PAGEPAGE102022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系模擬演練文[A級(jí)根底達(dá)標(biāo)](時(shí)間：40分鐘)1．[2022·福州質(zhì)檢]命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，那么p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)直線a，b不相交，那么a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件，應(yīng)選A.2．設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在以下命題中，不正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)AC與BD共面，那么AD與BC共面B．假設(shè)AC與BD是異面直線，那么AD與BC是異面直線C．假設(shè)AB＝AC，DB＝DC，那么AD⊥BCD．假設(shè)AB＝AC，DB＝DC，那么AD＝BC答案D解析ABCD可能為平面四邊形，也可能為空間四邊形，故D不成立．3．[2022·泉州模擬]設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，那么以下命題成立的是()A．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α答案C解析a，b是互不垂直的兩條異面直線，把它放入正方體中如圖，由圖可知A不正確；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，與題設(shè)矛盾，故B不正確；由a?α，且b⊥α，可得a⊥b，與題設(shè)矛盾，故D不正確，應(yīng)選C.4．[2022·溫州模擬]如下圖的是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的是()答案D解析A中PS∥QR，故共面；B中PS與QR相交，故共面；C中四邊形PQRS是平行四邊形，故共面．5．[2022·全國(guó)卷Ⅰ]平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖，延長(zhǎng)B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延長(zhǎng)D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，連接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易證AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3為平面α.于是m∥A2A3，直線AA2即為直線n.顯然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).選A.6．[2022·福建六校聯(lián)考]設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c；②假設(shè)a⊥b，b⊥c，那么a∥c；③假設(shè)a與b相交，b與c相交，那么a與c相交；④假設(shè)a?平面α，b?平面β，那么a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號(hào))．答案①解析由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不在任何一個(gè)平面內(nèi)〞，故④錯(cuò)．7.如圖，在三棱錐C－ABD中，E、F分別是AC和BD的中點(diǎn)，假設(shè)CD＝2AB＝4，EF⊥AB，那么EF與CD所成的角是________．答案30°解析取CB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∵EG∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴EF與CD所成的角為∠EFG，又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG，EG＝eq\f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD＝2，∴sin∠EFG＝eq\f(1,2)，∴∠EFG＝30°，∴EF與CD所成的角為30°.8．如下圖，是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．答案③④解析如下圖，把正方體的平面展開圖復(fù)原成原來(lái)的正方體，顯然BM與ED為異面直線，故命題①不成立；而CN與BE平行，故命題②不成立．∵BE∥CN，∴CN與BM所成角為∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正確；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，∴DM⊥BN，故④正確，故填③④.9.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，那么ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).10．如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．證明(1)如下圖，連接CD1、EF、A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴FE∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF與CD1可確定一個(gè)平面，即E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴直線CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，那么P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．[B級(jí)知能提升](時(shí)間：20分鐘)11．[2022·大連模擬]a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c.①假設(shè)a與b是異面直線，那么c至少與a，b中的一條相交；②假設(shè)a不垂直于c，那么a與b一定不垂直；③假設(shè)a∥b，那么必有a∥c；④假設(shè)a⊥b，a⊥c，那么必有α⊥β.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①中假設(shè)a與b是異面直線，那么c至少與a，b中的一條相交，故①正確；②中平面α⊥平面β時(shí)，假設(shè)b⊥c，那么b⊥平面α，此時(shí)不管a，c是否垂直，均有a⊥b，故②錯(cuò)誤；③中當(dāng)a∥b時(shí)，那么a∥平面β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，故③正確；④中假設(shè)b∥c，那么a⊥b，a⊥c時(shí)，a與平面β不一定垂直，此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直，故④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.12.如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析連接BC1，易證BC1∥AD1，那么∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，那么A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).13．如以下圖，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直線HG與MN必相交．14．如下圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐A－EBC的體積．解(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，∴AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，那么EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\