專題12平行四邊形與中位線一．選擇題1.（2022·四川樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】B【分析】利用平行四邊形ABCD的面積公式即可求解．【詳解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，∴4×6=2××8×BF，∴BF=3，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形ABCD的面積公式求垂線段的長是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波）如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F(xiàn)為中點．若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長．【詳解】解：∵D為斜邊AC的中點，F(xiàn)為CE中點，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．【點睛】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題關(guān)鍵是求出AD的長．3．（2022·四川眉山）在中，，，，點，，分別為邊，，的中點，則的周長為（

）A．9 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出△ABC的周長=2△DEF的周長．【詳解】∵D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線，∴DE=BC=3，EF=AB=2，DF=AC=4，∴△DEF的周長=3+2+4=9．故選：A．【點睛】本題考查了三角形中位線定理．解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出邊之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022·浙江紹興）如圖，在平行四邊形中，，，，是對角線上的動點，且，，分別是邊，邊上的動點．下列四種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形；②存在無數(shù)個矩形；③存在無數(shù)個菱形；④存在無數(shù)個正方形．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．【詳解】如圖，連接AC、與BD交于點O，連接ME，MF，NF，EN，MN，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OE=OF∵點E、F時BD上的點，∴只要M，N過點O，那么四邊形MENF就是平行四邊形∴存在無數(shù)個平行四邊形MENF，故①正確；只要MN=EF，MN過點O，則四邊形MENF是矩形，∵點E、F是BD上的動點，∴存在無數(shù)個矩形MENF，故②正確；只要MN⊥EF，MN過點O，則四邊形MENF是菱形；∵點E、F是BD上的動點，∴存在無數(shù)個菱形MENF，故③正確；只要MN=EF，MN⊥EF，MN過點O，則四邊形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤；故選：C【點睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關(guān)鍵時明確題意，作出合適的輔助線．5．（2022·浙江嘉興）如圖，在中，，點E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，，，則四邊形的周長是（

）A．32 B．24 C．16 D．8【答案】C【分析】根據(jù)，，可得四邊形AEFG是平行四邊形，從而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，從而得到∠B=∠BFE，進而得到BE=EF，再據(jù)四邊形的周長是2（AE+EF），即可求解．【詳解】解∶∵，，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴FG=AE，AG=EF，∵，∴∠BFE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，∴四邊形的周長是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故選：C【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·四川達州）如圖，在中，點D，E分別是，邊的中點，點F在的延長線上．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC且DE=AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進行選擇．【詳解】解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=AC，A、根據(jù)∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．B、根據(jù)DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確．C、根據(jù)AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．D、根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．7．（2022·浙江麗水）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點．若，，則四邊形的周長是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【答案】B【分析】首先根據(jù)D，E，F(xiàn)分別是，，的中點，可判定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)三角形中位線定理，即可求得四邊形的周長．【詳解】解：D，E，F(xiàn)分別是，，的中點，、分別是的中位線，，且，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形的周長為：，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，判定出四邊形是平行四邊形是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南懷化）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n﹣2）?180°=900°，解得n=7，∴這個多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．9．（2022·四川南充）如圖，在正五邊形中，以為邊向內(nèi)作正，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項判斷．【詳解】解：∵多邊形是正五邊形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，，∴，故D選項正確；∵是正三角形，∴，，∴，，∴，故B選項正確；∵，，∴，故A選項正確；∵，，∴，故C選項錯誤，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖南湘潭）在中（如圖），連接，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行和兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，再通過等量代換即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD∴∠DCA＝∠CAB，∵∠DCA+∠ACB，，∴40o+80o=120o，故選：C．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練運用．11．（2022·河北）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可；【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯誤；一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯誤；三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯誤；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；故選：D．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖南岳陽）下列命題是真命題的是（

）A．對頂角相等B．平行四邊形的對角線互相垂直C．三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交D．三角分別相等的兩個三角形是全等三角形【答案】A【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)判斷A，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷B，根據(jù)三角形的內(nèi)心定義判斷C，根據(jù)全等三角形的判定定理判斷D．【詳解】A.對頂角相等是一個正確的命題，是真命題，故A符合題意；B.菱形的對角線互相垂直，非菱形的平行四邊形的對角線不垂直，所以平行四邊形的對角線互相垂直是一個假命題，故B不符合題意；C.三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，不一定是三邊的垂直平分線的交點，則三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點是一個假命題，故C不符合題意；D.三角分別相等的兩個三角形不一定全等，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了真命題與假命題的判斷，對頂角的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心定義，全等三角形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)、定義、定理是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022·河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為，，則正確的是（

）A．B．C．D．無法比較與的大小【答案】A【分析】多邊形的外角和為，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為，作出選擇即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為，∴△ABC與四邊形BCDE的外角和與均為，∴，故選：A．【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022·河南）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，且點E為CD的中點，是的中位線，∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出AD=6．15．（2022·山東泰安）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點O．點E為的中點，連接并延長交于點F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】通過判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：點為的中點，，又，，，是等邊三角形，，，，即，故①正確；在平行四邊形中，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，點為的中點，，平行四邊形是菱形，故③正確；，在中，，，故②正確；在平行四邊形中，，又點為的中點，，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個，故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．16．（2022·山東濱州）下列命題，其中是真命題的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 B．有一個角是直角的四邊形是矩形C．對角線互相平分的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分別根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A錯誤，不符合題意；有三個角是直角的四邊形是矩形，故B錯誤，不符合題意；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故C錯誤，不符合題意；對角線互相垂直的矩形是正方形，故D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．二、填空題17．（2022·江蘇揚州）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則_____________．【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，∴，．∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位線，∴，．∵，，∴．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．18．（2022·江蘇連云港）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．【答案】【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵．19．（2022·四川南充）數(shù)學(xué)實踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點的距離，同學(xué)們在外選擇一點C，測得兩邊中點的距離為（如圖），則A，B兩點的距離是_______________m．【答案】20【分析】根據(jù)題意得出DE為?ABC的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵點D、E為AC，BC的中點，∴DE為?ABC的中位線，∵DE=10，∴AB=2DE=20，故答案為：20．【點睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2022·湖南株洲）如圖所示，已知，正五邊形的頂點、在射線上，頂點在射線上，則_________度．【答案】48【分析】是正五邊形的一個外角，利用多邊形外交和360°算出一個外角，再利用的內(nèi)角和180°，即可算出【詳解】∵四邊形ABCDE是正五邊形，是一個外角∴在中：故答案為：48【點睛】本題考查多邊形外角和和三角形內(nèi)角和，注意多邊形外角和均為360°21．（2022·四川遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為______．【答案】4【分析】連接，根據(jù)正六邊形的特點可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，連接，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上正六邊形每個內(nèi)角為，為對稱軸則則，正方形BMGH的邊長為6，設(shè)，則解得故答案為：4【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22．（2022·浙江舟山）正八邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是____度．【答案】135【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計算一個內(nèi)角的度數(shù)即可.【詳解】正八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°=1080°，每一個內(nèi)角的度數(shù)為：1080°÷8=135°，故答案為135.23．（2022·江西）正五邊形的外角和等于_______?．【答案】360【詳解】試題分析：任何n邊形的外角和都等于360度.考點：多邊形的外角和.24．（2020·湖南湘西）一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．【答案】6【分析】利用正多邊形的外角和以及正多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：∵正多邊形的外角和是360度，正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則內(nèi)角和是720度，720÷180+2=6，∴這個多邊形的邊數(shù)為6．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．25．（2022·湖南常德）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．【答案】6【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進行即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°，10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，設(shè)還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．26．（2022·浙江臺州）如圖，在中，，，，分別為，，的中點．若的長為10，則的長為________．【答案】10【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵E、F分別為BC、AC的中點，∴AB＝2EF＝20，∵∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．27．（2022·湖北荊州）如圖，點E，F(xiàn)分別在□ABCD的邊AB，CD的延長線上，連接EF，分別交AD，BC于G，H．添加一個條件使△AEG≌△CFH，這個條件可以是______．（只需寫一種情況）【答案】（答案不唯一）【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得：證明再補充兩個三角形中的一組相對應(yīng)的邊相等即可．【詳解】解：，所以補充：△AEG≌△CFH，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握“平行四邊形的性質(zhì)與利用ASA證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵．28．（2022·江蘇蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為______．【答案】10【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點，中，，，，，四邊形AECF的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．29．（2022·湖南邵陽）如圖，在等腰中，，頂點在的邊上，已知，則_________．【答案】110o【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)；再根據(jù)平行四邊形對邊平行和兩直線平行同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)，得出∠2+∠ABE=180o，代入求解即可．【詳解】解：∵是等腰三角形，∠A=120o，∴∠ABC=∠C=(180o-∠A)÷2=30o，∵四邊形是平行四邊形，∴OFDE，∴∠2+∠ABE=180o，即∠2+30o+40o=180o，∴∠2=110o．故答案為：110o．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練運用上述知識求解．30．（2022·甘肅武威）如圖，在四邊形中，，，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形成為一個矩形，只需添加的一個條件是_______________．【答案】（答案不唯一）【分析】】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：需添加的一個條件是∠A=90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠A=90°（答案不唯一）．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2022·山東濱州）如圖，在矩形中，．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，的最小值為________．【答案】【分析】過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，當(dāng)N、E、C三點共線時，，分別求出CN、AN的長度即可．【詳解】過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，四邊形ANEF是平行四邊形，，當(dāng)N、E、C三點共線時，最小，四邊形ABCD是矩形，，，，四邊形EFMD是平行四邊形，，，，，，，，，即，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題32．（2022·浙江嘉興）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明．若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．【答案】贊成小潔的說法，補充證明見解析【分析】先由OB＝OD，證明四邊形是平行四邊形，再利用對角線互相垂直，從而可得結(jié)論．【詳解】解：贊成小潔的說法，補充證明：∵OB＝OD，四邊形是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵．33．（2022·浙江溫州）如圖，在中，于點D，E，F(xiàn)分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結(jié)，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是，的中點，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，結(jié)合O是的中點，利用“AAS”得出，得出，即可證明是平行四邊形；（2）根據(jù)，E是中點，得出，即可得出，即，根據(jù)，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出．(1)解：（1）∵E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，∴，，∵O是的中點，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵，E是中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴．【點睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．34．（2022·云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°(1)求證：四邊形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．【答案】(1)見解析；(2)18．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定證得≌，即可得到AB=DF，從而證明四邊形ABDF是平行四邊形，再根據(jù)∠BDF=90°即可證明四邊形ABDF是矩形；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)、矩形性質(zhì)及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四邊形性質(zhì)求得CF=6，最后利用梯形的面積公式計算即可．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，即AB∥CF，∴∠BAE=∠FDE，∵E為線段AD的中點，∴AE=DE，又∵∠AEB=∠DEF，∴≌（ASA），∴AB=DF，又∵AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵∠BDF=90°，∴四邊形ABDF是矩形；(2)解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，∴AB=DF=3，∠AFD=90°，∴在中，，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=3，∴CF=CD+DF=3+3=6，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理進行推理是解題的關(guān)鍵．35．（2022·四川涼山）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）證△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再證四邊形ADBF是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得證AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出結(jié)論；（2）連接DF交AB于O，由菱形面積公式S菱形ADBF==40，求得OD長，再由菱形性質(zhì)得OA=OB，證得OD是三角形的中位線，由中位線性質(zhì)求解可．(1)證明：∵E是AD的中點，∴AE=DE∵AFBC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵D是BC的中點，∴CD=BD，∴AF=BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，∵D是BC的中點，∴AD=BD=BC，∴四邊形ADBF是菱形；(2)解：連接DF交AB于O，如圖由（1）知：四邊形ADBF是菱形，∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4，S菱形ADBF==40，∴=40，∴DF=10，∴OD=5，∵四邊形ADBF是菱形，∴O是AB的中點,∵D是BC的中點，∴OD是△BAC的中位線，∴AC=2OD=2×5=10．答：AC的長為10．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．36．（2022·四川自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；(2)進一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結(jié)論；(3)已知，若恰好經(jīng)過原矩形邊的中點，求與之間的距離．【答案】(1)CD，AD；(2)見解析；(3)EF于BC之間的距離為64cm．【分析】（1）由推動矩形框時，矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，可求解；（2）通過證明四邊形BEFC是平行四邊形，可得結(jié)論；（3）由勾股定理可求BH的長，再證明△BCH∽△BGE，得到，代入數(shù)值求解EG，即可得到答案．(1)解：∵把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案為：CD，AD；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴EFBC，∴EFAD；(3)解：如圖，過點E作EG⊥BC于點G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，點H是CD的中點，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，BH＝（cm），∵EG⊥BC，∴∠EGB＝∠BCH＝90°，∴CHEG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴，∴EG＝64，∵EFBC，∴EF與BC之間的距離為64cm．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．37．（2022·江蘇宿遷）如圖，在平行四邊形中，點、分別是、的中點．求證：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等的性質(zhì)”證得四邊形AECF為平行四邊形，然后由“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)證得結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC；又∵點E、F分別是AD、BC的中點，∴AE∥CF，AE=CF=AD，∴四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形），∴AF=CE（平行四邊形的對邊相等）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．38．（2022·四川瀘州）如圖，已知點E、F分別在?ABCD的邊AB、CD上，且AE=CF．求證：DE=BF．【答案】證明詳見解析.【分析】由“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知AB=CD，AB∥CD．然后根據(jù)圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得BE=FD，易證四邊形EBFD是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF．∴BE=FD，BE∥FD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴DE=BF．考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．39．（2022·江蘇揚州）如圖，在中，分別平分，交于點．(1)求證：；(2)過點作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)84【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；（2）作，由即可求解；(1)證明：在中，∵，∴，∵分別平分，，∴，在和中，∵∴，∴，∴．(2)如圖，作，∵的周長為56，∴，∵平分，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．40．（2022·新疆）在中，點D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點．延長DF到點E，使，連接BE．(1)求證：；(2)求證：四邊形BCDE是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用SAS直接證明；（2）利用和已知條件證明，即可推出四邊形BCDE是平行四邊形．(1)證明：∵點F為邊AB的中點，∴，在與中，，∴；(2)證明：∵點D為邊AC的中點，∴，由（1）得，∴，，∴，，∴四邊形BCDE是平行四邊形．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法，難度較小，根據(jù)所給條件正確選用平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．41．（2022·湖南岳陽）如圖，點，分別在的邊，上，，連接，．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使為菱形．(1)你添加的條件是_____（填序號）；(2)添加了條件后，請證明為菱形．【答案】(1)①(2)見解析【分析】（1）添加合適的條件即可；（2）證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．(1)解：添加的條件是．故答案為：①．(2)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴為菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．42．（2022·湖北十堰）如圖，中，，相交于點，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時，四邊形是矩形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時，四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）連接，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點的定義可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng)時，四邊形是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、平行四邊形的性質(zhì)可得，由此即可得出的值．(1證明：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，分別是，的中點，，四邊形是平行四邊形，．(2)解：由（1）已證：四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則，，，即，，故當(dāng)時，四邊形是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．43．（2022·湖南株洲）如圖所示，點在四邊形的邊上，連接，并延長交的延長線于點，已知，．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形為平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用SAS可以直接證明；（2）由可得，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出，結(jié)合已知條件即可證明四邊形為平行四邊形．(1)證明：∵與是對頂角，∴，在與中，，∴(2)證明：由（1）知，∴，∴，∵點在的延長線上，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和平行四邊形的判定，難度較小，熟練掌握全等三角形、平行線及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．44．（2022·江蘇連云港）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點、、分別在線段、、上運動，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；（2）先根據(jù)菱形對稱性得，