第四章光纖中的模式哈爾濱工程大學理學院12哈爾濱工程大學理學院光纖中的模式4.1階躍光纖中光線的傳播4.2梯度光纖中光線的傳播4.3階躍光纖的嚴格解——矢量模解4.4階躍光纖中的線偏振模4.5梯度光纖的解析解法3哈爾濱工程大學理學院4.1.1階躍光纖與梯度光纖按折射率分布，光纖可分為階躍光纖（StepIndexFiber）梯度光纖（GradedIndexFiber）n1>n2n1≈n2包層可認為延伸到無限遠4哈爾濱工程大學理學院4.1.2傳播路徑及光線分類子午光線束縛光線折射光線偏斜光線束縛光線折射光線漏泄光線5哈爾濱工程大學理學院子午光線與偏斜光線的數(shù)學表達傾斜角偏斜角6哈爾濱工程大學理學院光線不變量光線的方向有兩個自由度角度不變量多次反射后z和總保持不變光線不變量

物理含義7哈爾濱工程大學理學院光線分類（角度）8哈爾濱工程大學理學院光線分類（光線不變量）9哈爾濱工程大學理學院光線分類的幾何表示10哈爾濱工程大學理學院4.1.3數(shù)值孔徑11哈爾濱工程大學理學院4.1.4傳播時延和時延差12哈爾濱工程大學理學院4.2梯度光纖中光線的傳播梯度光纖GradedIndexFiber13哈爾濱工程大學理學院4.2.1路徑方程和光線不變量光線方程在柱坐標系（r，，z）下，可以展開為三個標量方程14哈爾濱工程大學理學院幾何關系15哈爾濱工程大學理學院光線不變量16哈爾濱工程大學理學院

光線路徑及光線分類17哈爾濱工程大學理學院引進函數(shù)g(r)g(r)非負；g(r)>0：光線路徑存在；g(r)<0：光線路徑不存在；g(r)=0：光線路徑處于臨界狀態(tài)；此時r為焦散面半徑。18哈爾濱工程大學理學院根據(jù)函數(shù)g(r)進行光線分類19哈爾濱工程大學理學院子午光線與偏斜光線子午光線：l=0cos(r)=0;(r)=/2ric=0g(r)=0;n(r)=;其根為rtp只有束縛光線和折射光線，無漏泄光線。偏斜光線：l≠0r=0時，總有g(r)<0ric≠0g(r)=0;其根為ric,rtp,rrad既有束縛光線和折射光線，又有漏泄光線。20哈爾濱工程大學理學院束縛光線、折射光線及漏泄光線束縛光線

r≥a時，g(r)<0

即n2<<n1折射光線

r≥a時，g(r)≥0

即0≤2+l2≤n22漏泄光線

上述條件都不滿足時

即0<≤n2且n22

<2+l2<n1l=0：子午光線21哈爾濱工程大學理學院漏泄光線的三個焦散面內焦散面ric外焦散面rtp輻射焦散面rrad

關系

0<ric<rtp<a<rradric=0：子午光線rtp>?<a決定了能量是否輻射到包層束縛光線，折射光線是漏泄光線在rrad極限狀態(tài)下的特例rrad=∞：束縛光線rrad<a：折射光線22哈爾濱工程大學理學院4.2.2本地數(shù)值孔徑23哈爾濱工程大學理學院4.2.3傳播時延24哈爾濱工程大學理學院4.2.4舉例例1冪指數(shù)折射率分布例2雙曲正割折射率分布25哈爾濱工程大學理學院例1冪指數(shù)折射率分布26哈爾濱工程大學理學院例2雙曲正割折射率分布27哈爾濱工程大學理學院4.3階躍光纖的嚴格解

——矢量模解4.3.1光纖中的電磁場方程4.3.2階躍光纖的電磁場解4.3.4導波模的特征方程4.3.5

導波模的分類4.3.6導波模的截止參數(shù)和單模傳輸條件4.3.7遠離截止狀態(tài)時導波模的性態(tài)4.3.8色散曲線4.3.9導波模的場型圖28哈爾濱工程大學理學院4.3.1光纖中的電磁場方程29哈爾濱工程大學理學院4.3.2階躍光纖的電磁場解30哈爾濱工程大學理學院貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)X2>0第一類貝塞爾函數(shù)Jm第二類貝塞爾（諾依曼）函數(shù)Nm虛宗量貝塞爾函數(shù)X2<0第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)Im第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)Km31哈爾濱工程大學理學院（第一類）貝塞爾函數(shù)Jm32哈爾濱工程大學理學院諾依曼函數(shù)Nm33哈爾濱工程大學理學院貝塞爾函數(shù)的特性漸進特性X0時，

Jm有界，為物理解X

0時，Nm無界，非物理解（應舍去）對稱性34哈爾濱工程大學理學院第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)Im35哈爾濱工程大學理學院第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)Km36哈爾濱工程大學理學院虛宗量貝塞爾函數(shù)的特性漸進特性X時，

Im無界，非物理解（應舍去）X時，Km有界，為物理解對稱性37哈爾濱工程大學理學院軸向場量的解與歸一化頻率V38哈爾濱工程大學理學院利用邊界條件化簡軸向場量39哈爾濱工程大學理學院其它場量表達式40哈爾濱工程大學理學院4.3.4導波模的特征方程41哈爾濱工程大學理學院弱導近似下的特征方程42哈爾濱工程大學理學院4.3.5導波模的分類TE模TM模EH模HE模43哈爾濱工程大學理學院1.TE模和TM模44哈爾濱工程大學理學院EH模和HE模45哈爾濱工程大學理學院討論TE模與TM模分別是HE模與EH模在m=0情況下的特例TE模又稱H模（Ez=0，Er=0，只有E0

）TM模又稱E模（Hz=0，Hr=0，只有H0

）HEm模與EH-m模等價，互為特例HE模與H模相聯(lián)系EH模與E模相聯(lián)系本地平面波解釋TE模、TM模：子午光線（水平、垂直）HE模、EH模：偏斜光線46哈爾濱工程大學理學院當m=0時，Ez=0，Er=0，只有E0

或Hz=0，Hr=0，只有H047哈爾濱工程大學理學院4.3.6導波模的截止參數(shù)

和單模傳輸條件截止參數(shù)1.TE模和TM模2.EH模3.HE模簡并度模式順序單模傳輸條件48哈爾濱工程大學理學院1.TE模和TM模49哈爾濱工程大學理學院2.EH模50哈爾濱工程大學理學院Jm(U)的第n個根umnmnTM0nEH1nEH2nEH3n012312.404833.831715.135626.3801625.520087.015598.417249.7610238.6537310.1734711.6198413.01520411.7915313.3236914.7959516.22347514.9309216.4706317.9598219.4094251哈爾濱工程大學理學院3.HE模（m=1）52哈爾濱工程大學理學院HE模（m>1）53哈爾濱工程大學理學院Jm(U)的第n個根umnmnHE-2nHE-1nTE0nHE1nHE2nHE3nHE4n-2-101234mnEH-4nEH-3nEH-2nEH-1nTM0nEH1nEH2n-4-3-2-101215.1363.8322.40502.4053.8325.13628.4177.0165.5203.8325.5207.0168.417311.62010.1738.6547.0168.65410.17311.620414.79613.32411.79210.17311.79213.32414.796517.96016.47114.93113.32414.93116.47117.96054哈爾濱工程大學理學院簡并度一般來說（m0，2），模式四重簡并HE1+mn；HE1-mnEH-1+mn；EH-1-mnHEmn模：m1，3；EH模：m1，-3（廣義）HEmn模：m1，3；EH模：m1模式也有二重簡并的：HE11（HE11

EH-11

）模式也有六重簡并的：（HE1n

，n>1）HE-1n

；HE1n+1

；

HE3nEH1n

；EH-1n+1

；EH-3n

EH1n

；HE1n+1

；

HE3n（狹義：2重簡并m-m）55哈爾濱工程大學理學院模式順序模式組Vc模式數(shù)HE1102TE01；

HE21；TM012.4054EH11

；HE31；HE123.8326EH21

；HE415.1364TE02；

HE22；TM025.5204EH31

；HE516.3804EH12

；HE32；HE137.0166EH41

；HE617.588456哈爾濱工程大學理學院單模傳輸條件57哈爾濱工程大學理學院4.3.7遠離截止狀態(tài)時導波模的性態(tài)接近截止狀態(tài)時，V=Vc=Uc，W=0，相當大的一部分能量轉移到包層中；遠離截止狀態(tài)時，V>>Vc，假設V58哈爾濱工程大學理學院1.TE模和TM模59哈爾濱工程大學理學院2.EH模60哈爾濱工程大學理學院3.HE模61哈爾濱工程大學理學院各類模式的徑向歸一化相位常數(shù)U的取值范圍U介于Uc與Uf之間，用于數(shù)值分析解超越方程時確定U的范圍，有助于提高運算速度。一般在Uc與Uf之間有兩個解，分別對應EHmn模和HE-mn模；TE0n模和TM0n模在Uc與Uf之間只有一個解。模式名稱TE0nTM0nEHmnHEmnm=1m>1U值截止Ucu0numnu1n-1um-2n遠離截止Ufu1num+1nu0num-1n62哈爾濱工程大學理學院數(shù)值分析方法確定初始條件A(B)，，n1，Δ，am，n解特征方程TE0n模和TM0n模EHmn模和HE-mn模確定振幅A，B模擬電磁場分布Hz，Ez；Ht，EtP，I；63哈爾濱工程大學理學院4.3.8色散曲線64哈爾濱工程大學理學院4.3.9導波模的場型圖65哈爾濱工程大學理學院66哈爾濱工程大學理學院67哈爾濱工程大學理學院68哈爾濱工程大學理學院69哈爾濱工程大學理學院70哈爾濱工程大學理學院4.4階躍光纖中的線偏振模4.4.1線偏振模場解及特征方程4.4.2線偏振模特性4.4.3LPmn模與矢量模之間的對應關系4.4.4LPmn模的功率分布4.4.5多模光纖中的模數(shù)量71哈爾濱工程大學理學院4.4.1線偏振模場解及特征方程72哈爾濱工程大學理學院線偏振模場解73哈爾濱工程大學理學院特征方程74哈爾濱工程大學理學院4.4.2線偏振模特性75哈爾濱工程大學理學院LPmn模U值范圍模式名稱LP0nLPmn（m>0）Uc0,u1n-1um-1nUfu0n-1umn76哈爾濱工程大學理學院4.4.3LPmn模與矢量模之間的對應 關系狹義HE1n+HE1n?LP0nHE2n+TE0n

?LP1nHE2n+TM0n

?LP1nHEm+1n+

EHm-1n?LPmn（m>1）廣義HEm+1n+

EHm-1n?LPmn77哈爾濱工程大學理學院TE01和HE21疊加構成LP11模78哈爾濱工程大學理學院廣義LP模mnHE-2nHE-1nTE0nHE1nHE2nHE3nHE4n-2-101234mnEH-4nEH-3nEH-2nEH-1nTM0nEH1nEH2n-4-3-2-1