(gòu)造性的特征，曾被以荷蘭數(shù)學(xué)家L.E.J.Brouwer(1881-1966)>德國(guó)數(shù)學(xué)家HermannWeyl(1885-1955)>荷蘭數(shù)學(xué)家ArendHeyting(1898-1980)等人為代表的數(shù)學(xué)哲學(xué)“三大流派〃之一的直覺(jué)主義(Intuitionism)所排斥。但是存在性證明是數(shù)學(xué)中極其重要的方法，在很大程度上表達(dá)了邏輯與推理的力量，就像一個(gè)高明的偵探無(wú)需跑到罪犯家中將之拿下就可以推斷出誰(shuí)是兇手一樣。直覺(jué)主義因排斥這種非構(gòu)造性的方法而拋棄的東西實(shí)在太多，最后就連其代表人物之一的Weyl也不得不成認(rèn)，在直覺(jué)主義中“數(shù)學(xué)家們痛苦地看著數(shù)學(xué)大廈中自己深信根底堅(jiān)實(shí)的許多局部在他們的眼前化為了迷霧〃。.由于a(s)在臨界線上為實(shí)數(shù)(參閱第十一節(jié))，且&(s)=昌(s)(參閱第二十二節(jié))，&(l/2+it)作為t的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，因此我們只需考慮to的情形即可。.限于篇幅，也為了防止涉及過(guò)多的技術(shù)性內(nèi)容，我們略去了對(duì)這一點(diǎn)的證明。概括的講，它主要包括三個(gè)步驟：1.消去左端的-1-1/x及右端被積函數(shù)中的l/z(z-l)以簡(jiǎn)化表達(dá)式。具體做法是用算符x(d2/dx2)x作用于G(x)的積分表達(dá)式的兩端。這一步比擬容易。2.證明簡(jiǎn)化后的左端H(x)=x(d2/dx2)xG(x)在x^il/2時(shí)具有與G(x)一樣的行為，即所有導(dǎo)數(shù)都趨于零。這一步也比擬容易。3.證明&(l/2+it)在t很大時(shí)具有恒定的符號(hào)這一性質(zhì)