2022-2023學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件列方程求，根據(jù)通項(xiàng)公式求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，得，即，解得，所以，則，故選：D.2．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)的和為（

）A．28 B．26 C．24 D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意利用等差等比中項(xiàng)公式得到方程組，解之即可；【詳解】依題意，設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，則，解得或，所以這四個(gè)數(shù)為0、4、8、16或15、9、3、1，則這四個(gè)數(shù)的和為28．故選：A．3．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．7 B．9 C．81 D．3【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，又，所以，所以.故選：D4．下列說法中正確的是（

）A．等比數(shù)列中的某一項(xiàng)可以為 B．常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列C．若是等比數(shù)列，則不一定是等比數(shù)列 D．若，則a，b，c成等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不為來驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng).【詳解】A根據(jù)等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不為，所以A不正確；B若常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以B不正確；C若是等比數(shù)列，設(shè)，則所以不是等比數(shù)列，故C正確；D設(shè)滿足，但是a，b，c不成等比數(shù)列，所以D不正確.故選：C5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了六天后到達(dá)目的地，求每天走的路程.”在這個(gè)問題中，此人前三天一共走的路程為（

）A．192里 B．288里 C．336里 D．360里【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】記每天走的路程里數(shù)為，由題意可得是公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得，解得所以里故選:C6．一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都等于一個(gè)常數(shù)，則稱此數(shù)列為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和，設(shè)等和數(shù)列的公和為3，前項(xiàng)和為，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)定義，將表示為首項(xiàng)和公和的關(guān)系，即可求解.【詳解】根據(jù)等和數(shù)列的定義可知，，得.故選：C7．已知數(shù)列滿足：，m為正整數(shù)，，若，則m所有可能的取值為（）A．{4，5} B．{4，32}C．{4，5，32} D．{5，32}【答案】C【分析】，可得，代入公式，依次推論得到，直至，即可求的值.【詳解】因?yàn)?，由遞推公式，可知∵，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，舍去，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，舍去．∴，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，舍去．當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，舍去．當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，舍去．綜上可得．故選：C．8．對(duì)于給定的正整數(shù)，設(shè)集合，，且?．記為集合中的最大元素，當(dāng)取遍的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的所有的和記為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的定義，推出的表達(dá)式，再計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意知A為集合的非空子集，滿足的集合只有1個(gè)，即；滿足的集合有2個(gè)，即{2}，{1，2}；滿足的集合有4個(gè)，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；滿足的集合有個(gè)，所以，則，兩式相減得，所以，所以；故選：D.二、多選題9．已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，分情況進(jìn)行討論，然后利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】若公比有，，，此時(shí)，故公比，由題意，化簡有，兩邊同時(shí)乘以，可得：；兩邊同時(shí)乘以，可得：故有或，選選：AB.10．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的幾個(gè)命題，其中正確的有（

）A．?dāng)?shù)列遞增B．?dāng)?shù)列是遞增的等差數(shù)列C．若，為的前項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，則D．若，則方程有唯一的根【答案】ABD【分析】由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)說明A正確，然后逐一寫出B、C、D所對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，．【詳解】解：、設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)符合題意；、，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．因?yàn)?，所以該?shù)列是遞增的等差數(shù)列，故選項(xiàng)符合題意；、由得到．由為等差數(shù)列可設(shè)：．即．所以當(dāng)恒成立時(shí)，，，．所以，或．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上所述，或．故選項(xiàng)不符合題意；、由，，得，，即又因?yàn)閿?shù)列遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以最小值是或，所以．由當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題解答的關(guān)鍵是等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用；11．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．已知，則使得成等比數(shù)列的充要條件為B．若為等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為2022C．若，則數(shù)列前5項(xiàng)的和最大D．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則【答案】CD【分析】對(duì)于A：利用等比中項(xiàng)求出，即可判斷；對(duì)于B：由等差數(shù)列的性質(zhì)求出即可判斷；對(duì)于C：先判斷出為等差數(shù)列，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出時(shí)，取得最大值；對(duì)于D：利用等差數(shù)列的分段和性質(zhì)直接求解.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以使得成等比?shù)列等價(jià)于，即，解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，，所以為等差?shù)列.所以的前項(xiàng)和為.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值.故C正確；對(duì)于D：在等差數(shù)列中，設(shè).因?yàn)椋?，?由等差數(shù)列的分段和性質(zhì)可知：也構(gòu)成等差數(shù)列，所以，解得：，所以.故D正確.故選：CD12．年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)數(shù)列，其遞推公式可以表示為，（），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】由題意可知，，，，AB正確；因?yàn)?，，，……，，，各式相加得，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，D正確；故選：ABD三、填空題13．?dāng)?shù)列滿足，（），則_____________．【答案】【分析】通過計(jì)算出等的值可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)三個(gè)一循環(huán)的循環(huán)數(shù)列，然后通過計(jì)算，得出的值．【詳解】由以上可知，數(shù)列是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，每三個(gè)一循環(huán)，所以【點(diǎn)睛】在計(jì)算數(shù)列中的某一項(xiàng)的時(shí)候，可以先通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，在進(jìn)行計(jì)算．14．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為9，在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，即可求解的公差，進(jìn)而可求解通項(xiàng).【詳解】設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，由題意可知，且，所以，故，故答案為：15．?dāng)?shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則____.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列與的性質(zhì)確定數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)，即可得的值.【詳解】解：數(shù)列與分別是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則新的數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故.故答案為：.16．小李向銀行貸款14760元，并與銀行約定：每年還一次款，分4次還清所有的欠款，且每年還款的錢數(shù)都相等，貸款的年利率為0.25，則小李每年所要還款的錢數(shù)是___________元.【答案】6250【分析】根據(jù)等額本息還款法，列出方程，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和即可求解.【詳解】設(shè)每年還款的金額為，由題意可知：，所以故答案為：6250四、解答題17．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且n∈N*，所有項(xiàng)an＞0，且.（1）證明：{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）an＝2n＋1.【分析】（1）討論n=1時(shí)，a1＝S1，求出a1；n≥2時(shí)，＝－，將式子進(jìn)行變形化簡，進(jìn)而得出an－an－1是一個(gè)常數(shù)；（2）由（1），通過即可求得.【詳解】（1）證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝，解得a1＝3或a1＝－1(舍去).當(dāng)n≥2時(shí)，＝－＝－，所以，因?yàn)?，所?所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.18．在數(shù)列中，，，．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用，化簡可知，進(jìn)而可知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；（2）通過可知，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，即，.19．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解首項(xiàng)和公差，（2）由錯(cuò)位相減法即可求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則解得∴．（2）依題意，知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．20．?dāng)?shù)列{an}滿足：，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中k為常數(shù)，且.(1)若，，成等比數(shù)列，求k的值；(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和【答案】(1)2；(2).【分析】（1）通過合理代值，解出，，則得到，解出即可.（2）通過累加法得到.【詳解】（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比數(shù)列，，即，又，故.（2）時(shí)，，，，…，，.21．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求前項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而得；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而分組求和即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，所以，記前項(xiàng)的和為，所以，.22．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿