《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第9章抽樣與抽樣估計(jì)第一頁，共57頁。第1節(jié)抽樣與抽樣分布

一、有關(guān)抽樣的基本概念

總體(Population)

研究對(duì)象的全體稱為總體樣本（子樣）(Sample)

從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，這種從總體中抽取個(gè)體的行為稱為抽樣。而從總體中抽樣所得的一部分個(gè)體叫樣本總體參數(shù)（Populationparameter）

描述總體分布特征的數(shù)值樣本統(tǒng)計(jì)量（Samplestatistic）第二頁，共57頁。抽樣方法

重置抽樣（重復(fù)抽樣）(Samplingwithreplacement)

要從總體N個(gè)單位中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體中抽取一個(gè)單位，把順序號(hào)登記下來之后，重新放回參加下一次抽選，連續(xù)反復(fù)抽取n次組成所要求容量的樣本。不重置抽樣（不重復(fù)抽樣）(Samplingwithoutreplacement)

要從總體N個(gè)單位中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體中抽取一個(gè)單位，被抽中的單位不再放回參加下一次抽選，連續(xù)進(jìn)行次便組成樣本。不重復(fù)抽樣所得樣本對(duì)總體的代表性較大，抽樣誤差較小，所以實(shí)踐中通常采用不重復(fù)抽樣。

第三頁，共57頁。抽樣的組織方式簡單隨機(jī)抽樣：從總體中抽取樣本最常用的方法。從容量為N的總體中進(jìn)行抽樣，如果容量為n的每個(gè)可能樣本被抽到的可能性相等，則稱容量為n的樣本為簡單隨機(jī)樣本。分層抽樣：也稱分類抽樣或類型抽樣，它是按某個(gè)主要標(biāo)志對(duì)總體各單位進(jìn)行分類，然后從各層中按隨機(jī)原則分別抽取一定數(shù)目的單位構(gòu)成樣本。整群抽樣：也稱叢聚抽樣或集團(tuán)抽樣。它是將總體分為若干部分(每一部分稱為一個(gè)群)，然后按隨機(jī)原則從中一群一群地抽選，對(duì)抽中群內(nèi)的所有單位進(jìn)行全面調(diào)查。系統(tǒng)抽樣也稱機(jī)械抽樣。它是先將總體單位按一定順序排隊(duì)，計(jì)算出抽樣間隔（或抽樣距離），然后按固定的順序和間隔抽取樣本單位。第四頁，共57頁?？傮w分布

(populationdistribution)第五頁，共57頁。樣本分布

(sampledistribution)一個(gè)樣本中各觀察值的分布也稱經(jīng)驗(yàn)分布當(dāng)樣本容量n逐漸增大時(shí)，樣本分布逐漸接近總體的分布樣本第六頁，共57頁。第七頁，共57頁。二、抽樣分布

(Samplingdistribution)

1、抽樣分布的意義

對(duì)統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率的描述，就是統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，即抽樣分布。抽樣分布反映樣本統(tǒng)計(jì)量的分布特征，根據(jù)抽樣分布的規(guī)律，可揭示樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的關(guān)系，計(jì)算抽樣誤差，并說明抽樣推斷的可靠程度。

第八頁，共57頁。抽樣誤差：誤差登記性誤差代表性誤差系統(tǒng)性誤差隨機(jī)性誤差登記性誤差是指在調(diào)查和匯總過程中由于觀察、測量、登記、計(jì)算等方法的差錯(cuò)或被調(diào)查者提供虛假資料而造成的誤差。任何一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查都可能產(chǎn)生登記性誤差。代表性誤差是指用樣本指標(biāo)推斷總體指標(biāo)時(shí)，由于樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)不一致、樣本不能完全代表總體而產(chǎn)生的誤差。系統(tǒng)性誤差是指由于非隨機(jī)因素引起的樣本代表性不足而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為樣本估計(jì)量的值系統(tǒng)偏低或偏高。。隨機(jī)性誤差又稱偶然性誤差，是指遵循隨機(jī)原則抽樣，由于隨機(jī)因素（偶然性因素）引起的誤差。抽樣估計(jì)中的所謂抽樣誤差，就是指的這種隨機(jī)誤差。第九頁，共57頁。抽樣誤差登記性誤差：存在于一切調(diào)查中代表性誤差：僅產(chǎn)生于抽樣調(diào)查，不可避免。代表性誤差抽樣誤差在實(shí)際一次調(diào)查中是調(diào)查不出來的，但其平均值是可以推算的系統(tǒng)性誤差：不隨樣本量增減而變化隨機(jī)誤差（抽樣誤差）：隨樣本量增大而減小第十頁，共57頁。抽樣平均誤差和抽樣極限誤差抽樣平均誤差：所有可能的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)間的平均差異程度。第十一頁，共57頁。抽樣極限誤差樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間允許的誤差范圍叫抽樣極限誤差。也稱抽樣允許誤差。它是樣本指標(biāo)可允許變動(dòng)的上限或下限與總體指標(biāo)之差的絕對(duì)值。即：第十二頁，共57頁。落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本X95.45%的樣本99.73%的樣本x-368.27%的樣本x-2x-X+3X+2X+x第十三頁，共57頁。大數(shù)定律及中心極限定理重復(fù)抽樣：（1）總體是正態(tài)分布，樣本必然是正態(tài)分布（2）樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)（3）樣本平均數(shù)的方差等于總體方差除以樣本

容量n（4）n越大，樣本平均數(shù)越趨近于正態(tài)分布第十四頁，共57頁。例：樣本均值的抽樣分布

【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素(個(gè)體)

，即總體單位數(shù)N=4。4

個(gè)個(gè)體分別為X1=1、X2=2、X3=3

、X4=4

?？傮w的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差第十五頁，共57頁?，F(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有4*4=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果為

3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）第十六頁，共57頁。計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布

3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值X樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5第十七頁，共57頁。樣本均值的分布與總體分布的比較=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X第十八頁，共57頁。大數(shù)定律及中心極限定理不重復(fù)抽樣：（1）總體是正態(tài)分布，樣本必然是正態(tài)分布（2）樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)（3）樣本平均數(shù)的方差等于總體方差除以樣本

容量n（4）n越大，樣本平均數(shù)越趨近于正態(tài)分布第十九頁，共57頁。抽樣平均誤差（1）均值重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第二十頁，共57頁。抽樣平均誤差（1）比例重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第二十一頁，共57頁。影響抽樣誤差大小的因素是：總體被研究標(biāo)志的變異程度。在其他條件不變的情況下，總體標(biāo)志的變異程度愈小，則抽樣誤差也愈??；總體標(biāo)志的變異程度愈大，則抽樣誤差也愈大。抽樣單位數(shù)的多少。在其他條件不變的情況下，抽樣單位數(shù)愈多，抽樣誤差愈小；抽樣單位數(shù)愈少，抽樣誤差愈大。抽樣的方法。在其他條件不變的情況下，重復(fù)抽樣的抽樣誤差大于不重復(fù)抽樣。抽樣的組織形式。抽樣誤差的大小與樣本單位數(shù)的平方根成反比：如果抽樣誤差要減少二分之一，則樣本單位數(shù)必須增大到4倍。第二十二頁，共57頁。例、從某校1000名學(xué)生中簡單隨機(jī)抽取50名學(xué)生，稱得平均體重為50千克，若已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為10千克，計(jì)算重復(fù)抽樣及不重復(fù)抽樣下抽樣平均誤差。解：重復(fù)抽樣條件下，不重復(fù)抽樣條件下，

在樣本量相同的情況下，不重復(fù)抽樣的平均誤差要小于重復(fù)抽樣的平均誤差。第二十三頁，共57頁。第3節(jié)總體平均數(shù)和總體比例的估計(jì)抽樣估計(jì)必須包括三要素：1）估計(jì)值2）估計(jì)值的誤差范圍3）概率保證程度（置信度）第二十四頁，共57頁。一、點(diǎn)估計(jì)(Pointestimate)點(diǎn)估計(jì)也稱定值估計(jì)，常用點(diǎn)估計(jì)方法有矩估計(jì)，極大似然估計(jì)。樣本均值是總體均值的點(diǎn)估計(jì)量，樣本方差s2是總體方差σ2的點(diǎn)估計(jì)量，樣本比例p是總體比例P的點(diǎn)估計(jì)量。優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)：無偏性有效性一致性第二十五頁，共57頁。區(qū)間估計(jì)就是根據(jù)樣本求出總體未知參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，并使其可靠程度達(dá)到預(yù)定要求。（1）

總體方差σ2已知時(shí)由于，所以對(duì)于給定的置信度1-α，有即可見，極限誤差的計(jì)算公式為則總體均值的置信區(qū)間為第二十六頁，共57頁。例：從某大學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名調(diào)查體重情況。經(jīng)稱量和計(jì)算，得到平均體重為58千克。根據(jù)過去的資料知道大學(xué)生體重的標(biāo)準(zhǔn)差是10千克。在95%的置信水平下，求該大學(xué)學(xué)生平均體重的置信區(qū)間。

解：已知=58，σ=10，zα/2=1.96，n=100=10/10=1（千克）

=1.96×1=1.96（千克）置信下限為58-1.96=57.04，置信上限為58+1.96=59.96故所求置信區(qū)間為（57.04，59.96）千克。第二十七頁，共57頁。

（2）

總體方差σ2未知時(shí)

由于～t(n-1)，對(duì)于給定的置信度1-α，有置信下限置信上限在大樣本下，總體均值的置信區(qū)間為第二十八頁，共57頁。例：某保險(xiǎn)公司投保人年齡設(shè)某保險(xiǎn)公司投保人年齡呈正態(tài)分布，現(xiàn)從中抽取10人，其年齡分別為：32，50，40，24，33，44，45，48，44，47歲。試以95%的置信水平估計(jì)該保險(xiǎn)公司投保人的平均年齡。

解：當(dāng)置信度為95%時(shí)，=2.26222.6544=6.00(歲）因?yàn)?0.7-6.00=34.740.7+6.00=46.7所以該保險(xiǎn)公司投保人的平均年齡的置信區(qū)間為（34.7，46.7）歲。

第二十九頁，共57頁?？傮w比例的區(qū)間估計(jì)在大樣本條件下，若np>5，n(1-p)>5，則樣本比例趨近于正態(tài)分布。對(duì)于給定置信度，有總體比例的置信區(qū)間為小樣本條件下，不作介紹。第三十頁，共57頁。例：總體比例的區(qū)間估計(jì)

【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

第三十一頁，共57頁。例：某廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，隨機(jī)重復(fù)抽取樣品100只，樣本合格品率為95％，試計(jì)算把握程度為90％的合格品率置信區(qū)間。

解：已知n=100，p=95%，1-α=90%，查表得zα/2=1.96

=0.0218

Δp=zα/2=1.96×0.0218=0.0359或3.59%

95%-3.59%=91.41%，95%+3.59%=98.59%

故該批產(chǎn)品合格率的置信區(qū)間為（91.41%,98.59%)第三十二頁，共57頁。第5節(jié)樣本容量的確定

在重復(fù)抽樣下，

所以，必要抽樣單位數(shù)在不重復(fù)抽樣下，必要抽樣單位數(shù)

第三十三頁，共57頁。例：某市進(jìn)行職工家庭生活費(fèi)抽樣調(diào)查，已知職工家庭平均每人每月生活費(fèi)收入的標(biāo)準(zhǔn)差為110元，允許誤差范圍10元，概率把握程度95%，試確定應(yīng)抽選的戶數(shù)。

解：第三十四頁，共57頁。【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？

解：第三十五頁，共57頁。影響必要抽樣數(shù)目的因素（1）允許誤差范圍Δ。當(dāng)其它條件不變時(shí)，允許誤差愈小，必要的抽樣單位數(shù)就需要愈多；反之，允許誤差愈大，抽樣單位數(shù)就可以愈少。（2）總體方差σ2。其他條件不變的情況下，總體方差σ2愈大，總體單位的差異程度愈大，則樣本單位數(shù)應(yīng)愈多；反之，樣本單位數(shù)可愈少。（3）抽樣估計(jì)的可靠程度1-α。當(dāng)其他條件不變時(shí)，抽樣估計(jì)的可靠程度愈高，zα/2數(shù)值愈大，抽樣數(shù)目就必須愈多；反之，抽樣估計(jì)的可靠程度愈低，抽樣數(shù)目就可以愈少。（4）抽樣方法。相同條件下，由于采用重復(fù)抽樣比不重復(fù)抽樣的誤差大，所以，前者應(yīng)比后者多抽一些樣本單位。除上述因素之外，抽樣組織方式也是影響抽樣單位數(shù)的一個(gè)原因。第三十六頁，共57頁。本章小結(jié)總體分布、樣本分布、抽樣分布單總體參數(shù)推斷時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布參數(shù)估計(jì)的一般問題一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定第三十七頁，共57頁。期末考試大綱第九章抽樣與抽樣估計(jì)抽樣調(diào)查中的基本概念；總體均值與成數(shù)的簡單估計(jì)；必要樣本量的計(jì)算不作考試要求。第三十八頁，共57頁。知識(shí)重點(diǎn)：抽樣方法重置抽樣不重置抽樣注意：不重復(fù)抽樣所得樣本對(duì)總體的代表性較大，抽樣誤差較小，所以實(shí)踐中通常采用不重復(fù)抽樣。第三十九頁，共57頁。抽樣的組織方式簡單隨機(jī)抽樣：分層抽樣：整群抽樣：系統(tǒng)抽樣也稱機(jī)械抽樣。第四十頁，共57頁。誤差：誤差登記性誤差代表性誤差系統(tǒng)性誤差隨機(jī)性誤差第四十一頁，共57頁。抽樣平均誤差（1）均值重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第四十二頁，共57頁。抽樣平均誤差（2）比例重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第四十三頁，共57頁。影響抽樣誤差大小的因素是：總體被研究標(biāo)志的變異程度。抽樣單位數(shù)的多少。抽樣的方法。

抽樣的組織形式。第四十四頁，共57頁。（1）

總體方差σ2已知時(shí)總體均值的置信區(qū)間為區(qū)間估計(jì)其中極限誤差為第四十五頁，共57頁。

（2）

總體方差σ2未知時(shí)

總體均值的置信區(qū)間為其中極限誤差為第四十六頁，共57頁?？傮w比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的置信區(qū)間為第四十七頁，共57頁。第5節(jié)樣本容量的確定

在重復(fù)抽樣下，

所以，必要抽樣單位數(shù)在不重復(fù)抽樣下，必要抽樣單位數(shù)

第四十八頁，共57頁。影響必要抽樣數(shù)目的因素（1）允許誤差范圍Δ。當(dāng)其它條件不變時(shí)，允許誤差愈小，必要的抽樣單位數(shù)就需要愈多；反之，允許誤差愈大，抽樣單位數(shù)就可以愈少。（2）總體方差σ2。其他條件不變的情況下，總體方差σ2愈大，總體單位的差異程度愈大，則樣本單位數(shù)應(yīng)愈多；反之，樣本單位數(shù)可愈少。（3）抽樣估計(jì)的可靠程度1-α。當(dāng)其他條件不變時(shí)，抽樣估計(jì)的可靠程度愈高，zα/2數(shù)值愈大，抽樣數(shù)目就必須愈多；反之，抽樣估計(jì)的可靠程度愈低，抽樣數(shù)目就可以愈少。（4）抽樣方法。相同條件下，由于采用重復(fù)抽樣比不重復(fù)抽樣的誤差大，所以，前者應(yīng)比后者多抽一些樣本單位。除上述因素之外，抽樣組織方式也是影響抽樣單位數(shù)的一個(gè)原因。第四十九頁，共57頁。練習(xí)：某電子元件廠生產(chǎn)A型號(hào)的電子管，現(xiàn)從10000件產(chǎn)品中，抽取100件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果是60件合格。計(jì)算合格品率的抽樣平均誤差。第五十頁，共57頁。練習(xí)：對(duì)一批電子元件進(jìn)行耐用性能的檢查，隨機(jī)重置抽樣方法選取100件作耐用測試，所得結(jié)果的分組資料如下：耐用時(shí)數(shù)（