第十七章光的衍射17-1光的衍射惠更斯-菲涅爾原理1、光的衍射現(xiàn)象

當(dāng)光在傳播過(guò)程中遇到大小與波長(zhǎng)相比擬的障礙物（小孔、小屏、狹縫、毛發(fā)和細(xì)針等），會(huì)發(fā)生明顯的光線偏離直線傳播的現(xiàn)象-------光的衍射。（a）圓孔衍射（b）單縫衍射方孔衍射網(wǎng)格衍射針和線的衍射條紋不同大小的圓孔衍射的條紋(菲涅爾衍射)2、菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射夫瑯禾費(fèi)衍射光源、屏與縫相距無(wú)限遠(yuǎn)縫在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射菲涅爾衍射縫

光源、屏與縫相距有限遠(yuǎn)

波在傳播過(guò)程中，從同一波陣面S上發(fā)出的子波，經(jīng)傳播而在空間某點(diǎn)相遇時(shí)，可相互疊加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。子波在P點(diǎn)引起的振動(dòng)振幅并與有關(guān)。：波陣面上面元

(子波波源)：t時(shí)刻波陣面*3、惠更斯–菲涅爾原理17-2夫瑯禾費(fèi)單縫衍射1、菲涅爾半波帶法

用

/2分割BC，過(guò)等分點(diǎn)作AC

的平行線，平行線將將AB

等分----將單縫分割成數(shù)個(gè)半波帶。暗紋明紋K=0為中央明紋中心的位置。2、明紋暗紋位置暗紋明紋3、中央明紋半角寬度中央明紋線寬度為:其它明、暗紋的線寬度:

將第一個(gè)暗紋中心與中央明紋之間的角距離稱為中央明紋半角寬度。相鄰暗紋間距相鄰明紋間距除中央明紋以外，衍射條紋平行等距。4、相鄰條紋間距5、單縫衍射光強(qiáng)分布

用計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算的單縫夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣光強(qiáng)分布（中央明紋向下移動(dòng)）（中央明紋向上移動(dòng)）6、入射光非垂直入射時(shí)光程差的計(jì)算

例1

用單色平行光垂直照射到寬度為a=0.5mm的單縫上，在縫后放置一個(gè)焦距為f=100cm的透鏡，則在焦平面的屏幕上形成衍射條紋，若在離屏上中央明紋中心距離為1.5mm處的P點(diǎn)為一亮紋，試求：（1）入射光的波長(zhǎng)；（2）P點(diǎn)條紋的級(jí)數(shù)和該條紋對(duì)應(yīng)的衍射角；（3）狹縫處波面可分為幾個(gè)半波帶；（4）中央明紋的寬度。解（1）單縫明紋位置且有（2）P點(diǎn)條紋的級(jí)數(shù)和該條紋對(duì)應(yīng)的衍射角（3）狹縫處波面可分為幾個(gè)半波帶共有2k+1=3個(gè)半波帶。（4）中央明紋的寬度

例2

如圖，一雷達(dá)位于路邊15m處，它的射束與公路成15o角。假如發(fā)射天線的輸出口寬度b=0.10m，發(fā)射的微波波長(zhǎng)是18mm，則在它監(jiān)視范圍內(nèi)的公路長(zhǎng)度大約是多少？

解將雷達(dá)天線輸出口看成是發(fā)出衍射波的單縫，衍射波能量主要集中在中央明紋范圍內(nèi)。根據(jù)暗紋條件17-3衍射光柵光柵光譜大量等寬等間距的平行狹縫(或反射面)構(gòu)成的光學(xué)元件。１、衍射光柵兩者均周期性地分割了波陣面。光柵常數(shù)透光縫寬度a不透光寬度b光柵常數(shù)

通常在1cm內(nèi)刻有成千上萬(wàn)條透光狹縫，相當(dāng)于多光束干涉，光柵形成的光譜線，尖銳、明亮。單縫衍射條紋光柵衍射譜線（1）光柵方程明紋滿足光柵方程的明紋又稱為主極大。123（2）暗紋方程

要使P點(diǎn)出現(xiàn)暗紋，例如對(duì)3條縫的情況，各分振動(dòng)的振幅矢量應(yīng)組成一個(gè)閉合的三角形。123132A1A3A4A5A6A2123456123456123456123456即當(dāng)相鄰縫間的分振動(dòng)的位相差滿足或，P點(diǎn)出現(xiàn)暗紋。

要使P點(diǎn)出現(xiàn)暗紋，例如對(duì)6條縫的情況，各分振動(dòng)的振幅矢量應(yīng)組成一個(gè)閉合的多邊形：推廣到N條狹縫的情況則有暗紋方程

上式中kNk

，因?yàn)榇藭r(shí)滿足明紋條件，所以k的取值為這樣，在兩相鄰主極大之間有N-1條暗紋。A1A3ANA2（3）次極大

兩相鄰主極大之間有N-1條暗紋，則兩暗紋之間還存在次明紋，次明紋強(qiáng)度很小，僅為主極大的4%。在N-1條暗紋之間有N-2條次明紋，N越大，次極大越多，明紋越細(xì)亮。IOsin多縫干涉（4）衍射條紋的角寬對(duì)兩邊微分即主極大兩側(cè)的兩個(gè)極小的衍射角之差。

顯然，分母很大時(shí)，角寬會(huì)很小，條紋很細(xì)且明亮。（5）缺級(jí)IIIOOOsinsinsin單縫衍射多縫干涉光柵衍射單縫衍射減弱條件光柵衍射加強(qiáng)條件兩式相比缺級(jí)條件I048-4-8單縫衍射輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線m為整數(shù)時(shí)，光柵譜線中m、2m、3m等處缺級(jí)。m不為整數(shù)時(shí)，例如當(dāng)m=3/2時(shí),

只有當(dāng)k=2，4，…時(shí)才缺級(jí)，即譜線中的第3，6，9級(jí)等條紋缺級(jí)。I048-4-8單縫衍射輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線例1

分光計(jì)作光柵實(shí)驗(yàn)，用波長(zhǎng)

=632.8nm的激光照射光柵常數(shù)d=1/300mm的光柵上，且a/b=2。問(wèn)最多能看到幾條譜線。解在分光計(jì)上觀察譜線，最大衍射角為90°,取若不考慮缺級(jí)能觀察到的譜線為11條：則+3，–3級(jí)缺級(jí)，這樣能觀察到的譜線為9條。例2以每毫米有500條柵紋的衍射光柵觀察鈉光譜線（=590nm），縫寬a和刻痕寬度b之比為12。問(wèn)（1）平行光垂直入射于光柵時(shí)最高能看到第幾級(jí)光譜線？觀察屏上總共可能出現(xiàn)幾條光譜線？（2）平行光以30°斜入射時(shí)，最高能看到第幾級(jí)光譜線？解（1）按題意，光柵常數(shù)因?yàn)檠苌浣亲畲蟛荒艹^(guò)／2，由光柵方程得

取整數(shù)k=3，得最高可能看到第3級(jí)譜線。假如沒(méi)有缺級(jí)，那么在零級(jí)衍射條紋左右各有三條譜線，總共有七條譜線。但由題知由缺級(jí)方程得

即衍射光譜線第3，6，9，…級(jí)缺級(jí)。故觀察屏上實(shí)際呈現(xiàn)的譜線是：0，±1,±2。

（2）斜入射時(shí)，圖中兩條光線的光程差除BC外應(yīng)再加上入射前的光程差DB，因此總光程差是則由光柵方程得

式中k的最大值相應(yīng)于=／2，因此取整數(shù)，最高能看到第5級(jí)。練習(xí)關(guān)于光柵衍射，下列說(shuō)法正確的是（）（N為光柵縫數(shù)）A.光柵衍射沒(méi)有中央明紋；B.主極大的光強(qiáng)是來(lái)自一縫光強(qiáng)的N倍；C.光柵衍射是單縫衍射與縫間干涉的結(jié)果；D.相鄰兩縫的光程差必須為半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍才能得到暗紋。2、光柵的分辨本領(lǐng)

瑞利判據(jù)當(dāng)一譜線的中心恰與另一條的極小重合時(shí)，兩條譜線剛好能分辨。能夠分辨恰能分辨不能分辨

恰能分辨時(shí)兩譜線重疊部分的光強(qiáng)（紅色）為單個(gè)譜線中心最大光強(qiáng)I0的80％。

因此，波長(zhǎng)差為d的兩種單色光剛好能被分辯時(shí)，它們的衍射角之差（角間距）d

應(yīng)等于它們衍射條紋的半角寬。對(duì)兩邊微分得則半角寬為（1）半角寬對(duì)光柵方程兩邊微分與半角寬比較得剛好能被分辯時(shí)角間距等于衍射條紋的半角寬，d越小，分辯本領(lǐng)越大，因此定義分辯本領(lǐng)所以光柵的分辯本領(lǐng)為得（2）角間距例

設(shè)計(jì)一光柵，要求（1）能分辨鈉光譜的5.890×10-7(m)和5.896×10-7(m)的第二級(jí)譜線；（2）第二級(jí)譜線的衍射角30°；（3）第三級(jí)譜線缺級(jí)。解（1）按光柵的分辨本領(lǐng)得即N491條。（3）缺級(jí)條件（2）由(a+b)sin

=k

可得

衍射條紋特征：一組明暗相間的同心圓環(huán)，中心亮斑為愛(ài)里斑。17-4夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射1、夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射1).愛(ài)里斑直徑第一級(jí)暗環(huán)直徑d

為愛(ài)里斑直徑。愛(ài)里斑對(duì)透鏡中心張角由理論推導(dǎo)可知2).愛(ài)里斑的能量愛(ài)里斑占總能量的84%。2、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)

一般光學(xué)儀器成像，可以看成圓孔衍射。由于衍射，會(huì)使圖像邊緣變得模糊不清，使圖像分辨率下降。瑞利判據(jù)當(dāng)一個(gè)愛(ài)里斑的邊緣（即第一暗環(huán)）正好落在另一個(gè)愛(ài)里斑的中心時(shí)，兩個(gè)物點(diǎn)恰能被分辨。最小分辨角分辨本領(lǐng)D為光學(xué)儀器的通光孔徑。**

美國(guó)波多黎各阿雷西博鎮(zhèn)建造了直徑達(dá)305米的拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，不能轉(zhuǎn)動(dòng)，這是世界上最大的單孔徑射電望遠(yuǎn)鏡。

聯(lián)邦德國(guó)在玻恩附近建造了100米直徑的全向轉(zhuǎn)動(dòng)拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，這是世界上最大的可轉(zhuǎn)動(dòng)單天線射電望遠(yuǎn)鏡。1990年發(fā)射的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡的凹面物鏡的直徑為2.4m，最小分辨角0=0.1，在大氣層外615km高空繞地運(yùn)行,可觀察130億光年遠(yuǎn)的太空深處,發(fā)現(xiàn)了500億個(gè)星系。地面觀測(cè)用哈勃望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)采用波長(zhǎng)較短的光，也可提高分辨率。

電子顯微鏡用加速的電子束代替光束，其分辨距離達(dá)0.1nm，可用它來(lái)觀察分子結(jié)構(gòu)。

例1

設(shè)人眼在正常照度下的瞳孔直徑約為3mm，而在可見(jiàn)光中，人眼最敏感的波長(zhǎng)為550nm，問(wèn) （1）人眼的最小分辨角有多大？

（2）若物體放在距人眼25cm（明視距離）處，則兩物點(diǎn)間距為多大時(shí)才能被分辨？解（1）（2）例2

毫米波雷達(dá)發(fā)出的波束比常用的雷達(dá)波束窄，這使得毫米波雷達(dá)不易受到反雷達(dá)導(dǎo)彈的襲擊。

（1）有一毫米波雷達(dá)，其圓形天線直徑為55cm，發(fā)射頻率為220GHz的毫米波，計(jì)算其波束的角寬度；

（2）將此結(jié)果與普通船用雷達(dá)發(fā)射的波束的角寬度進(jìn)行比較，設(shè)船用雷達(dá)波長(zhǎng)為1.57cm，圓形天線直徑為2.33m。解（1）（2）17-5Ｘ射線衍射X射線冷卻液金屬靶克魯斯克管1912年德國(guó)慕尼黑大學(xué)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授馮·勞厄用晶體中的衍射拍攝出X射線衍射照片。由于晶體的晶格常數(shù)約0.1nm，與X射線波長(zhǎng)0.01nm~1000nm接近，衍射現(xiàn)象明顯。勞厄斑X射線照相底片單晶片鉛板1913年英國(guó)的布拉格父子，提出了另一種研究X射線的方法，并作出了精確的定量計(jì)算。由于父子二人在X射線研究晶體結(jié)構(gòu)方面作出了巨大貢獻(xiàn)，于1915年共獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

晶體是由彼此相互平行的原子層構(gòu)成。

布拉格公式加強(qiáng)受迫振動(dòng)，向各方向發(fā)射子波只有鏡式反射方向強(qiáng)度最大1、可利用晶體對(duì)X射線的反射來(lái)獲得單色X射線；2、若d已知，可用來(lái)測(cè)定X的波長(zhǎng)，從而可用來(lái)分析未知的化學(xué)組成。3、若已知X的波長(zhǎng)，可求得d，以研究晶體的結(jié)構(gòu)。晶面族注意：1、對(duì)不同的晶面族，掠射角

及晶面間距均各不相同。2、公式中的d必須是相鄰晶面的距離。3、如果兩相鄰的晶面間的距離d</2，則sin>1，即公式對(duì)n沒(méi)有解。加強(qiáng)

例1

一X射線束以45的掠射角入射到晶體的某一族晶面上，其波長(zhǎng)從0.095nm到0.130nm連續(xù)變化。晶面間距d=0.275nm。問(wèn)該晶面族的衍射線是否會(huì)產(chǎn)生？

解

由布拉格公式級(jí)次k的取值范圍為即k只能取整數(shù)。所以，k=4時(shí)，k=3時(shí)，

例2波長(zhǎng)為=0.11nm的X射線投射到食鹽(NaCl)某一組晶面上，晶面間距d=0.252nm，問(wèn)掠射角為多大時(shí)出現(xiàn)衍射極大？解作業(yè)第十七章P803、6、1112、1317、19、21

習(xí)題1用光柵攝譜儀分析波長(zhǎng)在9000?附近、相隔0.5?的若干譜線。設(shè)攝譜儀的焦距為80cm，感光底片的空間分辨率為150條/mm。如果要求底片上記錄的譜線剛好能分辨，問(wèn)應(yīng)選用光柵常數(shù)d和有效寬度D多大的光柵？

解波長(zhǎng)差為的兩譜線在底片上散開(kāi)的距離l為為兩譜線的同級(jí)衍射角之差，可由光柵方程求得攝譜儀通常用一級(jí)譜線，此時(shí)衍射角較小，從而

l受到底片分辨率的制約，即

將f=80cm、

=0.5?代入得

剛好能分辨時(shí)，譜線的半角寬度'應(yīng)等于兩譜線的衍射角之差，即'=

。下面求'對(duì)兩邊微分

半角寬度'為'=，而=l/f，因此光柵的有效寬度為

習(xí)題2兩塊光柵的縫寬、縫間隔d及縫數(shù)完全相同。現(xiàn)將它們?cè)谕黄矫嫔舷嗑鄉(xiāng)放置，組合成一塊光柵。用該光柵做衍射實(shí)驗(yàn)時(shí)，原來(lái)每塊光柵的一系列主極強(qiáng)現(xiàn)在發(fā)生了什么變化？具體說(shuō)明當(dāng)（1）l=1.5d及（2）l=2d兩種情況下的變化特點(diǎn)。

解原來(lái)單