本文格式為Word版，下載可任意編輯——帶余數(shù)的除法帶余除法

設(shè)a和b是兩個(gè)整數(shù)，b?0，則存在惟一的一對整數(shù)q和r，滿足：

a?qb?r，（Ⅰ）

這里r稱為a除以b所得的余數(shù)，并且

0?r?b（Ⅱ）

當(dāng)r?0時(shí)，N和a是整除關(guān)系，當(dāng)r?0時(shí)，(I)是帶余數(shù)除法，簡稱為帶余除法，N是被除數(shù)，a是除數(shù)，q稱為不完全商，或簡稱為商.例如：23?4?5?3中，23是被除數(shù)，5是除數(shù)，商是4，余數(shù)是3.

帶余除法給出了4個(gè)整數(shù)a,b,q,r，或者講給出了被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的兩個(gè)關(guān)系：一個(gè)是等式（Ⅰ），另一個(gè)是不等式（Ⅱ）.對于帶余數(shù)除法，只要知道了除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)四個(gè)量中的三個(gè)，就可以求出第四個(gè).

在帶余除法中，當(dāng)特別關(guān)注余數(shù)時(shí)，假使除數(shù)是2，余數(shù)就有2種狀況：余數(shù)是0和余數(shù)是1，整數(shù)就可以分為兩類：奇數(shù)和偶數(shù).假使除數(shù)是一個(gè)整數(shù)m，用m除一個(gè)整數(shù)，余數(shù)是0，1，2，?，m?1中的某個(gè)，整數(shù)就可以依照余數(shù)分為m類，余數(shù)是0的整數(shù)是第0類，余數(shù)是1的整數(shù)是第一類，?，余數(shù)是m－1的整數(shù)是第m－1類，這時(shí)，除數(shù)稱為模數(shù)，余數(shù)一致的類稱為同余類.例如：當(dāng)模數(shù)m＝3時(shí)，可以將整數(shù)分為3k、3k+1和3k+2（k是整數(shù)）3個(gè)同余類.

當(dāng)除數(shù)m固定之后，在同一類中的整數(shù)稱為關(guān)于模數(shù)m的同余數(shù)，或者直接稱為同余數(shù).假使a和b是同余數(shù)，模數(shù)是m，我們用符號

a?b?modm?

表達(dá)它們同余的性質(zhì)，并且將這個(gè)表達(dá)式稱為同余式.例如：當(dāng)m＝3時(shí)，7、13、22等是同余類，3是模數(shù)，可以表達(dá)為：

7?13?22?mod3?.

當(dāng)模數(shù)m不變時(shí)，同余數(shù)可以做加減和乘法運(yùn)算，并且有一些簡單和重要

的性質(zhì)，例如：

①若ma?b，則a?b?modm?，若a?bmodm，則ma?b；②若a1?b1?modm?,③若a1?b1?modm?,a2?b2?modm?，則a1?b1?a2?b2?modm?；a2?b2?modm?，則a1b1?a2b2?modm?.

解方程有個(gè)重要的概念，就是在什么范圍內(nèi)求方程的解，范圍越大，存在解的可能性就越大，但求解也越困難，宛如找人一樣，在一間教室找某個(gè)人很簡單，但在“茫茫大千世界〞中找某個(gè)人就十分困難.

假使我們是在整數(shù)中求方程的解，這類方程稱為整數(shù)方程.假使整數(shù)方程比較簡單，可以用“枚舉法〞求解，一般一點(diǎn)的方法就是利用同余的性質(zhì)，逐步簡化方程，最終求出方程的解.例如：求方程7x?3y?100得整數(shù)解，利用同余式來求解：對整數(shù)方程

7x?3y?100（*）

計(jì)算等號兩端關(guān)于3的余數(shù)，左端由于3y能被3整除，余數(shù)為0，7被3除的余數(shù)是1，所以左端的余數(shù)是1?x?0?x；右端100被3除的余數(shù)是1，所以，我們就有：

x?1?mod3?，

或者x?1?3k，并且將x?1?3k代入整數(shù)方程7x?3y?100，得到

7?1?7?3k?3y?100，解出y?31?7k.

分類和將問題簡單化是數(shù)學(xué)的基本的思想，同余類可以使大量數(shù)學(xué)問題簡化，使解答過程比較簡單，是數(shù)學(xué)競賽中常見到的題目類型.理解同余數(shù)既不繁雜，又很實(shí)用，作為課外知識(shí)，學(xué)一點(diǎn)有益無害.

m個(gè)自然數(shù)除以m恰有m個(gè)不同的余數(shù)，這m個(gè)自然數(shù)稱為模m的完全剩余系。

例1.一個(gè)正方體，每條棱上可以標(biāo)記上1個(gè)1到12的整數(shù)，要求每條棱上的整數(shù)都不同.在每個(gè)頂點(diǎn)處，相鄰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)可以依大到小

A271圖3-4排列出一個(gè)新的整數(shù).例如：圖3-4點(diǎn)頂點(diǎn)A處，排列出的整數(shù)是721.問能否有一種標(biāo)記的方式，使得到的8個(gè)整數(shù)都能被3整除.

分析和解答：可以.將1到12按模數(shù)3分為三個(gè)同余類，分別記為0、1、2.此時(shí)在正方體的12條棱上標(biāo)記4個(gè)0、4個(gè)1和4個(gè)2，如圖3-4a標(biāo)記這些同余數(shù).由于在每個(gè)頂點(diǎn)都相鄰有0、1和2，他們所代表的整數(shù)的數(shù)字和一定能被3整除.所以，按圖4-9，用同余于零的數(shù)替換0、用同余于1的整數(shù)替換1、用同余于2的整數(shù)替換2，這樣所得到的8個(gè)整數(shù)都能被3整除.

例2.求72023的個(gè)位和十位數(shù)字？

分析和解答：求72023的十位和個(gè)位就是計(jì)算被100除的余數(shù)，

221圖3-4a00121072023?73?(74)501?343?[(50?1)2]501?43?1?43(mod100).

例3.小明的媽媽買了若干袋果脯，有葡萄、蘋果、雪梨和芒果4種，每種都至少買了1袋，一共化了34元.已知葡萄、蘋果、雪梨和芒果果脯每袋的單價(jià)分別是1.4元、2.2元、2.8元和4.2元，小明的媽媽至少買了多少袋果脯，其中蘋果果脯有多少袋？

列出算式：

14x?22y?28z?42w?340，①

x,y,z,w分別是小明的媽媽買葡萄、蘋果、雪梨和芒果4種水果的袋數(shù).上式兩

邊除7，

y?4?Mod7?.

小明的媽媽買了4袋蘋果.將y?4代入①式，得到：

14x?28z?42w?252,x?2z?3w?8.

上面第2個(gè)方程，試解的方法可以得到解是：x?1,z?2,w?1,或x?3,z?1,w?1.

所以，小明的媽媽買了4袋蘋果果脯，至少買了8袋果脯.

答：小明的媽媽買了4袋蘋果果脯，至少買了8袋果脯.例4.數(shù).

分析和解答：由于

P?25?Q??2?1???2?2???2?3?????2?17?555555555555設(shè)Q?15?25?35???175，問：17除Q的余

??2?4?6???14?16???18?20???34其中，17除?185?205???345?和17除?15?35???155??17?的余數(shù)一致.

5，

進(jìn)而，17除Q和17除P的余數(shù)一致.所以17整除P?Q??25?1?Q?31Q.既然17和31互質(zhì)，17就整除Q.

例5．21能整除22023?17嗎？

分析和解答：假使3和7能整除22023?17，21就能整除22023?17.由于

22023?41003??3?1?1003，

22023被3除的余數(shù)是1，17被3除的余數(shù)是2，所以，3整除22023?17.因

為

22023?8668?22??7?1?668?4，

22023被7除的余數(shù)是4，17被7除的余數(shù)是3，所以，7整除22023?17.

例6．已知

2023個(gè)2023?????????a?20232023?2023

問：除以13所得的余數(shù)是幾？

分析和解答：直接計(jì)算，13不能整除2023賀20232023，但是13能整除202320232023.

2023個(gè)2023?????????a?20232023?2023?202320232023?102023?4?202320232023?102023?4???202320232023?1000?2023,

13除2023的余數(shù)是5.所以，13除a的余數(shù)是5.

例7．

有一串整數(shù)：1，33，53，?，?2k?1?，?，9993，用8除這些整數(shù)，

3得到一些余數(shù)，問：這些余數(shù)的和是多少？

1分析和解答：由于?2k?1??4k2?4k?1?4k?k?1??1被8除余數(shù)是1，

所以，500個(gè)整數(shù)1，33，53，?，?2k?1?，?，9993被8除的余數(shù)分別是1，3，5，7，1，3，5，7，?，1，3，7.并且整數(shù)串1，33，53，

?，?2k?1?，?，9993被8除的余數(shù)的總和是：

332?1?3?5?7??125?2000.

例8．

n?3?7?11?15?19???2023?2023，求n的末三位數(shù)？

2分析和解答：由帶余除法,n?1000q?r,我們要求r.

由于n?3?7?11?15?19???2023?2023中有約數(shù)15和55，95.所以,125整除n，n的末三位是125,375,625,或875.

又n?3251?7251?3?7?9125?49125?21?5(mod8),?r?125.例9．

在1～2023的整數(shù)中，有多少個(gè)x使2x和5x被7除有一致的余數(shù)？

3分析和解答：當(dāng)x?2n時(shí)，計(jì)算2x與5x被7除的余數(shù)：52n?25n?4n，

22n?4n，推出2x與5x被7除的余數(shù)一致.

當(dāng)x?2n-1時(shí)，計(jì)算2x與5x被7除的余數(shù)：

52n?1?5?52(n?1)?5?25n?1?5?4n?1(mod7),22n?1?4?4n?1,推出2x與5x被7除的余數(shù)不一致.可見，共有1003個(gè)偶數(shù)，2x與x2除以7的余數(shù)一致.共有574個(gè)整數(shù)x使2x與x2被7除余數(shù)一致.

例10．有三堆砝碼，第一堆中每個(gè)砝碼重3克，其次堆中每個(gè)砝碼重5克，第

三堆中每個(gè)砝碼重7克.請你取出盡可能少的砝碼，使它們的總重量為130克.寫出你的取法：需要多少個(gè)砝碼，其中3克、5克和7克的砝碼各多少個(gè)？

分析和解答：設(shè)取出3克砝碼x個(gè)，3克砝碼y個(gè)，3克砝碼z個(gè)，要求：

3x?5y?7z?130，

3x?7z必需是5的倍數(shù)，3x?7z?5k.既然要求x?y?z盡可能的少，

3克的砝碼應(yīng)當(dāng)少取，無仿設(shè)x?0.就有：7z?5k，7和5互質(zhì)，所以，z?5k.那么

5y?7?5k?130,y?7k?26.

計(jì)算y?7k?26兩邊被7除的余數(shù)，y?5?7n，y應(yīng)當(dāng)盡量小，取y?5，此時(shí)，z?15.

最少要取20個(gè)砝碼，其中3克砝碼取0個(gè)，5克砝碼取5個(gè)，7克砝碼取15個(gè).

例11．問是否存在三個(gè)整數(shù)m,n和k，使下面的等式成立：

m2?n2?8k?38.

分析和解答：不存在.理由是：上式除以8的余數(shù)

m2?n2?6(mod8),m,n有一致的奇偶性.m2?n2都是奇數(shù),除以8的余數(shù)是2,不是6;m?n都是偶數(shù),除以8的余數(shù)是0或4,不是6.22

例12．一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔，不超過100個(gè)，如

圖L3-7所示，A和B兩孔相鄰.一個(gè)小機(jī)械蟲，從A孔出發(fā)，沿逆時(shí)針每隔幾個(gè)孔跳動(dòng)，希望跳動(dòng)一圈后回到A孔.假使小機(jī)械蟲每隔2個(gè)孔，跳1步，只能回到B孔；假使自A孔每隔4個(gè)孔，跳1步，也只能回到B孔；假使每隔6個(gè)孔，跳1步，正好回到A孔.問：這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔？（其次屆“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請賽

圖L3-7

BA復(fù)賽第4題）

分析和解答：設(shè)圓圈上孔數(shù)為N，小機(jī)械蟲從A孔出發(fā)，每隔2個(gè)小孔跳1步，即每步跳過了3個(gè)孔，只能回到B孔，即尚差1孔，才能回到A孔，用同余方程表示是：

N?1,?Mod3?;

同樣，小機(jī)械蟲自A孔每隔4個(gè)小孔跳1步，也只能回到B孔，用同余方程表示是：

N?1,?Mod5?;

最終，小機(jī)械蟲每隔6個(gè)孔，跳1步，正好回到A孔，用同余方程表示是：

N?0,?Mod7?;

解上面3個(gè)同余方程，

N?3k?1?5m?1?7l?100，

得到N＝91.

例14。。1）確定所有正整數(shù)n,使得2?1能被7整除。

2）證明對于任意整數(shù)n，2?1不能被７整除。(6屆imo1964)

nn解.1)當(dāng)n?3k時(shí),2?1?8?1?(8?1)(8當(dāng)n?3k?r,r=1或2時(shí),23k?r3kkk?1?8k?2???8?1)是7的倍數(shù).

?7Q?1,r?1

?1?2?8?1?2?(8?1)?2?1?7Q?2?1???7Q?3,r?2.rkrkrrn所以，當(dāng)ｎ是３的倍數(shù)時(shí)，2?1能被7整除。

?7Q?2,r?0;?n3k?r?1?(23k?r?1)?2??7Q?3,r?1;2)2?1?2?7Q?5,r?2.?所以，對于任意整數(shù)ｎ，2?1不能被７整除。

n

15.將1~9填入右圖，使得

1)正三角形各邊上的數(shù)之和相等;

2)正三角形各邊上的數(shù)之平方和除以3的余數(shù)相等.問:有多少種不同的填入方法？

將1,2,3,4,5

（注意,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和軸對稱反射,排列一致的,視為同一種填法）

解答：有48種不同的填入方法。

用ai?i?1,2,?,9?分別代表1，2，3，4，5，6，7，8，

9，填入圖1圓圈中，a1,a2,a3,?,a9,的位置如圖2a所示，則有

a1?a2?a3?a4?a4?a5?a6?a7?a7?a8?a9?a