4補李研究生課程考核試卷科目:結構動力學教師：劉綱姓名：趙鵬飛學號：20131613163專業(yè)：建筑與土木工程類別：專業(yè)上課時間：2013年11月至2013年12月 考生成績：卷面成績平時成績課程綜合成績閱卷評語： 閱卷教師（簽名） 重慶大學研究生院制1題目及要求1、按規(guī)定設計一個2跨3層鋼筋混凝土平面框架結構（部分要求如附件名單所示；未作規(guī)定部分自定）。根據(jù)所設計的結構參數(shù)，求該結構的一致質量矩陣、一致剛度矩陣；2、至少采用兩種方法求該框架結構的頻率和振型；3、輸入地震波（地震波要求如附件名單所示），采用時程分析法，利用有限元軟件或自編程序求出該框架結構各層的線性位移時程反應。要求給出：（1）框架結構圖，并給出一致質量矩陣和一致剛度矩陣；（2）出兩種方法名稱及對應的頻率和振型；（3）輸入地震波的波形圖，計算所得各樓層位移反應時程圖?？蚣茉O計2.1初選截面尺寸設計框架為3層2跨，跨度均為5.0m,層高均為4.5m。梁、柱混凝土均采用C30，f二14.3N/mm2,E二3.0x104N/mm2,容重為cc25kN/m3。估計梁、柱截面尺寸如下：（1） 梁：梁高h一般取跨度的1/12-1/8，即417mm-625mm,故取梁高bh=600mm；b梁寬一般為梁高的1/2-1/3,即200mm-300mm,取梁寬b二300mm;b所以梁的截面尺寸為：600mmX300mm（2） 柱：框架柱的截面尺寸根據(jù)柱的軸壓比限值,按下列公式計算：①柱組合的軸壓力設計值N=0Fg.nE其中：0：考慮地震作用組合后柱軸壓力增大系數(shù)；F：按簡支狀態(tài)計算柱的負荷面積；g：折算在單位建筑面積上的重力荷載代表值,可近似取E為12-14KN/m；

n：驗算截面以上的樓層層數(shù)。Nuf其中：Nc其中：u：框架柱軸壓比限值；按二級抗震等級，查抗震規(guī)范地Nf：混凝土軸心抗壓強度設計值，混凝土采用f：混凝土軸心抗壓強度設計值，混凝土采用cC30，'二14.3N/mm2。c經(jīng)計算取柱截面尺寸為：600mmX600mm該榀框架立面圖如圖2.1所示。*5000y5000**JooLD寸圖2.1框架立面圖框架幾何剛度特征（1）梁：截面慣性矩：錯誤！未找到引用源。剛度：錯誤！未找到引用源。；假設板寬5m,厚100mm;分布質量：錯誤！未找到引用源。。2）柱：截面慣性矩：錯誤！未找到引用源。剛度：錯誤！未找到引用源。；分布質量：錯誤！未找到引用源。。動力自由度框架單元編號及動力自由度編號見圖2.2所示：0框架單元編號及動力自由度編號見圖2.2所示：0v4v圖2.2框架單元編號及自由度編號框架結構可以理想化為在節(jié)點處相互連接的單元（梁和柱）的集合。設梁、柱的軸向變形均忽略不計，只考慮節(jié)點的轉角和橫向位移則該框架有3個平動自由度和9個轉角自由度，共12個自由度。一致質量矩陣、一致剛度矩陣3.1一致質量矩陣均布質量梁的一致質量矩陣為：-1565422L-13LmL5415613L-22L42022L13L4L2-3L2-13L-22L-3L24L2利用EXCEL表格工具計算質量系數(shù)及一致質量矩陣（計算過程見表

格），可以得到結構的一致質量矩陣如下：（單位：kg）18U17.36352^2S626025.71漁15.62；14326025.71954.54^9564.10710■2804.B81954.6429564.ion0-1517.B6feoi.SB1■^54.6439-564.10710◎-1517.862804.8B1-564.107-954.643564.1071-585.S04001562-.143-564.10.70564.1(?Y10-5B5.S040-1517.06■3^85.■痂-564.107954.642^:564.1071我G-585.804■o'--1517.S655S5.9520-564.107-954.643◎00-585.804003505.953（X-564.107-954.&覺0000-585.0fO4cr-1517.S6■35S5<-?52-564.10V-954,6430.000-585.Bj040-1517.S63585.9523.1.2一致剛度矩陣等截面梁的一致剛度矩陣為

-6—63L3L2EI—66—3L—3L3L—3L2L2L23L—3LL22L2利用EXCEL表格工具計算剛度系數(shù)及一致剛度矩陣（計算過程見表格），可以得到結構的一致剛度矩陣如下：（單位：kN/m）123000-1.23000256000-128OOC256000：96O（M；-960000-1504OQ96000-960^.064000-2SS009600&:-96Q'OO0064000-153400960Q096000-§6000'-144000..00-44640096000960.0.G-96000-144000G：64800-3168009G⑩Q.96000-96?jo；0-14400(364800-44640^■o-96QGG0戲0O'-144000Q■0-129600改960000；0Q0-144000640001.944000.960J0O0000.00-14400G06480064000頻率和振型4.1簡化的質量矩陣和剛度矩陣的計算將結構質量集中到各層，此結構用層剪切模型簡化為框架等效多質點體系，如圖4.1所示。圖4.1框架等效多質點體系4.1.1計算簡化的質量矩陣m1=900X4.5X0.5X3+2X1700X5=23075kgm2=900X4.5X3+2X1700X5=29150kgth3=900X4.5X3-F2X1700X5=29150kg由于結構的質量集中到各層，因此結構的質量矩陣為對角矩陣。質量矩陣為：錯誤！未找到引用源。kg4.1.2計算簡化的剛度矩陣(1)利用“D值法”計算柱的側向剛度各梁、柱構件的線剛度計算如下，其中在求梁截面的慣性矩時考慮現(xiàn)澆板的作用，取I2I(I為不考慮樓板翼緣作用的梁00截面慣性矩)?？蚣芰旱木€剛度為：2EIb2X16.2X104ib= = =64800fc/V?m框架柱的線剛度為：EIC32.4X104ic=寸=———=72000/cAfm二三層柱的D值為：邊柱：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。

中柱：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。底層柱的D值為：邊柱：邊柱：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源則錯誤！未找到引用源。中柱：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。從而得到各層的側向剛度為：=25825-F2X20598=67021kN/mk1=k.2=13241X2+20224=46706/cAf/m2）計算剛度矩陣l-：2i=—kiki、一圖4.2剛度計算剛度矩陣計算如圖4.2所示，因此剛度矩陣為：

—46706kN/m113727J■46706 -46706—46706kN/m113727J[K]=-46706 93412_ 0 -467064.2頻率和振型計算4.2.1行列式方程法結構的運動微分方程為：ImKJ+ick）｝+［km=ip（t）｝ （i）其中,［m］為結構質量矩陣;［k］為結構剛度矩陣;［c］為結構阻尼矩陣；｛v｝、v｝、｛v｝分別為結構加速度、速度和位移;｛p（t）｝為作用荷載。對于無阻尼自由振動，則矩陣方程（1）式可化為：（［KLw2\m （2）實際上：一個結構體系的振動分析就是矩陣代數(shù)求特征值的問題，即求特征值和特征向量；而特征值就是頻率的平方項，特征向量就是振型形式。在MATLAB軟件中，輸入［x，w2］=eig（K，M）;w=sqrt（w2）可得：解得：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。解得振型為：_111_［申］=0.7875-0.5262-1.772_0.3635-1.0379 1.661_4.2.2Rayleigh-Rit法體系的質量和剛度矩陣如上所示，根據(jù)行列式方程方法假定位移基矢量取為：

■111'0.8-0.5-1.8一0.4-1.01.7J由此可得：-0.00631-0.0005X10-0.00631-0.0005X106kN/m1.1320J0.0092]-0.0024X105kg[Kr=[屮F[K][屮]=-0.0035 0.1838.0.0063 -0.0005'0.4639 -0.0024[MJ*=mT[M]pn=-0.0024 0.5951L0.0063 -0.0024 2.0176」g[m}/{z}=o并求此式的特征值問題’得到錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。根據(jù)a莎及匍=麗卷｝求得近似頻率和振型:n n頻率近似值為：錯誤！未找到引用源。振型近似值：-1.0155-0.97571.0172'[鑰=-0.79970.5134-1.8024_-0.36911.01271.6895.將上面振型進行處理可得，■111'[鑰=0.7875-0.5262-1.8024_0.3691-1.03791.6895.將用Rayleigh-Ritz法就得的振型和頻率與行列式法求得的精確的振型和頻率比較可知，由于所取得位移基矢量與體系原本的振型相差不大，故Rayleigh-Ritz法給出了原系統(tǒng)的準確值。4.2.3Stodola法1）三層框架的第一振型分析體系的柔度矩陣為：[0.57740.36330.14921[f]=[K]-1=0.36330.36330.1492X10~4m/kNLo.14920.14920.1492」根據(jù)體系的質量和剛度矩陣計算結構的動力矩陣D:[1.33241.05910.4349'D=[f][M]=0.83831.05910.4349X10~3【0.34430.43490.4349.按式v⑴二Dv（o）進行迭代。假設本題目中的三層框架的第一振型為v（0）二[i,i,iy,則求第一振1型的迭代過程如下：錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。由于相對性狀是最重要的，所以在分析的各階段中都沒有考慮10-3這個系數(shù)。所得最終的形狀如v⑷所示，對比行列式方程法所求結果已經(jīng)精i確到小數(shù)點后三位。根據(jù)o2二孚求第一振型頻率可得，1V（s）ki錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未找到引用源2）三層框架的第二振型分析第一振型淘汰矩陣的形式如下一(?tM)-1(?tM)1s1r這個結構的錯誤！未找到引用源。=[1,0.7995,0.4243]，M是質s量矩陣的第一列：錯誤！未找到引用源。=[14711.25,0,0]。M表示r質量矩陣剩下的各列：錯誤！未找到引用源。那么錯誤！未找到引用源。，故第一振型的淘汰矩陣為錯誤！未找到引用源。第二振型的動力矩陣是錯誤！未找到引用源。以下計算第二振型的方法與就算第一振型方法相同，采用同樣的格式。因為頂層位移v由正交條件控制，顯然這里的試探向量V(0)中122只需要包含VTJvV］。直到V的解收斂時，才需要計算v值。r2232r12錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。- -I/-0.3171X / 1 \0-5250 0.1679 0.1679 -0.52961 0-32531\0.3253/ \-1.0259/由于相對性狀是最重要的，所以在分析的各階段中都沒有考慮10-4這個系數(shù)。所得最終的形狀如V⑹所示，對比行列式方程法所求結果已經(jīng)精2確到小數(shù)點后二位，精確度較第一振型差。根據(jù)O2二字求第二振型頻率可得：1V(s)32錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未找到引用源。=55.446rad/s三層框架的最高振型分析根據(jù)體系的質量和剛度矩陣計算結構的動力矩陣的剛度形式是：'2.0241-2.02410'E=[M~1][K]=-1.60233.2045-1.6023X103.0-1.60233.9014.假設本題目中的三層框架的最高振型為V(0)二［-1,1,-1T，則計算最1高振型的迭代過程如下：錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。-0.5685-3.174811-0.5666-3.1710(1\15.602915.6064-1.768-0.9284-5.224311-0.9324-5.2401V1.6525/由于相對性狀是最重要的，所以在分析的各階段中都沒有考慮錯誤！未找到引用源。這個系數(shù)。

所得最終的形狀如v⑷所示，對比行列式方程法所求結果已經(jīng)精3確到小數(shù)點后三位。根據(jù)O2二上工求第三振型頻率可得：3V(s-1)23錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未找到引用源。6框架線性動力時程分析6.1反應分析方法震波的原始記錄時間間隔為0.02s,取時間段長度為0.001s。由于阻尼對結構的影響是很大的，在動力分析中結構阻尼是必須考慮在內的，是不可忽略的問題，阻尼機理非常復雜，它與結構周圍介質的黏性，結構本身的粘性，內摩擦耗能，地基土的能量耗散等有關。通常結構采用Rayleigh阻尼，即：[c]=a[m]+a[k]01式中，a為Alpha阻尼,也稱質量阻尼系數(shù)；a為Bata阻尼,也稱剛度阻尼系數(shù),01這兩個阻尼系數(shù)可通過振型阻尼比計算得到，即：1'0.05、0.05丿120.74174.8820?1'0.05、0.05丿120.74174.880(a)0Ia(a)0Ia1)仃.62'、0.001丿式中，通常假設應用于兩個控制頻率的阻尼比相同，即x=x=x。①取多自由mnm度體系的基頻，3在動力反應中有顯著貢獻的高階陣型中選取。n框架結構布置、梁柱截面尺寸、混凝土等級同第2節(jié)所述，利用SAP2000采用時程分析法，求框架各層的線性位移時程反應。6?2SAP2000分析過程1）設置材料參數(shù)2）設置截面參數(shù)3）對地震波的輸入4）分析工況設置

分析結果（1）節(jié)點圖如下圖所示：其中Joint4、3、2分別代表第三、二、一層節(jié)點4 8 123711610159三層位移時程曲線如圖5.3.1所示：田 IE

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T囹例￥口'HOI643211234----ILL90.80.60.50.4lj.30.20.E

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T囹例￥口'HOI643211234----ILL90.80.60.50.4lj.30.20.5.3.1三層位移時程曲線二層位移時程曲線如圖5.3.2所示：5.3.2二層位移時程曲線一層位移時程曲線如圖5.3.3所示：5.3.3一層位移時程曲線致質量矩陣及一致剛度矩陣計算過程見附表梁單元編號單位梁質量梁長miimijmiimij11700585002023.809524m11m44=m5517005-1517.857143m45=m5421700585002023.809524m11m55=m6617005-1517.857143m56=m6531700585002023.809524m22m77=m8817005-1517.857143m78=m8741700585002023.809524m22m88=m9917005-1517.857143m89=m9851700585002023.809524m33m10,10=m11,1117005-1517.857143m10,11=m11,10￡乙62珂zoi予9卜Z'1叫11'典9予006I：IZ98Z^9?岡6Z8ra=8Zra9予006Z98Z^IZ-0Z99予006^IZ98Z^0919予006^1^9￡08'989-L'0叫01'卩9予00689觴珂ari幼01(QW=LL^9予006IZ98Z^9?同6-S'0叫01'機9予0066陸M01予99蝕二⑼9予00662珂Z01予9卜Z'0叫01'刃9予006IZ98Z^9?岡69予006Z98Z^IZ-0Z99予006^IZ98Z^0919予006^1^9￡08'989-96皿二69皿9予0069觴珂ari幼66in=99in9予006IZ98Z^9?同6-Z6ra=6Zra9予0066陸M01予99Z9ra=9Zra9予006SI62珂Z01予9卜I6ra=6Ira9予006IZ98Z^9?岡6I9in=9lin9予006Z98Z^IZ-0Z91刃初1119予006^IZ98Z^091碇in二I[in9予006^1^9￡08'989-98ra=89ra9予0069觴珂ari幼88ra=99ra9予006IZ98Z^9?同6-Z8ra=8Zra9予0066陸M01予99Zqin二％in9予00601￡62珂Z01予9卜I8ra=8Ira9予006IZ98Z^9?岡6iqm二q[in9予006Z98Z^IZ-0Z91刃初1119予006^IZ98Z^091碇in二I[in9予006^1^9￡08'989-址in二/in9予0069觴珂ari幼最in二沖9予006IZ98Z^9?同6-的二卿9予0066陸M01予99陸in二比in9予006L62珂Z01予9卜1卩二口皿9予006IZ98Z^9?岡6l護11二珂1119予006Z98Z^IZ-0Z92叫l(wèi)刃9予006^IZ98Z^091碇in二I[in9予006暨王*W呂旨11'2叫21'⑴㈣S^IZ987I9I-0098900ZI921'2W=ll'11皿比9608TZ0Z900ZI

0IZ98Z^9?岡6-S6陸M01予94Z01‘的0環(huán)11皿IZ98Z^9?岡6-S'⑴6陸M01予94Z'⑴0「Ilin0環(huán)01皿IZ98Z^9?岡6-S'0W6陸M01予94Z'0W01'01皿062珂Z01予99￡6皿IZ98Z^9?同626皿62珂zoi予的-16皿062珂zoi予9$0御62珂zoi予的-I8ra^IZ9S08'989-62珂zoi予9$IZ98Z^9?岡6-62珂zoi予的-1卩00￡9皿62珂Z01予99IZ98Z^9?同619皿S^IZ987I9I-^gra0餌62珂zoi予9$餌IZ98Z^9?同6iqinZ96088^08Z062珂zoi予9$IZ98Z^9?同6刊6