1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(每小題3分,滿分21分.把答案填在題中橫線上.)(1)＿＿＿＿＿＿.(2)＿＿＿＿＿＿.(3)曲線在點處的切線方程是＿＿＿＿＿＿.(4)設(shè),則＿＿＿＿＿＿.(5)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,則＿＿＿＿＿＿.(6)設(shè)在處連續(xù),則常數(shù)與應(yīng)滿足的關(guān)系是＿＿＿＿＿.(7)設(shè),則＿＿＿＿＿＿.二、計算題(每小題4分,滿分20分.)(1)已知,求.(2)求.(3)求.(4)已知求及.(5)已知及,求.三、選擇題(每小題3分,滿分18分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)時,曲線()(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,也有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,也無鉛直漸近線(2)若,則方程()(A)無實根(B)有唯一實根(C)有三個不同實根(D)有五個不同實根(3)曲線與軸所圍成的圖形,繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為()(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)兩函數(shù)及都在處取得極大值,則函數(shù)在處()(A)必取極大值(B)必取極小值(C)不可能取極值(D)是否取極值不能確定(5)微分方程的一個特解應(yīng)具有形式(式中為常數(shù))()(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)在的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,則在處可導(dǎo)的一個充分條件是()(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在四、(本題滿分6分)求微分方程滿足的解.五、(本題滿分7分)設(shè),其中為連續(xù)函數(shù),求.六、(本題滿分7分)證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個不同實根.七、(本大題滿分11分)對函數(shù),填寫下表：單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)增加區(qū)間極值點極值凹()區(qū)間凸()區(qū)間拐點漸近線八、(本題滿分10分)設(shè)拋物線過原點,當(dāng)時,,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為,試確定使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(每小題3分,滿分21分.)(1)【答案】【解析】這是個型未定式,可將其等價變換成型,從而利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解.方法一：.方法二：【相關(guān)知識點】是兩個重要極限中的一個,.(2)【答案】【解析】利用分部積分法和牛頓-萊布尼茨公式來求解,.(3)【答案】【解析】要求平面曲線的切線,首先應(yīng)求出該切線的斜率,即.這是一個積分上限函數(shù),滿足積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則,即.由在其定義域內(nèi)的連續(xù)性,可知.所以,所求切線方程為,即.(4)【答案】【解析】方法一：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念求解,即.方法二：利用其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知,,所以.(5)【答案】【解析】由定積分的性質(zhì)可知,和變量沒有關(guān)系,且是連續(xù)函數(shù),故為一常數(shù),為簡化計算和防止混淆,令,則有恒等式,兩邊0到1積分得,即,解之得,因此.(6)【答案】【解析】如果函數(shù)在處連續(xù),則函數(shù)在該點處的左右極限與該點處函數(shù)值必然相等,由函數(shù)連續(xù)性可知.而,如果在處連續(xù),必有,即.(7)【答案】【解析】這是個隱函數(shù),按照隱函數(shù)求導(dǎo)法,兩邊微分得,所以,().二、計算題(每小題4分,滿分20分.)(1)【解析】令,,則,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,,即.【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：的導(dǎo)數(shù).(2)【解析】利用不定積分的換元積分法,.(3)【解析】可將函數(shù)轉(zhuǎn)化稱為熟悉的形式來求其極限,,令,則當(dāng)時,,則,這是個比較熟悉的極限,即.所以,而,所以.(4)【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程,,.【相關(guān)知識點】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果,則.(5)【解析】利用定積分的分部積分法求解定積分,,令,則,所以.把及代入上式,得.三、選擇題(每小題3分,滿分18分.)(1)【答案】(A)【解析】函數(shù)只有間斷點.,其中是有界函數(shù).當(dāng)時,為無窮小,無窮小量和一個有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小,所以,故函數(shù)沒有鉛直漸近線.,所以為函數(shù)的水平漸近線,所以答案為(A).【相關(guān)知識點】鉛直漸近線：如函數(shù)在其間斷點處有,則是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng),則為函數(shù)的水平漸近線.(2)【答案】(B)【解析】判定方程實根的個數(shù),其實就是判定函數(shù)與有幾個交點,即對函數(shù)圖形的描繪的簡單應(yīng)用,令,則.令,則,其判別式,所以無實根,即.所以在是嚴(yán)格的單調(diào)遞增函數(shù).又所以利用連續(xù)函數(shù)的介值定理可知,在內(nèi)至少存在一點使得,又因為是嚴(yán)格的單調(diào)函數(shù),故是唯一的.故有唯一實根,應(yīng)選(B).(3)【答案】(C)【解析】如圖的圖像,則當(dāng)繞軸旋轉(zhuǎn)一周,在處取微增,則微柱體的體積,所以體積有.因此選(C).(4)【答案】(D)【解析】題中給出的條件中,除了一處極值點外均未指明函數(shù)其它性質(zhì),為了判定的方便,可以舉出反例而排除.若取,兩者都在處取得極大值0,而在處取得極小值,所以(A)、(C)都不正確.若取,兩者都在處取得極大值1,而在處取得極大值1,所以(B)也不正確,從而選(D).(5)【答案】(B)【解析】微分方程所對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為,它的兩個根是.而形如必有特解；必有特解.由疊加得原方程必有特解,應(yīng)選(B).(6)【答案】(D)【解析】利用導(dǎo)數(shù)的概念判定在處可導(dǎo)的充分條件.(A)等價于存在,所以只能保證函數(shù)在右導(dǎo)數(shù)存在；(B)、(C)顯然是在處可導(dǎo)的必要條件,而非充分條件,如在處不連續(xù),因而不可導(dǎo),但是,均存在；(D)是充分的：存在存在,應(yīng)選(D).四、(本題滿分6分)【解析】所給方程為一階線性非齊次微分方程,先寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,通解為.代入初始條件,得,所求解為.【相關(guān)知識點】一階線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為,其通解公式為,其中為常數(shù).五、(本題滿分7分)【解析】先將原式進(jìn)行等價變換,再求導(dǎo),試著發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,,所給方程是含有未知函數(shù)及其積分的方程,兩邊求導(dǎo),得,再求導(dǎo),得,即,這是個簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,對應(yīng)的齊次方程的特征方程為,此特征方程的根為,而右邊的可看作,為特征根,因此非齊次方程有特解.代入方程并比較系數(shù),得,故,所以.又因為,所以,即.六、(本題滿分7分)【解析】方法一：判定方程等價于判定函數(shù)與的交點個數(shù).令,其中是定積分,為常數(shù),且被積函數(shù)在非負(fù),故,為簡化計算,令,即,則其導(dǎo)數(shù),令解得唯一駐點,即,所以,是最大點,最大值為.又因為,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在與各有且僅有一個零點(不相同),故方程在有且僅有兩個不同實根.方法二：,因為當(dāng)時,,所以.其它同方法一.七、(本大題滿分11分)【解析】函數(shù)的定義域為,將函數(shù)化簡為則.令,得,即故為極小值點.令,得,即在處左右變號,所以為函數(shù)的拐點.又故是函數(shù)的鉛直漸近線；故是函數(shù)的水平漸近線.填寫