本文格式為Word版，下載可任意編輯——反函數(shù)在高考中常見題型分析反函數(shù)在高考中常見題型分析

高考對反函數(shù)要求是：理解把握反函數(shù)的概念，明確反函數(shù)意義、常見符號、求反函數(shù)方法、互為反函數(shù)間的關(guān)系等.難度不大，但逢試必考.本文歸納整理近年來高考試題中出現(xiàn)的題型,供復(fù)習(xí)時參考.1、求原函數(shù)的定義域

例1(92高考上海卷)函數(shù)f(x)反函數(shù)是f(x)?1?x?1?x?0?，求f(x)定義域解：原出數(shù)定義域是反函數(shù)值域，f(x)?1?x?1?x?0?的值域是??1,??，故函數(shù)f(x)定義域是??1,??

2、求反函數(shù)定義域

例2、函數(shù)f(x+1)=log(x+2)+x2+2x+3的定義域?1,7?，求反函數(shù)定義域解：f(x+1)的值域?7,68?，f(x+1)與f(x)的值域一致，反函數(shù)定義域是?7,68?

注：從另角度看，f(x)=log(x+1)+x2+2的值域是其反函數(shù)的定義域，但是此時它的定義域是?2,9?，不要誤認(rèn)為是?1,7?,從而出現(xiàn)f(x)的值域不是?7,68?錯誤.

3、求函數(shù)的值

例3、(2023廣西卷)已知函數(shù)y?f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x?0時，f(x)?3x?1，設(shè)f(x)的反函數(shù)是y?g(x)，則g(?8)?.

解：易求當(dāng)x?0時，f(x)?1?3?x。解方程?8?1?3?x和?8?3x?1，前者x=-2,后者無解.則g(?8)?-2.

例4、(2023湖南卷)設(shè)f?1(x)是函數(shù)[1?f?1(a)][1?f?1(b)]?8，則f(a?b)的值為

A．1B．2C．3D．log23解:

f?1(a)即a?log2(x1?1)，f?1(b)即a?log2(x2f(x)?log2(x?1)

的反函數(shù)，若

（）

?1).求得x1?2a?1，x2?2b?1。

ab[1?f?1(a)][1?f?1(b)]?[1?x1][1?x2]?2?2=8，a+b=3,于是f(a?b)=log23.選（D）.

注;涉及f?1(a)的值時,往往從它的意義入手,通過解方程f(x)?a,得x=f?1(a),較為簡便.4、求反函數(shù)

例5（2023甘肅卷）函數(shù)y=e2x(x?R)的反函數(shù)為（）

11(A)y?2lnx(x?0)(B)y?ln(2x)(x?0)(C)y?lnx(x?0)(D)y?ln(2x)(x?0)

221解：y=e2x(x?R)，取常用對數(shù)，得2x=lny,x=lny.其中e2x?0,即y>0.

21因此，反函數(shù)是y?lnx(x?0).選（B）.

2例6、（2023全國卷）y=2?1+1(x>0)的反函數(shù)（）

11x?(1,2),By=-log2x?(1,2)x?1x?111Cy=log2x?(1,2?Dy=log2x??1,2?

x?1x?1Ay=log2

解：解方程y=2?1+1，得x=log2即y=log21,y?11.?x?0,0?2?x?1,1?y?2,?f?1(x)的定義域(1,2).應(yīng)選(A)x?1注：求反函數(shù)解析式要注意其定義域5、探討反函數(shù)圖像

例7、（94全國卷）f(x)?1?1?x2(?1?x?0).則y?f?1(x)的圖像是（）

解：研究反函數(shù)圖像,往往通過觀測原函數(shù)的圖像實現(xiàn).先研究f(x)解析式。y?1?1?x2(?1?x?0).得(y?1)2?x2?1.它是一段圓弧，圓心（0，1），反函數(shù)圖像也是一段圓弧，圓心（1，0）.應(yīng)選(B)

例8、(2023福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y?f?1(x),則函數(shù)

y?f?1(1?x)的圖像是()

解:根據(jù)y?f?1(1?x)性質(zhì)特征解.y?f?1(x)=2x,y?f?1(1?x)=21?x,

y?f?1(1?x)圖像過點(1,1),且其值域為(0,??).可見,答案選(C).

6、求字母參數(shù)

例9(2023上海卷)f(x)?2x?b的反函數(shù)是f(x)?1,f(x)?1的圖像過Q(5,2).求b.

解:f(x)的圖像必過(2,5),代入,得b=1.

例10、（2023XX卷）設(shè)k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A點，它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖像與y軸交于B點，并且這兩個函數(shù)的圖像交于P點.已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于()

346(A)3(B)2(C)3(D)5

解：f(x)=k(x-1)圖像過點A（1，0），則B（0，1），四邊形OAPB的面積可以分成三角形OPA和OPB，且等于三角形OPA面積二倍.求出點P(3,3).從而求出k=.應(yīng)選(B).

注：原函數(shù)圖像上的點(a,b),在反函數(shù)圖像上對應(yīng)點是(b,a).這是一個經(jīng)常用到的重要結(jié)論.

327、求互為反函數(shù)圖像交點例11、（2023全國卷）求f(x)=

2x(x??1)圖像與反函數(shù)圖像交點坐標(biāo).1?xxx2x(x?0),解方程?解:先求反函數(shù)f(x)?1=,得x=0或1.從而交2?x2?x1?x點坐標(biāo)是(0,0)(1,1).

例12、（2023上海卷）在P(1,1)、Q(1,2)、N(,)M(2,3)四個點中，

24函數(shù)y=ax與其反函數(shù)的圖像的公共點只可能是（）A、PB、QC、MD、N

解：把N點坐標(biāo)代入y=ax，a=

反函數(shù)解析式中，也有a=

1；代入其16111，說明N一定在函數(shù)16y=ax與其反函數(shù)的圖像上。另外，畫出兩函數(shù)圖像的示意圖如右圖（1），看出P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)三點都不在圖像上。因此，選（D）

注：指數(shù)函數(shù)與其反函數(shù)圖像的公共點并不都在直線y=x上;位于直線y=x兩側(cè)互為反函數(shù)圖像的公共點（a，b）、（b，a）是成對出現(xiàn)的;互為反函數(shù)圖像各自與直線y=x有惟一交點時，這兩個交點必重合與直線y=x上一點，若各自與直線y=x有兩個交，分別重合與直線y=x上兩點處，如右圖。

8、研究函數(shù)與其反函數(shù)奇偶性

ex?e?x例13、（1992全國卷）y?的反函數(shù)y?f?1(x)（）

2A、是奇函數(shù)，在（0，+?）上是減函數(shù)B、是偶函數(shù)，在（0，+?）上是減函數(shù)C、是奇函數(shù)，在（0，+?）上是增函數(shù)

D、是偶函數(shù)，在（0，+?）上是增函數(shù)

解：偶函數(shù)無反函數(shù)，排除B、D；原函數(shù)在（0，+?）上是增函數(shù)，反函數(shù)y?f?1(x)也增函數(shù).應(yīng)選（C）.

注:互為反函數(shù)的單調(diào)性一致,偶函數(shù)無反函數(shù).9、存在反函數(shù)的條件

例14、（2023北京卷）函數(shù)f(x)?x2?2ax?3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是

A.a?(??,1]B.a?[2,??)C.a?(??,1]?[2,??)D.a?[1,2]解：函數(shù)f(x)?x2?2ax?3分別在區(qū)間（??,a］和?a,???為單調(diào)函數(shù)，其中x、y一一對應(yīng).因此,存在反函數(shù)的充分必要條件是a?(??,1]?[2,??).選(C).

注:y=f(x)是映射f:x?y,反函數(shù)x=f?1(