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角平分線的判定2014-09-23ODEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)知識(shí)回顧幾何語(yǔ)言描述:∵OC平分∠AOB,且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PEACB
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì):證明線段相等時(shí)不必再證全等如圖,由于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,PD=PE,可以得到什么結(jié)論?OBPE^PD^OA議一議到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。
已知:如圖,,,垂足分別是
A、B,PD=PE
,求證:點(diǎn)P在的角平分線上。BADOPE到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
已知:如圖,,,垂足分別是
D、E,PD=PE,
求證:點(diǎn)P在的角平分線上。證明:\作射線OP\
點(diǎn)P在角的平分線上
在Rt△PDO
和Rt△PEO
中,(HL)\(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)
OP=OP(公共邊)PD=PE(已知)\≌角平分線的判定BADOPE∵角平分線的判定的幾何語(yǔ)言描述:OP是的平分線PD=PE\
(到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上)∵
DE OPAB角平分線的性質(zhì):在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角平分線的判定到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分線∵∵\(yùn)OP是的平分線PD=PE用途:證明線段相等用途:證明角相等,判定一條射線是角平分線判定:到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?!?/p>
QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上,
QD⊥OA,QE⊥OB∴QD=QE用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:練一練填空:(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴_______________________________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2(AD是∠BAC的角平分線)DC=DE到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角平分線上。在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等例1.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,且BE=CF。求證:AD是△ABC的角平分線。ABCEFD證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD
在Rt△BED
和Rt△CFD
中,
BD=CD(公共邊)BE=CF∴Rt△BED
≌Rt△CFD
(HL)∴DE=DF∴AD是△ABC的角平分線已知:如圖,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于D,BD=CD。求證:AD平分∠BAC。ABCFED課堂練習(xí)1證明:∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠DEC=∠DFB=90°在△DEC和△DFB中∠DEC=∠DFB∠EDC=∠FDBCD=BD∴△DEC≌△DFB(AAS)∴DE=DF∴AD平分∠BACABCPEDFMN例題2.如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證:點(diǎn)P到AB、BC、CA的距離相等證明:過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,
PF⊥AC于F證明:過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上∴PD=PE(在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等已知:如圖,△ABC的∠B的外角的平分線BD和∠C
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