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文檔簡介
第二章
應(yīng)力分析
§2-1內(nèi)力和外力§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的不變量§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力§2-6應(yīng)力張量的分解
§2-7平衡微分方程、力的邊界條件
2/6/20231§2-1內(nèi)力和外力1.1外力:
物體承受外因而導(dǎo)致變形,外因可以是熱力
作用、化學(xué)力作用、電磁力作用和機械力作用;另一方面從量綱分類,外力主要為體積力和表面積力。我們討論的外力是屬于機械力中的體力和面力的范圍。
2/6/20232§2-1內(nèi)力和外力1.外部體力:作用在物體單位體積(質(zhì)量)x1Px3x2VF量綱:力/(長度)3。
求V中任意點P上承受體力采用極限方法:
上的力,如重力(或慣性力)2/6/20233§2-1內(nèi)力和外力2.外部面力:作用在物體外部表面力其中
為沿三個坐標軸分量。x1Px3x2SF如靜水壓力、土壓力等。量綱:力/(長度)2。求物體表面上任意一點P上受面力仍采用極限方法:2/6/20234§2-1內(nèi)力和外力其中
為沿三個坐標軸分量。2/6/20235§1-1內(nèi)力和外力1.2內(nèi)力:
物體內(nèi)部抵抗外力而產(chǎn)生相互作用的力。在材力和結(jié)力中以N、M、Q形式出現(xiàn),但在彈力中常以應(yīng)力來描述。2/6/20236§2-2應(yīng)力和應(yīng)力張量2.1應(yīng)力矢量當變形體受外力作用時,要發(fā)生變形,同時引起物體內(nèi)部各點之間相互作用力(抵抗力)——內(nèi)力,為了描述物體內(nèi)任意點P的內(nèi)力可采取如下方法:過P點設(shè)一個截面S將V分為兩部分:(相互有作用力與反作用力)2/6/20237§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量FnSPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分:V+、S+、外法線
、合力
;
另一部分:V-、S-、外法線
、合力
;
截面上的合力:
或
2.1應(yīng)力矢量2/6/20238§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量FnSPV+2.1應(yīng)力矢量截面上P點上的內(nèi)力情況,在V+上S面圍繞P點取S,
S上合力為。應(yīng)力矢量(作用在V+):
應(yīng)力矢量與P點位置有關(guān),與截面方向(
方向)有關(guān)。2/6/20239§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量量綱為力/(長度)2。
當截面不變時,應(yīng)力矢量具有一個方向性。取V-:作用在V-上。
當P點的截面與坐標面平行時,
2/6/202310§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理:過P點以單位外法線截面上的應(yīng)量、、力矢量是作用在通過P點坐標平面的應(yīng)力矢的線性函數(shù)、其系數(shù)是的方向余弦,2/6/202311§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量即:x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202312§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量則
設(shè)證:
可得
x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202313§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量而
代入上式,并忽略高階微量
根據(jù)微元體的平衡,得
x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202314§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量或
展開為
或x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202315§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2.2應(yīng)力張量
每個坐標面上的應(yīng)力矢量又可以沿三個坐標面分解三個分量,比如坐標面法線為x1
t1x1(x)x3(z)x2(y)1112132/6/202316§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量沿三個坐標面的應(yīng)力矢量由九個元素(分量)表示,這九個分量組成一個二階張量:
2/6/202317§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量這九個分量的兩個下標:第一個表示應(yīng)力矢量作用面的法線方向,第二個下標表示應(yīng)力矢量的分量的方向。
應(yīng)力分量的正負:在正面上應(yīng)力分量指向坐標正向為正,反之為負;在負面上的應(yīng)力分量指向坐標負向為正,反之為負。2/6/202318下面說明一下[]為張量:
柯西公式(Canchyformula)
由商法則可知
§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量[]為一二階張量
2/6/202319
斜面上的應(yīng)力矢量沿正交坐標系分解
§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量[]為一二階張量,
2/6/202320根據(jù)柯西公式
斜面上的應(yīng)力矢量沿正交坐標系分量:
§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202321§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量定理:作用在過P點任一截面的應(yīng)力矢量完全由該點的應(yīng)力張量線性表出。量關(guān)系
且
是以三個坐標分量表示.柯西公式表示了應(yīng)力張量與任一斜面上應(yīng)力矢2/6/202322§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量其中,斜面法向應(yīng)力:
應(yīng)力矢量也可沿斜面法向和切向分解2/6/202323§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202324§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202325作業(yè):
1。在物體中一點P的應(yīng)力張量為
,求(1)過P點且外法線為的面上的應(yīng)力矢量;
(2)的大??;
(3)與的夾角
(4)求的法向分量;
(5)切向分量。
2/6/202326作業(yè):2.在P點兩斜面法線向量和,證:(用指標符號證)。2/6/202327§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
當物體受外力作用下,其內(nèi)力和變形也是一定的,但這些物理量隨著選取的直角坐標系不同他們的分量是不一樣的,但不同坐標下它們(分量)之間轉(zhuǎn)換應(yīng)遵循一定的規(guī)律。2/6/202328§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
3.1兩個不同直角坐標系基向量的轉(zhuǎn)換:
(舊)第一個直角坐標系:
(新)第二個直角坐標系:
x3x1x2x’1x’2x’32/6/202329§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式新坐標基矢量由舊坐標基矢量表示
x3x1x2x’1x’2x’32/6/202330§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式兩邊點積
2/6/202331§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式與的方向余弦,共有九個元素。
或2/6/202332§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式九個元素用矩陣表示
則新坐標基矢量用舊基矢量表示:
2/6/202333§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式同理舊坐標基矢量用新坐標基矢量表示
注意
九個元素用矩陣表示
2/6/202334§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式
舊坐標基矢量用新坐標基矢量表示:
2/6/202335§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.2矢量(向量)的坐標轉(zhuǎn)換
x3x2x1o2/6/202336§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式用矩陣表示
2/6/202337§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.3應(yīng)力(二階)張量的坐標變換
2/6/202338§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.3應(yīng)力(二階)張量的坐標變換
2/6/202339§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.4笛卡爾張量定義一般式
如物理量(r個下標)
兩個不同笛卡爾直坐標下表示滿足
則T為r階張量。
2/6/202340§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量由柯西公式,已知一點的應(yīng)力狀態(tài)(或),在xi
笛卡爾坐標系中,則任何方向的應(yīng)力矢量
4.1主應(yīng)力和應(yīng)力主方向2/6/202341§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量這里
2/6/202342隨著變化,也變化,
但肯定存在一個使,即或
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202343展開
(1)
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202344即
不全為零
有關(guān)的三次方程
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202345應(yīng)力的第一不變量
應(yīng)力的第二不變量
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量(2)
2/6/202346應(yīng)力的第三不變量
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202347應(yīng)力的第一不變量
§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量(2)
由(2)求出三根分別為,代回(2)式
應(yīng)力的第二不變量
2/6/202348應(yīng)力張量第三不變量:
求出主應(yīng)力后代回(1),并注意的三個方向余弦可決定每個主應(yīng)力的主方向§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202349
幾點說明:(1)(因為由線性代數(shù)知實對稱陣的特征值為實數(shù))三個主應(yīng)力均為實數(shù),§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202350(2)當有一個重根時,如,則與垂直平面內(nèi)任何方向均為主應(yīng)力,為(3)當,任意方向均為主方向,稱為球形應(yīng)力或靜水應(yīng)力狀態(tài)?!?-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的
不變量2/6/202351§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力
5.1最大正應(yīng)力
一點P的三個主應(yīng)力
可以取xi
軸為主軸,則
2/6/202352§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力
5.1最大正應(yīng)力
任意斜面的上應(yīng)力矢量
,2/6/202353§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力2/6/202354§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力5.2最大剪應(yīng)力
條件駐值問題
2/6/202355§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力求出最大的方向
引入拉氏乘子:
2/6/202356§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力莫爾園
:
max1213min22/6/202357§2-6應(yīng)力張量的分解2/6/202358§2-6應(yīng)力張量的分解為應(yīng)力球張量;
為應(yīng)力偏斜張量。
應(yīng)力球張量是一種平均的等向應(yīng)力狀態(tài)(均勻拉壓),對于各向同性材料,它引起體積膨脹(或收縮)2/6/202359§2-6應(yīng)力張量的分解
應(yīng)力偏斜張量表示(實際應(yīng)力狀態(tài)減去應(yīng)力球形張量)了材料的形狀畸變
實驗證明,對于金屬等材料,體積膨脹基本是純彈性的。
而實驗證明塑性變形基本是畸變變形,所以在塑性力學(xué)中非常重要。2/6/202360§2-7平衡微分方程、力的邊界條件
§2—§6節(jié)較系統(tǒng)(不同側(cè)面)討論了一點應(yīng)力張量(狀態(tài)),這一節(jié)將討論之間的關(guān)系:平衡微分方程和力的邊界條件。
2/6/202361§2-7平衡微分方程、力的邊界條件
7.1平衡微分方程
當變形體受外力作用包括體力和面力,研究某點P的應(yīng)力與體力之間關(guān)系。取有限變形體V,考慮有限變形體總平衡(合力)fFx1x3x2oPr2/6/202362§2-7平衡微分方程、力的邊界條件或
——將面積分轉(zhuǎn)化為體積分
利用高斯定理
fFx1x3x2oPr2/6/202363§2-7平衡微分方程、力的邊界條件即
在V上(對任意體積)
——平衡微分方程
2/6/202364§2-7平衡微分方程、力的邊界條件用指標符號寫成
或
2/6/202365§2-7平衡微分方程、力的邊界條件
有限變形體V對坐標原點o取矩
而
除了合力等于零外,有限體還需對任意點取力矩為零(力矩平衡):fFx1x3x2oPr2/6/202366§2-7平衡微分
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