第三章

半導體中載流子

的統(tǒng)計分布半導體中載流子產生及熱平衡熱激發(fā)產生載流子：電子從價帶躍遷到導帶雜質電離產生導電電子或空穴反過程：電子和空穴減少－載流子復合兩過程達到平衡態(tài)本章內容：探討平衡態(tài)半導體中載流子密度的變化規(guī)律：量子態(tài)隨能量分布；電子在能量量子態(tài)上的分布；及其隨溫度變化1.狀態(tài)函數(shù)密度在能帶E到E+dE之間無限小的能量間隔內有dZ個量子態(tài),則狀態(tài)密度定義為表示能帶中能量E附近單位能量間隔內的量子態(tài)數(shù),知道它,則允許的量子態(tài)按能量分布的情況就知道了(態(tài)密度)三維空間晶體波函數(shù)在三維基矢方向上分別有N1，N2,N3原子數(shù)，則波函數(shù)的周期性確定在基矢方向的k分量分別為：1.狀態(tài)函數(shù)密度

每個允許的能量狀態(tài)在k空間中與由整數(shù)組（nx，ny，nz）決定的一個代表點（kx，ky，kZ

）相對應1.狀態(tài)函數(shù)密度共有量子態(tài)數(shù)量：N=N1N2N3，是晶體中原胞總數(shù)一個量子態(tài)占據(jù)的k空間大小考慮自旋，每一個k態(tài)代表兩個量子態(tài)，在k空間占據(jù)(2π)3/2V體積，則量子態(tài)密度為2V/(2π)3.

狀態(tài)密度

能帶中的態(tài)數(shù)量巨大，能帶的能量看成準連續(xù)。在E~E＋dE范圍內有dZ個能態(tài)，考慮等能面為球面，導帶底能量態(tài)：

ｋ空間量子態(tài)密度為2V/(2π)3

，能量空間dE范圍相應對ｋ空間體積為4k2dk，則態(tài)密度：

同樣，價帶空穴的態(tài)密度為：

狀態(tài)密度gC（E）和gV（E）與能量E有拋物線關系，還與有效質量有關，有效質量大的能帶中的狀態(tài)密度大。2統(tǒng)計分布概念物理統(tǒng)計的意義統(tǒng)計規(guī)律量子統(tǒng)計概念與規(guī)律Maxwell-Boltzmann統(tǒng)計規(guī)律：認為粒子間可區(qū)分，同一能量上粒子數(shù)不限定。粒子在可能量子態(tài)上的分布遵循一定的規(guī)律反對稱粒子遵守Fermi－Dirac統(tǒng)計：電子，質子，中子等，同一狀態(tài)上只能有一個粒子存在。對稱性粒子遵守Bose-Einstein統(tǒng)計：光子，介子等，同一狀態(tài)上粒子數(shù)不限定。3.費米能級和載流子統(tǒng)計分布

費米Fermi統(tǒng)計分布

在熱平衡狀態(tài)下，電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計分布規(guī)律性．根據(jù)量子統(tǒng)計理論，服從泡利不相容原理的電子遵循費米統(tǒng)計規(guī)律。對于能量為E的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率為：

f(E)是電子的費米分布函數(shù);

EF稱為費米能級或費米能量，它和溫度、半導體材料的導電類型、雜質的含量以及能量零點的選取有關?！囟认拢灰繣F的數(shù)值，電子在各量子態(tài)上的統(tǒng)計分布就完全確定。費米能級是系統(tǒng)的化學勢:

費米能級EF的特點：

T=0時，E<EF,f(E)=1,能級被填滿

E>EF,f(E)=0，能級為空

T>0時,E<EF,f(E)>1/2，能級大部分被填充

E>EF,f(E)<1/2，能級大部分為空

E=EF,f(E)=1/2，能級一半填充波爾茲曼Boltzman統(tǒng)計分布

導帶中的所有量子態(tài)來說，被電子占據(jù)的幾率一般滿足f(E)<<1，電子分布規(guī)律可不必考慮泡利不相容原理,E-EF>>k0T,則同樣，半導體價帶中的所有量子態(tài)來說，被空穴占據(jù)的幾率，一般都滿足1－f(E)<<1。故價帶中空穴服從空穴的被耳茲曼分布函數(shù)。

三、空穴的分布函數(shù)空穴的波爾茲曼分布函數(shù)空穴的費米分布函數(shù)服從玻耳茲曼統(tǒng)計律的電子系統(tǒng)稱非簡并性系統(tǒng)．而服從費米統(tǒng)計律的電子系統(tǒng)稱為簡并性系統(tǒng)Fermi和Boltzman分布區(qū)別導帶中的電子和價帶中空穴的濃度處理方法：和計算狀態(tài)密度時一樣，認為能帶中的能是連續(xù)分布的。電子占據(jù)能量為E的量子態(tài)的幾率是f(E)、則dE間有gc(E)f(E)dE個電子。從導帶底到導帶頂對其積分，就得到了能帶中的電子總數(shù)．再除以半導體體積，就得到了導帶中的電子濃度。熱平衡非簡并半導體導帶中電子濃度可計算如下：

dE范圍內電子數(shù)：

dE范圍內單位體積電子數(shù)：導帶中的電子密度：

其中：Nc稱為導帶有效狀態(tài)密度。

單位體積的電子數(shù)n0：則價帶中的空穴密度：價帶有效狀態(tài)密度

能帶、函數(shù)f(E)、gc(E)和gv(E)、1-f(E)、gc(Ef(E))、gv(E)[1-f(E)]等曲線

半導體中載流子密度積對一定的半導體材料，乘積只決定于溫度T，與所含雜質無關。一定的半導體材料，在一定的溫度下，乘積一定;在一定溫度下，對不同的半導體材料，因禁帶寬度不同，乘積也將不同。這個關系式不論是本征半導體還是雜質半導體，只要是熱平衡狀態(tài)下的非簡并半導體，都普遍適用;確定系統(tǒng)費米能級EF，在一定溫度下，半導體導帶中電子濃度、價帶中空穴濃度就可以計算出來。電子和空穴的濃度乘積和費米能級無關;本征載流子的產生：導帶中的電子濃度和價帶中的空穴濃度4

本征半導體的載流子密度

本征半導體(intrinsicsemiconductor)本征半導體就是一塊沒有雜質和缺陷的半導體。在絕對零度時，價帶中的全部量子態(tài)都被電子占據(jù)，而導帶中的量子態(tài)都是空的，也就是說．半導體中共價鍵是飽和的、完整的。半導體的溫度T＞0K時，就有電子從價帶激發(fā)到導帶去，同時價帶中產生了空穴，這就是所謂的本征激發(fā)。由于電子和空穴成對產生．導帶中電子濃度等于價帶中的空穴濃度。本征激發(fā)情況下的電中性條件：n0=p0(a)簡單能帶（b）g(E)(c)f(E)

(d)dn0/dE,dp0/dE4

本征半導體的載流子密度

本征半導體的費米能級由n0=p0＝ni

一般半導體在室溫下(k0T=0.026)費米能級在禁帶中線（稍偏上）附近。除非禁帶寬度小，電子空穴有效質量比很大，才明顯偏離。本征半導體的載流子濃度載流子濃度和半導體本身、禁帶寬度和溫度等相關。載流子濃度積：說明:在一定溫度下，任何非簡并半導體的熱平衡載流子濃度的乘積等于該溫度時的本征載梳子濃度的平方，與所含雜質無關。不僅適用于本征半導體材料，而且也適用于非簡并的雜質半導體材料。5雜質半導體的載流子密度

雜質半導體物理意義一般半導體器件中，載流子主要來源于雜質電離，而將本征激發(fā)忽略不計。在本征載流子濃度沒有超過雜質電離所提供的載流子濃度的溫度范圍，如果雜質全部電離，載流子濃度是一定的，器件就能穩(wěn)定工作。隨著溫度的升高，本征載流子濃度迅速地增加。當本征激發(fā)占主要地位，器件將不能正常工作，所以制造半導體器件一般均含有適當雜質的半導體材料。因此，每一種半導體材料制成的器件都有一定的極限工作溫度。雜質能級上的電子或空穴占據(jù)幾率

雜質部分電離的情況下，在一些雜質能級上就有電子占據(jù)著。例如在未電離的施主雜質和已電離的受主雜質的雜質能級被電子所占據(jù)。施主雜質能級只可能被一個有任意自旋方向的電子所占據(jù)空穴占據(jù)受主能級幾率：電子占據(jù)施主能級幾率：電離的受主濃度NA-為電離的施主濃度NA+為電子占據(jù)施主雜質濃度(未電離的施主濃度)電子占據(jù)受主雜質濃度(未電離的施主濃度)雜質能級與費米能級的相對位置明顯反映了電子和空穴占據(jù)雜質能級的情況當,

即當費米能級EF遠在ED之下時，可以認為施主雜質幾乎全部電離．反之，施主雜質基本上沒有電離．當EF＝ED時，nD=2/3ND,而nD+＝1／3ND,，即施主雜質有1／3電離，還有2／3沒有電離。

同理，在費米能級EF遠在EA之上時，受主雜質幾乎全部電離了。反之受主雜質基本上沒有電離．當EF＝EA時，受主雜質有l(wèi)／3電離，還有2／3沒有電離。n型半導體

對只含施主雜質的為n型半導體，電中性條件為：

no＝p0十nD+

等式左邊是單位體積中的負電荷數(shù)，實際上為導帶中的電子濃度；等式右邊是單位體積中的正電荷數(shù)，實際上是價帶中的空穴濃度與電離施主濃度之和。帶入表達式按溫度分區(qū)討論：低溫弱電離區(qū)：當溫度很低時，大部分施主雜質能級仍為電子所占據(jù)、只有很少量施主雜質發(fā)生電離，少量的電子進入了導帶，這種情況稱為弱電離。從價帶中靠本征激發(fā)躍遷至導帶的電子數(shù)就更少了，可以忽略不計，導帶中的電子全部由電離施主雜質所提供。因此p0＝0,n0＝nD+

因nD+<<ND，故,T→0，

l

費米能級位于導帶和施主雜質能級中間。l

費米能級和溫度關系：存在一極值：在NC=NDe-3/2≈0.11ND達到極值。

此式取對數(shù)，由lnn0T-3/4和T關系為一直線。通過實驗測定其斜率可確定出雜質電離能，得到雜質能級的位置。中間電離區(qū)：溫度繼續(xù)升高，當2NC＞ND后，EF表達式中第二項為負值。這時EF下降到(EC+ED)/2以下。當EF＝ED時，施主雜質1/3電離。

強電離區(qū)：當溫度升高至大部分雜質都電離時稱為強電離：

n0≈nD+≈ND，載流子濃度與溫度無關。載流子濃度保持等于雜質濃度的這一溫度范圍稱為飽和區(qū)。這時ED－

EF>>k0T，費米能級EF下降到ED以下。在強電離時：

費米能級由溫度及施主雜質濃度所決定；由于在一般摻雜濃度下NC＞ND，EF第二項是負的。在一定溫度下，ND越大，EF就越向導帶方面靠近。而在ND一定時、溫度越高，EF就越向本征費米能級Ei方面靠近。達到雜質全部電離，雜質濃度應有限度。如認為施主全部電離的大約標準是90％的施主雜質電離，滿足此條件則雜質濃度有一上限。

因ED

－

EF>>k0T，施主能級上的電子濃度(即未電離雜質濃度)為：由前一式EF表達式帶入：其中：，應是施主雜質中未電離雜質比率。

D—與溫度、雜質濃度和雜質電離能都有關系。所以雜質達到全部電離的溫度不僅決定于電離能，而且也和雜質濃度有關。雜質濃度越高，則達到全部電離的溫度就越高。通常所說的室溫下雜質全部電離，實際上忽略了雜質濃度的限制，當超過某一雜質濃度時，這一認識就不正確了。如若施主全部電離的大約標準是90％的施主雜質電離,那么D—約為10％。摻磷的n型硅，室溫時Nc＝2．8×1019cm3,△ED＝0.044eV,k0T＝0.026eV，得磷雜質全部電離的濃度上限為

≈3×1017cm3過渡區(qū):當半導體處于飽和區(qū)和完全本征激發(fā)之間時稱為過渡區(qū)。這時導帶上的電子一部分來源于全部電離的雜質，另一部分則由本征激發(fā)提供，價帶中產生了一定量空穴。電中性條件：n0=p0+ND同理電中性條件：ND=n0-p0本征激發(fā)時n0＝p0＝ni,n0×p0＝ni2的關系，解此聯(lián)立方程

當電子濃度比空穴濃度大得多，考慮ND>>ni。半導體在過渡區(qū)內更接近飽和區(qū)。電子稱為多數(shù)載流子，空穴稱為少數(shù)載流子。后者的數(shù)量雖然很少，但它在半導體器件工作中卻起著極其重要的作用。

no和po數(shù)量相近，都趨于ni，ND<<ni，這時過渡區(qū)內更接近于本征激發(fā)的情況

高溫本征激發(fā)區(qū)：溫度升高到本征激發(fā)產生的本征載流子數(shù)遠多于雜質電離產生的載梳子數(shù)，這種情況與未摻雜的本征半導體情形一樣，雜的本征半導體情形一樣，因此稱為雜質半導體進入本征激發(fā)區(qū)。這時，費米能級接近禁帶中線，而載流子濃度隨溫度升高而迅速增加。顯然，雜質濃度越高達到本征激發(fā)起主要作用的溫度也越高：

n0，p0>>ND;

電中性條件：n0＝p0

少數(shù)載流子濃度：n型半導體中的電子和p型半導體中的空穴稱為多數(shù)裁流子(簡稱多子)，而n型半導體中的空穴和p型半導體書的電子體為少數(shù)載流子(簡稱少子)。在強電離情況下：多子濃度＝雜質濃度，少子濃度和本征載流子濃度的平方成正比、而和多子濃度成反比。因為多子濃度在飽和區(qū)的溫度范圍內是不變的，而本征載流子濃度和溫度關系為

所以少子濃度將隨著溫度的升高而迅速增大

p型半導體

低溫弱電離區(qū)：強電離飽和區(qū)過渡區(qū)以上討論中看到：摻有某種雜質的半導體的載流子濃度和費米能級由溫度和雜質濃度所決定。對于雜質濃度一定的半導體，隨溫度從低到高，載流子則是從以雜質電離為主要來源過渡到以本征激發(fā)為主要來源的過程，相應地，費米能級則從位于雜質能級附近逐漸移近禁帶中線處。

譬如n型半導體，在低溫弱電離區(qū)時，導帶中的電子是從施主雜質電離產生的；隨著溫度升高，導帶中電子濃度也增加，費米能級則從施主能級以上，下降到施主能級以下；當EF-ED>>k0T時，施主雜質全部電離．導帶中電子濃度等于施主濃度，處于飽和區(qū)；再升高溫度，雜質電離已經不能增加電子數(shù)，但本征激發(fā)生的電子迅速增加著，半導體進入過渡區(qū)，這時導帶中的電子由數(shù)量級相近的本征激發(fā)部分和雜質電離部分組成，而費米能級則繼續(xù)下降；當溫度再升高時，本征激發(fā)成為載流子的主要來源，載流子濃度急劇上升，而費米能級下降到禁帶中線處，這時就是典型的本征激發(fā)。

n型p型Atlowtemperature:FreezeoutAtroomtemperature:Completeionization

6

一般情況下的載流子統(tǒng)計分布

平衡條件下半導體中載流子統(tǒng)計分布處理方法：電子濃度或空穴濃度都是由費米能級EF和溫度T表示出來的。通常把溫度T作為已知數(shù)，利用電中性條件求得費米能級，然后根據(jù)載流子統(tǒng)計分布，確定出導帶中的電子濃度n。、價帶中的空穴濃度p。及雜質能級上的載流子濃度等。

對于半導體中同時含有施主和受主雜質的一般情況下，半導體中的空間電荷密度是半導體中任一點附近單位體積中的凈電荷數(shù)，可以用其中所含有的導帶電子、價帶空穴、電離施主、電離受主等四種電荷計算出來。半導體中同時含有施主和受主雜質的一般情況下，含有的導帶電子、價帶空穴、電離施主、電離受主等四種電荷。若單位體積中有n個導帶電子，故單位體積中導帶電子貢獻的電荷是－nq，類似地，每單位體積中有p個空穴貢獻的電荷是十pq；電離施主濃度貢獻為nD+，貢獻的電荷為nD+q，電離受主濃度pA-，它們貢獻的電荷是pA-q。則凈空間電荷密度ρ為：熱平衡條件下：半導體是電中性的，而雜質均勻分布，則空間電荷必須處處為零，在熱平衡狀態(tài)下：半導體中同時含有—種施主雜質和一種受主雜質情況下的電中性條電中性條件：,電中性的意義是半導體單位體積內的正電荷數(shù)(價帶中的空穴濃度與電離施主雜質濃度之和)等于單位體積中的負電荷數(shù)(導帶中的電子濃度與電離受土雜質濃度之和)。當半導體中存在著若干種施主雜質和若干種受主雜質時，電中性條件顯然是：考慮只同時含有一種施主雜質和一種受主雜質情況下的半導體：l

考慮含少量受主雜質的n型半導體

即ND＞NA的情況前面各節(jié)討論的情況就可以作為它的特例看待。

在溫度很低時，施主雜質電離很弱本征激發(fā)作用可忽略不計。而施主末完全電離、說明EF在施主能級ED附近而遠在受主能級之上，故可以認為受主能級EA完全被電子所填充。則：po＝o，pA＝o，得到：即施主能級上的電子，一部分用于填充受主能級．一部分被激發(fā)到導帶，還有一部分留在施主能級上。也可以說電離施主的正電荷數(shù)等于導帶電子與受主負電荷之和。ND表達式帶入上式：解以n0為未知數(shù)方程，得解：即是施主雜質未完全電離情況下載流子濃度的普遍表達公式，其中：極低溫度下：NC’很小，NC’<<NA，所以：

因ND＞NA，若

ND-NA＞2NA時．則從上式可知EF＞ED，即EF在ED之上。又當T=0時，ED和EF重合。

低溫下，施主濃度比受主濃度大很多，即ND＞>NC’>>NA，

上式表明，當因ND<2NC，EF在ED和EF中線以下，反之，則在中線之上。甚至可以接近導帶底EC或在其以上，這時半導體成為簡并狀況。由對數(shù)關系，可實驗確定電離能。

溫度升高后，施主電離程度增加，導帶中電子數(shù)增加。同前面的n半導體討論。如果受主雜質很少，即當溫度升高到雜質弱電離區(qū)以外，受主雜質已不產生顯著作用。當溫度升高到使EF降到ED之下，且滿足ED-EF>>koT的條件時，施主雜質全部電離:no＝ND—NA

這時，受主能級完全被電子填充。如果受主雜質很少，ni<<ND—NA，no＝ND—NA=ND如受主質不能忽略，則no＝ND—NA這就是雜質的補償作用，導帶中電子濃度取決于兩種雜質濃度之差，與溫度無關。半導體進入飽和區(qū)，費米能級如果溫度升高:ni～ND—NA，使兩種雜質濃度之差與該溫度的ni相近時，本征激發(fā)不可忽略。這時電中性條件為導帶電子和電離受主的負電荷等于價帶空穴與電離施主的正電荷，即考慮到n0p0=ni2

對以受主為主的即NA＞ND的情況下的p型半導體：可作以上相似討論低溫弱電離區(qū)：no＝o，nD＝o，溫度升高后，受主電離程度增加，價帶中空穴數(shù)增加。如果施主雜質很少，即當溫度升高到雜質弱電離區(qū)以外，施主雜質已不產生顯著作用。溫度升高到使EF在EA之上，且滿足ED-EF>>k0T的條件時，受主雜質全部電離。

po＝NA—ND施主能級完全被電子填充。如果施主雜質很少，ni<<NA—ND，po=NA如施主雜質不能忽略，po＝NA—ND本征激發(fā)不可忽略時，pi～NA—ND，即溫度升高使兩種雜質濃度之差與該溫度的pi相近時，這時電中性條件是價帶空穴和電離施主的正電荷應等于導帶電子與電離受主的負電荷。進入本征激發(fā)區(qū)少子濃度(施主濃度大于受主濃度)：少子濃度(受主濃度大于施主濃度)：強電離區(qū)7簡并半導體概念以n型半導體為例，一般情況下，ND<NC，因而半導體的費米能級在導帶底之下和禁帶上。但是當付ND＞Nc時，費米能級和導帶重合或在其之上，費米能級EF進入了導帶。在低溫弱電離區(qū)，費米能級隨溫度升高而增大至一極大值后就不斷減小而趨近禁帶中線，如果這一極大值進入了導帶，費米能級EF進入了導帶。費米能級意義表明費米能級EF進入了導帶說明n型雜質摻雜水平很高(即ND很大)；另外可說明導帶底附近的量子態(tài)基本已被電子所占據(jù)。導帶中電子數(shù)已經很多，f(E)<<1的條件不能成立。這時不能再應用玻耳茲曼分