學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.理解命題的概念；2。了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；3。理解充分條件、必要條件與充要條件的含義。2016,北京卷，4,5分（充要條件的判斷)2016，天津卷，5，5分（充要條件的判斷)2014，全國卷Ⅰ，9，5分(邏輯推理判斷)1。分析四種命題的相互關(guān)系；由原命題寫另一種命題;2。判定指定條件之間的關(guān)系；探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件;與命題真假性結(jié)合。微知識小題練自|主｜排｜查1．命題（1）命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。（2)四種命題及相互關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。2．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp微點提醒1．“否命題”與“命題的否定"是兩個不同的概念，否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，命題的否定只否定結(jié)論。2．由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而當判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假。3．“p是q的充分不必要條件”即為“p?q且qp”；“p的充分不必要條件是q”即為“q?p且pq”。小|題|快|練一、走進教材1．(選修1－1P10練習T3（2)改編）“（x＋1)（y－2）＝0”是“x＝－1且y＝2"的________條件.【解析】因為(x＋1）(y－2）＝0，所以x＝－1或y＝2，所以（x＋1)(y－2）＝0x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2?（x＋1）（y－2)＝0，所以是必要不充分條件。【答案】必要不充分2．（選修1－1P8習題1。1A組T2（1）改編）“若a，b都是偶數(shù)，則ab必是偶數(shù)“的逆否命題為________?！窘馕觥俊癮，b都是偶數(shù)”的否定為“a，b不都是偶數(shù)”，“ab是偶數(shù)”的否定為“ab不是偶數(shù)”，故其逆否命題為“若ab不是偶數(shù),則a，b不都是偶數(shù)”.【答案】若ab不是偶數(shù),則a，b不都是偶數(shù)二、雙基查驗1．(2016·天津高考)設(shè)x>0，y∈R,則“x>y”是“x〉|y|”的(）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由x〉y推不出x〉|y｜,由x〉｜y｜能推出x〉y，所以“x〉y”是“x〉｜y|”的必要而不充分條件。故選C。【答案】C2．命題“若α＝eq\f(π，4）,則tanα＝1”的逆否命題是()A．若α≠eq\f（π，4），則tanα≠1 B．若α＝eq\f（π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1,則α≠eq\f（π，4） D．若tanα≠1，則α＝eq\f（π,4)【解析】以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若α＝eq\f(π,4），則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1,則α≠eq\f(π,4)”.故選C.【答案】C3．設(shè)集合A，B,則“A?B"是“A∩B＝A”成立的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由A?B,得A∩B＝A；反過來，由A∩B＝A，且（A∩B）?B，得A?B，因此，“A?B”是“A∩B＝A"成立的充要條件。故選C?！敬鸢浮緾4．“在△ABC中,若∠C＝90°，則∠A,∠B都是銳角”的否命題為：___________________________________________________?！窘馕觥吭}的條件：在△ABC中，∠C＝90°。結(jié)論：∠A，∠B都是銳角.否命題是否定條件和結(jié)論.即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A,∠B不都是銳角”.【答案】在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角5．若“x2〉1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為________.【解析】由x2〉1得x>1或x〈－1。由題意知｛x｜x〈a}｛x|x〉1或x<－1｝，結(jié)合數(shù)軸可知，a≤－1,從而a的最大值為－1?！敬鸢浮浚?微考點大課堂考點一四種命題及其相互關(guān)系【典例1】(1)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是(）A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)(2)原命題為“若z1,z2互為共軛復數(shù)，則|z1｜＝｜z2｜",關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假【解析】（1)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定是“x，y不都是偶數(shù)"，“x＋y是偶數(shù)”的否定是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”。故選C。(2）先證原命題為真:當z1，z2互為共軛復數(shù)時，設(shè)z1＝a＋bi（a,b∈R）,則z2＝a－bi，則|z1|＝｜z2｜＝eq\r（a2＋b2)，∴原命題為真,故其逆否命題為真；再證其逆命題為假：取z1＝1，z2＝i,滿足|z1|＝|z2｜，但是z1,z2不互為共軛復數(shù)，∴其逆命題為假，故其否命題也為假。故選B.【答案】(1）C(2）B反思歸納1。寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提。2.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題,只需舉出反例。3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時,可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假?！咀兪接柧殹浚?）命題“若α＝eq\f(π,3），則cosα＝eq\f(1,2)”的逆命題是(）A．若α＝eq\f（π，3)，則cosα≠eq\f（1，2)B．若α≠eq\f（π，3),則cosα≠eq\f(1，2)C．若cosα＝eq\f（1，2),則α＝eq\f(π，3)D．若cosα≠eq\f（1,2）,則α≠eq\f(π,3）（2)已知命題α：如果x〈3，那么x〈5；命題β:如果x≥3，那么x≥5;命題γ：如果x≥5，那么x≥3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系，下列三種說法正確的是（)①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題;②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題；③命題β是命題α的否命題,且命題γ是命題α的逆否命題。A．①③ B．②C．②③ D．①②③【解析】(1)命題“若α＝eq\f(π，3)，則cosα＝eq\f（1,2)”的逆命題是“若cosα＝eq\f（1,2），則α＝eq\f（π,3)"。故選C。（2）命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定，然后交換條件與結(jié)論所得,因此①正確,②錯誤,③正確.故選A?！敬鸢浮浚?）C（2)A考點二充分條件與必要條件的判斷……多維探究角度一:用定義法判斷充分條件、必要條件【典例2】（2016·北京高考)設(shè)a，b是向量，則“｜a｜＝|b｜"是“｜a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】取a＝－b≠0，則｜a｜＝|b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0，|a－b|＝|2a｜≠0，所以｜a＋b|≠|(zhì)a－b｜,故由|a｜＝｜b|推不出|a＋b|＝｜a－b｜。由|a＋b｜＝｜a－b｜，得|a＋b|2＝|a－b|2,整理得a·b＝0,所以a⊥b，不一定能得出｜a|＝｜b｜,故由｜a＋b｜＝|a－b|推不出|a｜＝｜b｜.故“｜a｜＝｜b｜”是“|a＋b|＝｜a－b【答案】D角度二:用集合法判斷充分條件、必要條件【典例3】設(shè)p：1<x<2，q:2x〉1，則p是q成立的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由2x〉20?x〉0，且｛x|1<x〈2}{x｜x〉0}可知：由p能推出q,但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要條件。故選A?！敬鸢浮緼角度三:用等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件【典例4】(2017·錦州模擬）給定兩個命題p，q。若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因為綈p是q的必要不充分條件,則q?綈p但綈pq,其逆否命題為p?綈q但綈qp,所以p是綈q的充分不必要條件.故選A?！敬鸢浮緼反思歸納充要條件的三種判斷方法1。定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷。2.集合法：根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷。3.等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷。這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1"是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件。考點三根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍……母題發(fā)散【典例5】(1)(2016·南昌模擬）已知條件p：｜x－4|≤6；條件q：（x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是(）A．［21，＋∞） B．[9，＋∞）C．［19，＋∞） D．（0，＋∞）(2）已知P＝｛x|x2－8x－20≤0｝,非空集合S＝｛x｜1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________.【解析】(1)條件p：－2≤x≤10，條件q：1－m≤x≤m＋1，又因為p是q的充分不必要條件，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m≤－2，，1＋m≥10.）)解得m≥9。故選B。(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P。則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，，1＋m≤10,））∴0≤m≤3。所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3］?！敬鸢浮浚?)B(2）[0,3］【母題變式】1。本典例（2)條件不變,問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件。【解析】若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3，,m＝9，))即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.【答案】不存在2．本典例（2)條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥坑衫}知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分條件，∴P?S且SP?！郲－2,10］［1－m,1＋m］?！鄀q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m≤－2，，1＋m〉10))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m〈－2，,1＋m≥10.）)∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)。【答案】[9，＋∞）反思歸納由充分條件、必要條件求參數(shù).解決此類問題常將充分、必要條件問題轉(zhuǎn)化為集合間的子集關(guān)系求解.但是,在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的驗證,不等式中的等號是否能夠取得,決定著端點的取值。微考場新提升1．命題“若a，b,c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是()A．“若a,b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac"C．“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列"D．“若b2≠ac，則a，b,c不成等比數(shù)列"解析根據(jù)原命題與其逆否命題的關(guān)系,易得命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”。故選D.答案D2．已知向量a＝(sinα，cosα），b＝（cosβ，sinβ），且a與b的夾角為θ，則“|a－b|＝1"是“θ＝60°”的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析由條件可知|a｜＝|b｜＝1，若|a－b｜＝1，則（a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝eq\f（1，2)，故θ＝60°。同理，若θ＝60°,則|a－b|＝1也成立.故“｜a－b｜＝1”是“θ＝60°”的充分必要條件.故選C.答案C3．設(shè)m，n為正實數(shù)，則“m〈n”是“m2－eq\f(1,m2）〈n2－eq\f(1，n2）”成立的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析解法一:m，n為正實數(shù)是此題的大前提條件，所以可得m2－eq\f(1，m2）〈n2－eq\f（1，n2）?m2－n2－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，m2)－\f（1，n2）））〈0?（m－n）(m＋n)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，m2n2)））<0?m〈n，故“m〈n”是“m2－eq\f（1，m2)<n2－eq\f（1,n2）”成立的充要條件。故選C。解法二:構(gòu)造函數(shù)f（x)＝x2－eq\f(1,x2）（x〉0)，易知f（x)＝x2－eq\f(1，x2）（x〉0)是單調(diào)遞增函數(shù)，任取m，n>0,當m<n時，f(m)<f(n），即m2－eq\f(1,m2)〈n2－eq\f（1,n2）；反之,當f(m)<f(n）時，易得m<n。故“m<n”是“m2－eq\f(1,m2）〈n2－eq\f(1,n2）”