微專題16立體幾何經(jīng)典題型精練【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐，底面ABCD是平行四邊形，，且平面SCD平面ABCD，點(diǎn)E在棱SC上，直線平面BDE.(1)求證：E為棱SC的中點(diǎn)；(2)設(shè)二面角的大小為，且.求直線BE與平面ABCD所成的角的正切值.例2．（2023·浙江·三模）如圖，四面體的棱平面，．(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成銳二面角的正切值為，線段與平面相交，求平面與平面所成銳二面角的正切值．例3．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖（1），在正方形中，、、分別為、、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上，且，將、、分別沿、、折起，使、、三點(diǎn)重合（記為），得四面體（如圖（2）），在圖（2）中.(1)求證：平面；(2)在上，求一點(diǎn)，使二面角的大小為.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知梯形，現(xiàn)將梯形沿對角線向上折疊，連接，問：(1)若折疊前不垂直于，則在折疊過程中是否能使？請給出證明；(2)若梯形為等腰梯形，，折疊前，當(dāng)折疊至面垂直于面時(shí)，二面角的余弦值．例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，幾何體中，均為正三角形，四邊形為正方形，平面，，M，N分別為線段與線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【過關(guān)測試】1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖四棱錐在以為直徑的圓上，平面為的中點(diǎn)，(1)若，證明：⊥；(2)當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，求點(diǎn)到平面距離的最大值.2．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的大小.3．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）如圖,在四棱錐中,平面,平面,底面為矩形,點(diǎn)在棱上,且與位于平面的兩側(cè).(1)證明:平面;(2)若,,,試問在線段上是否存在點(diǎn),使得與的面積相等？若存在,求到的距離;若不存在,說明理由.4．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）異面直線、上分別有兩點(diǎn)A、B.則將線段AB的最小值稱為直線與直線之間的距離.如圖，已知三棱錐中，平面PBC，，點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，.點(diǎn)E、F分別位于線段AB、PC上（不含端點(diǎn)），連接線段EF.(1)設(shè)點(diǎn)M為線段EF中點(diǎn)，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：.(2)若，用含k的式子表示線段EF所在直線與線段BD所在直線之間的距離.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且.將沿著DE折起，形成四棱錐，其中點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖2.(1)在圖2中，在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使得∥平面PDE？若存在，請求出的值，并說明理由；若不存在，請說明理由；(2)在圖2中，平面PBE與平面PCD所成的銳二面角的大小為，求四棱錐的體積.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.7．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在多面體ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四邊形ACDE為直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足．(1)證明：GF平面ABC；(2)當(dāng)多面體ABCDE的體積最大時(shí)，求二面角A-BE-D的正弦值．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，，平面，、分別是棱、的中點(diǎn).(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正切值為，求多面體的體積.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，.(1)求證：平面ABCD；(2)設(shè)，當(dāng)平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為時(shí)，求的值.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E.(1)求證：；(2)若，從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線AB與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.11．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)，別是邊BC，CD的中點(diǎn)，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．(1)在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四棱錐P—MNDB體積最大時(shí)，在線段PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．13．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)設(shè)D為OH的中點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時(shí)，求MN的長.14．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求CE的長；(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．15．（2023秋·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，圓錐的高，底面圓O的半徑為R，延長直徑AB到點(diǎn)C，使得，分別過點(diǎn)A，C作底面圓O的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是切線CE與圓O的切點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)A到平面的距離．16．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)期中）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，O為BD中點(diǎn)．(1)求二面角的正弦值；(2)E為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），且平面，求OE與平面所成角的正弦值的最大值．17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.18．（2023秋·天津北辰·高三校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段AH的長．19．（2023秋·海南·高三海南華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱平面ABCD，點(diǎn)M在棱DP上，且，點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.(1)若N是棱PC中點(diǎn)，完成：（i）畫出的重心G（在圖中作出虛線），并指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系：（ii）求證：平面AMN；(2)若四邊形ABCD是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線PA與平面AMN所成角的正弦值取最大值.20．（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在直角梯形中，，，平面，，．(1)求證：；(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．21．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面.(1)求證:;(2)若，直線與平面所成的角為，求二面角