傳熱學非穩(wěn)態(tài)導熱第一頁，共九十五頁，2022年，8月28日１、重點內容：

①非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念及特點；②集總參數法的基本原理及應用；③一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題。

2、掌握內容：

①確定瞬時溫度場的方法；②確定在一時間間隔內物體傳導熱量計算方法。

第二頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念物體的溫度隨時間而變化的導熱過程為非穩(wěn)態(tài)導熱。自然界和工程上許多導熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內燃機等裝置起動、停機、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內與室內空氣溫度。1定義第三頁，共九十五頁，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化非周期性非穩(wěn)態(tài)導熱（瞬態(tài)導熱）：物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經歷相當長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質溫度，最終達到熱平衡。物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱。第四頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五頁，共九十五頁，2022年，8月28日非穩(wěn)態(tài)導熱過程中在熱量傳遞方向上不同位置處的導熱量是不同的；不同位置間導熱量的差別用于（或來自）該兩個位置間內能隨時間的變化，這是區(qū)別與穩(wěn)態(tài)導熱的一個特點。對非穩(wěn)態(tài)導熱一般不能用熱阻的方法來作問題的定量分析。第六頁，共九十五頁，2022年，8月28日

3溫度分布第七頁，共九十五頁，2022年，8月28日4幾個同的階段依據溫度變化的特點，可將加熱或冷卻過程分為三個階段。第八頁，共九十五頁，2022年，8月28日不規(guī)則情況階段(右側面不參與換熱

)：溫度分布顯現出部分為非穩(wěn)態(tài)導熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級數描述。

第一階段第九頁，共九十五頁，2022年，8月28日正常情況階段(右側參與換熱)當右側面參與換熱以后，物體中溫度分布不受初始溫度的影響，主要取決于邊界條件及物性，此時非穩(wěn)態(tài)導熱過程進入到正規(guī)狀況階段。環(huán)境的熱影響已經擴展到整個物體內部，即物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階段?？梢杂贸醯群瘮得枋龅诙A段第十頁，共九十五頁，2022年，8月28日建立新的穩(wěn)態(tài)階段，理論上需要無限長時間物體各處的溫度達到新的穩(wěn)態(tài)第三階段兩類非穩(wěn)態(tài)導熱的區(qū)別：瞬態(tài)導熱存在著有區(qū)別的三個不同階段，而周期性導熱不存在。

第十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日5熱量變化Φ1－－板左側導入的熱流量Φ2－－板右側導出的熱流量各階段熱流量的特征：不規(guī)則情況階段段：Φ1急劇減小，Φ2保持不變；正常情況階段：Φ1逐漸減小，Φ2逐漸增大。

第十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日在規(guī)定的初始條件及邊界條件下求解導熱微分方程式，是本章主要任務。非穩(wěn)態(tài)導熱問題的求解實質三個不同坐標系下導熱微分方程式，用矢量形式統(tǒng)一表示為：溫度的拉普拉斯算子第十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日初始條件的一般形式簡單特例

f(x,y,z)=t0邊界條件：著重討論第三類邊界條件第十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日學習非穩(wěn)態(tài)導熱的目的：(1)溫度分布和熱流量分布隨時間和空間的變化規(guī)律(2)非穩(wěn)態(tài)導熱的導熱微分方程式：第十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數法、積分法數值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學模擬第十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日1）定義：2）Bi

物理意義：物體內部單位導熱面積上的導熱熱阻與單位表面積上的對流換熱熱阻之比。Bi的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內部溫度場的分布規(guī)律。

3）特征數（準則數）：表征某一物理現象或過程特征的無量綱數。

4）特征長度：是指特征數定義式中的幾何尺度。無量綱特征數（準則數）

-畢渥數第十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日第三類邊界條件下Bi數對平板中溫度分布的影響在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數的關系。

已知：平板厚2、初溫t0、表面?zhèn)鳠嵯禂礹、平板導熱系數，將其突然置于溫度為t∞的流體中冷卻。

第十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板中溫度場的變化會出現以下三種情形：

第十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日（1）表面對流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過程一開始平板的表面溫度就被冷卻到t∞

隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于一致第二十頁，共九十五頁，2022年，8月28日（2）平板內部導熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時刻平板中各點的溫度接近均勻，隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞第二十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與

的數值比較接近

兩個熱阻的相對大小對于物體中非穩(wěn)態(tài)導熱的溫度場的變化具有重要影響。引入表征這兩個熱阻比值的無量綱數畢渥數。第二十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2零維問題的分析法－集總參數法

定義：忽略物體內部導熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，，溫度分布只與時間有關，即，與空間位置無關。因此，也稱為零維問題。工程上把Bi﹤0.1作為該情況的判據近似分析法第二十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日集總參數法的簡化分析如果物體的導熱系數很大，或幾何尺寸很小，或表面換熱系數極低，其導熱問題都可能屬于這一類型的非穩(wěn)態(tài)導熱問題。

第二十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2.1

集總參數法溫度場的分析解h,tAφcΔΕρ,c,V,t0一個集總參數系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c，初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數為h的環(huán)境中冷卻。求物體溫度隨時間變化的依變關系

第二十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日數學模型建立利用兩種方法根據導熱微分方程的一般形式進行簡化；利用能量守恒熱平衡關系：內熱能隨時間的變化率ΔΕ＝通過表面與外界交換的熱流量φ。第二十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日方法一導熱微分方程：

物體內部導熱熱阻很小，忽略不計。物體溫度在同一瞬間各點溫度基本相等，即t僅是τ的一元函數，與坐標x、y、z無關，即:第二十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日qv可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不是計算邊界（零維無任何邊界）界面上交換的熱量應折算成整個物體的體積熱源，即：

物體被冷卻，φ應為負值適用于本問題的導熱微分方程式h,tAφΔΕρ,c,V,t0第二十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日當物體被冷卻時（t>t）,由能量守恒可知方法二適用于本問題的導熱微分方程式物體與環(huán)境的對流散熱量=物體內能的減少量

h,tAφcΔΕρ,c,V,t0第二十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日初始條件控制方程方程式改寫為：導熱微分方程:第三十頁，共九十五頁，2022年，8月28日

積分過余溫度比其中的指數：溫度呈指數分布傅立葉數第三十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日應用集總參數法時，物體過余溫度隨時間的變化關系是一條負自然指數曲線，或者無因次溫度的對數與時間的關系是一條負斜率直線

第三十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日導熱體在時間0－內傳給流體的總熱量：當物體被加熱時(t<t)，計算式相同。3.2.2導熱量計算式、時間常數與傅立葉數1、導熱量計算瞬時熱流量第三十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日方程中指數的量綱：2、時間常數即與的量綱相同第三十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日上式表明：當傳熱時間等于時，物體的過余溫度已經達到了初始過余溫度的36.8％。稱為時間常數，也稱弛豫時間，用表示。第三十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日如果導熱體的熱容量（cV

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導熱體的溫度變化快，時間常數(Vc/hA)小時間常數反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關，還與環(huán)境的換熱情況相關。同一物質不同的形狀其時間常數不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數也是不相同。

第三十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日θ/θ0τ/τs0.386101當物體冷卻或加熱過程所經歷的時間等于其時間常數時，即τ=τc，則τ=4τc，時工程上認為=4τc時導熱體已達到熱平衡狀態(tài)第三十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日3

物理意義無量綱熱阻無量綱時間Fo越大，熱擾動就能越深入地傳播到物體內部物體，各點的溫度就越接近周圍介質的溫度。Fo物理意義：表征非穩(wěn)態(tài)過程進行深度的無量綱時間。第三十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2.3集總參數系統(tǒng)的適用范圍

如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數系統(tǒng)？特征長度的取值特征長度第三十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日工程計算中，物體中各點過余溫度的差別小于5%對厚為2δ的無限大平板對半徑為R的無限長圓柱對半徑為R的球是與物體幾何形狀有關的無量綱常數沒有考慮兩端第四十頁，共九十五頁，2022年，8月28日對于一個復雜形體的形狀修正系數時，可以將修正系數M取為1/3，即第四十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日例題

一直徑為5cm的鋼球，初始溫度為450℃，忽然被置于溫度為30℃的空氣中。設鋼球表面與周圍環(huán)境間的傳熱系數為24W/(m2.K)，試計算鋼球冷卻到300℃所需的時間。已知鋼球的c=0.48kJ/(kg.K),h=7753kg/m3,=33W/(m.K)。解：首先檢驗是否可用集總參數法。為此計算Bi數：可以采用集總參數法。第四十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日據式由此解得：第四十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日例題：一溫度計的水銀泡呈圓柱狀,長20mm,內徑為4mm,初始溫度為t0,今將其插入到溫度較高的儲氣罐中測量氣體溫度.設水銀泡同氣體間的對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂礹=11.63W/(m2.K),水銀泡一層薄玻璃的作用可忽略不計,試計算此條件下溫度計的時間常數,并確定插入5min后溫度計讀數的過余溫度為初始溫度的百分之幾?水銀的物性參數如下:解:首先檢驗是否可用集總參數法?？紤]到水銀泡柱體的上端面不直接受熱,故可以用集總參數法第四十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日即經5min后溫度計讀數的過余溫度為初始過余溫度的13.3%。也就是說，在這段時間內溫度計的讀數上升了這次測量中溫度躍升的86.7%如何減少溫度計響應時間？？？第四十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日例：一直徑為5cm,長為30cm的鋼圓柱體,初始溫度為30℃,將其放入爐溫為1200℃的加熱爐中加熱,升溫到800℃方可取出。設鋼圓柱體與煙氣間的復合換熱表面?zhèn)鳠嵯禂禐?40W/(m2.K),鋼的物性參數取c=0.48kJ/(kg.K),=33W/(m.K)。問需多少時間才能達到要求。解:首先檢驗是否可用集總參數法.為此計算Biv可以采用集總參數法，又第四十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日由此解得：第四十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解工程上經常遇到內部熱阻不能忽略的、第三類邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導熱。數學分析法求解困難，一般用數值計算和比擬法求解幾何形狀和邊界條件簡單的可解微分方程，本節(jié)主要介紹諾模圖（略去數學分析過程）第四十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日厚度

2

的無限大平壁，、a為已知常數；=0時溫度為t0;突然把平板放到溫度為t的介質中；壁表面與介質之間的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔。兩側冷卻情況相同、溫度分布對稱。取中心為原點。1、平板加熱/冷卻第四十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日導熱微分方程：初始條件：第三類邊界條件：(對稱性)第五十頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日采用分離變量法求解：與Fo數、Bi數及η有關具體過程參見教材P57~60第五十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日可查表求部分Bi數下的μn值P59μn為超越方程的根：第五十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日2、圓柱半徑為R的一實心圓柱，、a為已知常數；初始溫度為t0;初始瞬間把兩側介質溫度降低為t并保持不變；圓柱表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂礹為常數。與Fo數、Bi數及η有關第一類貝塞爾函數查表P572附錄14第五十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日3、球半徑為R的一實心球，、a為已知常數；初始溫度為t0;初始瞬間把兩側介質溫度降低為t并保持不變；圓柱表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂礹為常數。與Fo數、Bi數及η有關第五十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板、圓柱與球中的無量綱過余溫度與Fo數、Bi數及無量綱距離η有關。x/l0第五十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.3.2非穩(wěn)態(tài)導熱正常情況階段分析解的簡化1、非穩(wěn)態(tài)導熱正常情況的物理概念和數學含義物理概念：非周期性的非穩(wěn)態(tài)導熱過程在進行到一定深度后，初始條件對物體中無量綱溫度分布的影響基本消失，溫度分布主要取決與邊界條件的影響，非穩(wěn)態(tài)導熱的這一階段稱為正常情況階段。數學含義：取無窮級數第一項。第五十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日以平板為例進行說明特征值μn是Bi數的函數。在一定的Bi下，特征值μn隨n的增加而迅速增長。當Bi＝1時，μn的前4個值：無窮級數第一項后各項隨Fo數增大而迅速減小。數值計算表明，Fo>0.2后，略去無窮級數中的第二項及以后各項所得的計算結果與按完整級數計算結果的偏差小于1%。第五十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日與時間無關，只取決于邊界條件以平板為例進行分析平板中心處過余溫度中心面x=0=f(Bi,x/l)第六十頁，共九十五頁，2022年，8月28日當Fo>0.2時，可采用上述計算公式求得非穩(wěn)態(tài)導熱物體的溫度場及交換的熱量，也可采用簡化的擬合公式和諾模圖求得。3.3.3正規(guī)熱狀況的實用計算方法=f(Bi,x/l)第六十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日諾模圖工程技術中，為便于計算，采用按分析解的級數第一項繪制的一些圖線，叫諾模圖。海斯勒圖：諾模圖中用以確定溫度分布的圖線，稱海斯勒圖。第六十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日諾謨圖三個變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，F0>0.2時，取其級數首項即可=f(Bi,x/l)第六十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日P62圖3-6第六十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日P61圖3-5第六十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日定義無量綱的熱量其中Qτ為0時間內傳導的熱量（內熱能的改變量）

第六十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日P62圖3-7第六十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日如何利用線算圖a）由時間求溫度的步驟為：計算Bi數、Fo數和x/δ

，從圖3-5中查找θm/θ0

和從圖3-6中查找θ/θm

，計算出，最后求出溫度tb)由溫度求時間步驟為：計算Bi數、x/δ和θ/θ0,從圖3-6中查找θ/θm,計算θm/θ0然后從圖3-5中查找Fo,再求出時間

。

c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計算Q0、Bi數、Fo數后，從圖3-7中Q/Q0查找，再計算出第六十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日目前，隨著計算技術的發(fā)展，直接應用分析解及簡化擬合公式計算的方法受到重視。

線算圖法評述優(yōu)點：簡潔方便。缺點：準確度有限，誤差較大。第六十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日解的應用范圍教材中的諾謨圖及擬合函數僅適用恒溫介質的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且F0>0.2例題3-1P63例題3-2P64第七十頁，共九十五頁，2022年，8月28日無限長圓柱體和球體加熱（冷卻）過程分析1.無限長圓柱trt∞t∞t0hh0式中r0為無限長圓柱體的半徑

類似有：和P71圖13、圖14、圖15第七十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日2.球體tt∞αrt00球體處理方法與無限長圓柱體完全相同，相應的線算圖查相關參考書與手冊。注意點：特征尺寸R為球體的半徑，r為球體的徑向方向。第七十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日對分析解的討論1.Fo準則對溫度分布的影響Fo0.2時，進入正常情況階段，平壁內所有各點過余溫度的對數都隨時間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨Fo增大而減小。Fo<0.2時是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點溫度變化速率不同第七十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日2.Bi準則對溫度分布的影響B(tài)i（Bi=h/

）表征了給定導熱系統(tǒng)內的導熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關系。當Bi時，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂礹

，對流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降到流體溫度t

。第七十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日當Bi0時，意味著物體的熱導率很大、導熱熱阻

0（Bi=h/

）。物體內的溫度分布趨于均勻一致?？捎眉倕捣ㄇ蠼?第七十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的一般步驟：1、先校核Bi是否滿足集總參數法條件，若滿足，則優(yōu)先考慮集總參數法；若性質屬于h或δ未知，可先假設，然后校核；2、如不能用集總參數法，則嘗試用諾謨圖或近似公式；3、若上述方法都不行則采用數值解。4、確定溫度分布、加熱或冷卻時間、熱量。非穩(wěn)態(tài)導熱求解方法第七十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日第七十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日第七十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日答：紅磚的導熱系數小，以致Bi(Bi=h/)較大，即在非穩(wěn)態(tài)導熱現象中，內部熱阻較大，當一塊被燒至高溫的紅磚被迅速投入一桶冷水中后，其內部溫差較大，從而產生較大的熱應力，則紅磚會自行破裂。例：一塊被燒至高溫(超過400℃)的紅磚，迅速投入一桶冷水中，紅磚自行破裂，而鐵塊則不會出現此現象。試解釋其原因。第七十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日例：一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為ρ=7790kg/m3，比熱容cp=170J/(kg·K)，導熱系數為43.2W/(m·K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔=300W/(m2·K)。試求加熱40分鐘時鋼板的中心溫度。解：根據題意，δ=200/2=100mm=0.1m

☆畢渥數為：第八十頁，共九十五頁，2022年，8月28日傅里葉數為

查圖3-5可得

鋼材的熱擴散率為

第八十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3-4二維及三維問題的求解對于二維及三維典型幾何形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解，可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解的組合求得。例如：長方柱體、短園柱體及短方柱體。1、無限長方柱體的非穩(wěn)態(tài)導熱問題已知：初始溫度t0，過程開始時被置于t∞、h的流體中。求溫度場。P72第八十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日無限長方柱體可以看成是厚度為2x和厚度為2y兩塊無限大平壁垂直相交形成的，其溫度場為兩塊無限大平壁溫度場的乘積：第八十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日短圓柱體長為2l、半徑為r的短圓柱體可以看成厚度為2l的無限大平壁與半徑為r無限長圓柱體垂直相交得到，其溫度表達式：第八十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日短方柱體短方柱體（2δ1×2δ2×2δ3）的解是三個厚度分別為2δ1×2δ2×2δ3的大平板解的乘積。例題3-5P73第八十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3-5半無限大的物體1.半無限大物體的概念半無限大物體是非穩(wěn)態(tài)導熱研究中的一個特有的概念。其特點是從x=0的界面開始可以向正的x方向及其他兩個坐標（y,z）方向無限延伸。

第八十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日現實中不存在這樣的半無限大物體，但是在研究物體中非穩(wěn)態(tài)導熱的初始階段，則有可能把實際物體當作半無限大物體來處理。例如：初始溫度均勻的有限厚度的平板，其一側表面突然所到熱擾動、或者壁溫突然升高到一定值并保持不變，或者突然受到恒定的熱流密度加熱，當擾動的影響還局限在表面附近而尚未深入到平板內部中去時，就可有條件地把該平板視為一“半無限大物體”。第八十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日

高斯誤差函數2第一類邊界條件下半無限大物體的理論求解（1）溫度場的求解:一個半無限大物體初始溫度均勻（t0），在τ=0時刻，x=0的一側