參數(shù)方程知識(shí)梳理

1.參數(shù)方程的定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組（*）所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程（*）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.圓的參數(shù)方程

其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度.3．橢圓的參數(shù)方程4．雙曲線的參數(shù)方程5．拋物線的參數(shù)方程6．直線的參數(shù)方程直線參數(shù)方程的幾種形式（1）標(biāo)準(zhǔn)式直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0），傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為

其中，t是直線上的定點(diǎn)M0（x0，y0）到動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的有向線段的數(shù)量，即，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的上方時(shí)，t＞0；當(dāng)點(diǎn)（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的下方時(shí)，t＜0，當(dāng)點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（x0，y0）重合時(shí)，t=0，以上反之亦然.

于是參數(shù)t的絕對(duì)值等于直線上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.由于直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中t具有這樣的幾何意義，所以在解決直線與二次曲線相交的弦長(zhǎng)和弦的中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，用參數(shù)方程來(lái)解決，方便了很多.

其中（x0，y0）表示該直線上的一點(diǎn)，b/a表示直線的斜率.當(dāng)a，b分別表示點(diǎn)M（x，y）在x方向與y方向的分速度時(shí)，t就具有物理意義——時(shí)間，相應(yīng)的at，bt則表示點(diǎn)M（x，y），則在x方向、y方向上相對(duì)（x0，y0）的位移．8．參數(shù)方程和普通方程的互化（1）由參數(shù)方程化為普通方程——消去參數(shù).消參數(shù)常用的方法有代入法，加減（或乘除）消元法，三角代換法等.消參時(shí)應(yīng)特別注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制.由參數(shù)方程化為普通方程一般是唯一的.（2）由普通方程化為參數(shù)方程——選參數(shù)，參數(shù)選法多種多樣，所以由普通方程化為參數(shù)方程是不唯一的.1.（2009年天津卷）設(shè)直線l1的參數(shù)方程為直線l2的方程為y=3x+4,則l1與l2間的距離為_(kāi)________答案：答案：-1答案：答案：（1）化C1、C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；（2）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=π/2,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：距離的最小值.5、（2009年寧夏海南卷）已知曲線C1:解析：6.（2009年南通模擬）已知直線和圓C：解析：圓的方程可化為故直線l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為27、設(shè)x=3cosφ，以φ為參數(shù)，求橢圓的參數(shù)方程.分析：將普通方程化為參數(shù)方程，必須先指定參數(shù)或給出參數(shù)與x，y中之一的函數(shù)關(guān)系.解析：點(diǎn)評(píng)：將普通方程化為參數(shù)方程，必須先指定參數(shù)或給出參數(shù)與x，y中之一的函數(shù)關(guān)系，同一個(gè)普通方程，當(dāng)選擇的參數(shù)不同時(shí)，得到的參數(shù)方程也不同.解析：將y=2pt代入y2=2px得8.設(shè)y=2pt，t是參數(shù)，則拋物線：y2=2px（p>0）的參數(shù)方程是______9、

如圖所示，圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.分析：取∠xOP=θ為參數(shù)，則圓O的參數(shù)方程是當(dāng)θ變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在定圓O上運(yùn)動(dòng)，線段PQ也隨之變動(dòng)，從而使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).所以，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)可以看成是由角θ決定的.于是，選θ為參數(shù)是合適的.解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，∠xOP=θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cosθ，2sinθ).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所以，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是點(diǎn)評(píng)：如何恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，成為解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.10、如圖所示，經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.解析：11、

在橢圓上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.分析：直接用直角坐標(biāo)，則點(diǎn)M(x，y)到直線x+2y-10=0的距離的表達(dá)式中有兩個(gè)變量，雖然可以借助橢圓方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，但是表達(dá)式比較復(fù)雜。因此，考慮用橢圓的參數(shù)方程求解.點(diǎn)評(píng)：本題是利用橢圓參數(shù)方程解決問(wèn)題的典型例子，可以感受到曲線的參數(shù)方程在消元變形中具有重要作用.利用參數(shù)方程，一方面橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)只含有一個(gè)參變量，距離表達(dá)式得到簡(jiǎn)化；另一方面，可以用上三角變換，從而拓廣了解決問(wèn)題的途徑.1.普通方程是相對(duì)于參數(shù)方程而言的，適當(dāng)選擇參數(shù)，普通方程可以化為參數(shù)方程；同樣地，消去參數(shù)，參數(shù)方程就化為普通方程.需要注意的是，在化參數(shù)方程為普通方程時(shí)，坐標(biāo)x，y的取值范圍不能擴(kuò)大或縮小，即對(duì)應(yīng)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)不能有增減，為了防止轉(zhuǎn)化過(guò)程中出現(xiàn)范圍的變化，可以先由參數(shù)方程討論x，y的變換范圍，再對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；從普通方程化為參數(shù)方程，必須先指定參數(shù)或給出參數(shù)與x，y中之一的函數(shù)關(guān)系，同一個(gè)普通方程，由于選擇的參數(shù)不同，得到的參數(shù)方程也不同.2.通過(guò)求過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程，應(yīng)進(jìn)一步明確參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.

由直線l的傾斜角α可得，直線l的單位方向向量（單位長(zhǎng)度與坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度相同）是e=(cosα,sinα).設(shè)M(x，y)為直線上的任意一點(diǎn)，那么，從而必有實(shí)數(shù)t，使，即(x-x0，y-y0)=t(cosα,sinα)，于是得到直線l的參數(shù)方程：在上述的推導(dǎo)過(guò)程中，共線向量定理起關(guān)鍵作用.因?yàn)橛傻玫焦手本€參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是：參數(shù)t的絕對(duì)值|t|等于動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.

當(dāng)0＜α＜π時(shí)，sinα＞0，所以，直線l的單位方向向量e的方向總是向上。此時(shí)，若t＞0，則的方向向上；若t＜0，則的方向向下；若t=0，則點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合.

若直線l與曲線y=f(x)交于M1，M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.則曲線的弦M1M2的長(zhǎng)是|M1M2|=|t1-t2|；線段M1M2的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)3.應(yīng)掌握橢圓的參數(shù)方程式如何推導(dǎo)出來(lái)的，如右圖所示，以原點(diǎn)O為圓心，a，b(a＞b＞0)為半徑分別作兩個(gè)同心圓.設(shè)A為大圓上的任一點(diǎn)，連接OA，與小圓交于點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M.設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為φ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y).那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y.由于點(diǎn)A，B均在角φ的終邊上

由三角函數(shù)的定義有

x=|OA|cosφ=acosφ，y=|OB|sinφ=bsinφ.

當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)M的軌跡，它的參數(shù)方程是這是中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

在上述的橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)φ表示x軸正半軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB的位置時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度，通常規(guī)定參數(shù)φ的范圍為φ∈［0，2π).

類似地，可得雙曲線和拋物線的參數(shù)方程.12、（2008年海南寧夏卷）已知曲線C1：（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說(shuō)明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線C′1,C′2.寫出C′1,C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由.解析：

所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C1與C2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.（1）求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求證：OA⊥OB.解析：解析：由題知，直線為3x+4y+10=0,圓為（x-2）2