§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.多面體的結(jié)構(gòu)特征知識(shí)梳理互相平行平行于底面全等公共頂點(diǎn)相似2.旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形

所在的直線圓錐直角三角形

所在的直線圓臺(tái)直角梯形

所在的直線球半圓

所在的直線任一邊任一直角邊垂直于底邊的腰直徑(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：

、

、

.(2)三視圖的畫法①在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的

方、

方、

方觀察到的幾何體的正投影圖.3.空間幾何體的三視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖正前正左正上空間幾何體的直觀圖常用

畫法來畫，其規(guī)則是(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸和y′軸所在平面

.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍

；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度

；平行于y軸的線段在直觀圖中

.4.空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)垂直平行于坐標(biāo)軸不變長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?5°或135°1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.知識(shí)拓展2.斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)思考辨析(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái).(

)×××幾何畫板展示幾何畫板展示幾何畫板展示(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.(

)(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)(6)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)×××

1.(教材改編)下列說法正確的是A.相等的角在直觀圖中仍然相等B.相等的線段在直觀圖中仍然相等C.正方形的直觀圖是正方形D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行考點(diǎn)自測(cè)答案解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變.2.(2016·天津)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

答案解析幾何畫板展示由正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，故該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)B.3.(教材改編)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是

答案解析A.正三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.直角三角形

由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸.直觀圖還原為平面圖形是直角三角形.故選D.4.(2016·長(zhǎng)春三模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

答案解析5.某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是________.答案解析題型分類深度剖析題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1

給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________.答案解析②③④①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.思維升華(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析.

跟蹤訓(xùn)練1

(1)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2

D.3答案解析命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故選B.(2)給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正確的命題為________.答案解析①②③對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.題型二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖命題點(diǎn)1已知幾何體，識(shí)別三視圖

答案解析例2

(2016·濟(jì)南模擬)如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如圖所示，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是幾何畫板展示正視圖的輪廓線是矩形DCFG，點(diǎn)E在平面DCFG上的投影為DG的中點(diǎn)，且邊界BE，BG可視，故正視圖為選項(xiàng)B或D中的正視圖，側(cè)視圖的輪廓線為直角梯形ADGE，且邊界BF不可視，故側(cè)視圖為選項(xiàng)D中的側(cè)視圖，故選D.例3

(2016·全國(guó)乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是

，則它的表面積是命題點(diǎn)2已知三視圖，判斷幾何體的形狀

答案解析A.17πB.18πC.20πD.28π由該幾何體的三視圖可知，這個(gè)幾何體是把一個(gè)球挖掉它的

得到的(如圖所示).設(shè)該球的半徑為R，則

×πR3＝

π，得R＝2.所以它的表面積為4π×22－

×4π×22＋3××π×22＝17π.故選A.命題點(diǎn)3已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖例4

(2016·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該棱錐的側(cè)視圖可能為

答案解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.幾何畫板展示思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示.(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.

跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·全國(guó)丙卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為答案解析

(2)如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，則該幾何體的側(cè)視圖為答案解析由直觀圖、正視圖和俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應(yīng)為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確.幾何畫板展示

例5

(1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為題型三空間幾何體的直觀圖答案解析如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝

OC＝

a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝

O′C′＝

a.所以S△A′B′C′＝

A′B′·C′D′＝

×a×a＝

a2.故選D.(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是

A.正方形

B.矩形C.菱形

D.一般的平行四邊形答案解析思維升華用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則△ABC的面積為________.答案解析建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy″，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y″軸上，邊A′B′在x軸上，把y″軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A，B點(diǎn)即為A′，B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變.已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，典例將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為

空間幾何的三視圖現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列10確定幾何體的三視圖要正確把握投影方向，可結(jié)合正方體確定點(diǎn)線的投影位置，要學(xué)會(huì)區(qū)分三視圖中的實(shí)虛線.錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得幾何畫板展示解析結(jié)合正方體中各頂點(diǎn)投影，側(cè)視圖應(yīng)為一個(gè)正方形，中間兩條對(duì)角線.答案

C返回解析側(cè)視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)畫為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線.由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應(yīng)選B.答案B返回課時(shí)作業(yè)1.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是答案解析A.a，b

B.a，c

C.c，b

D.b，d√圖2圖11234567891011當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，正視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，故選A.123456789101112345678910112.(2016·全國(guó)甲卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為答案解析A.20πB.24πC.28πD.32π√由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4π，圓錐的母線長(zhǎng)l＝

＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝

×4π×4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π×4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C.12345678910113.(2016·大連一模)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐P－A1B1A的側(cè)視圖是答案解析√1234567891011在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，從左側(cè)看三棱錐P－A1B1A，B1、A1、A的投影分別是C1、D1、D；AB1的投影為C1D，且為實(shí)線，PA1的投影為PD1，且為虛線.故選D.12345678910114.(2015·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為√答案解析1234567891011根據(jù)三視圖，可知該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長(zhǎng)棱為VD.連接BD，易知BD＝

，在Rt△VBD中，VD＝

.12345678910115.(2017·黃山質(zhì)檢)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖為答案解析√根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為1234567891011所以側(cè)視圖為故選C。6.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是____.

(填序號(hào)）答案解析①1234567891