第4章

李雅普諾夫穩(wěn)定性哈爾濱工業(yè)大學HarbinInstituteofTechnologyStabilityTheoryofLyapunov任課教師：楊慶俊4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫第一法（間接法）4.3李雅普諾夫第二法（直接法）4.4線性系統(tǒng)的李雅譜諾夫分析本章目錄第一法的不足：4.2李雅普諾夫第一法平衡狀態(tài)處進行線性化，具有近似性。不能給出穩(wěn)定性的范圍。一個振動例子：4.3李雅普諾夫第二法如果存在能量衰減，最終會停在平衡位置，此時能量最小。彈性棒k小球m給我們的啟示：4.3李雅普諾夫第二法可否根據能量函數及其變化，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？例如用一個標量函數V(x,t)表示系統(tǒng)能量。表示系統(tǒng)能量的變化。能量大能否根據能量函數及導數的定號性，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？4.3李雅普諾夫第二法利用系統(tǒng)能量函數，并通過及其導數符號來直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。不過，并非所有的系統(tǒng)都能找到一個能量函數，經濟系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、抽象數學系統(tǒng)等。構造一個正定的標量函數，用來代替能量函數，稱為李雅普諾夫函數定義4.3.1正定函數：4.3李雅普諾夫第二法

V(x)有連續(xù)的偏導數；

V(x)=0；當時，。則稱是正定的（正半定）。如果則稱是負定的（負半定）。

是向量的標量函數，如果滿足：例4.3.1判斷一下函數的正定性。4.3李雅普諾夫第二法

正定負半定負定李雅普諾夫函數：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數比能量函數更為一般，應用也更廣泛，但該函數構造并非易事。目前沒有一個通用的構造方法，通?？蛇x二次型。正定對稱矩陣例如正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法若標量函數正定稱P正定正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：1）順序主子式均大于0正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：2）全部特征值>0下面給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，每個定理前，首先給出基本思路。4.3李雅普諾夫第二法第二法穩(wěn)定性定理的基本思路：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；是負定的。假設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個具有連續(xù)偏導數的標量函數并且滿足條件：定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

如果隨著，有，則為大范圍一致漸近穩(wěn)定。

在上述條件下，即V的等值面擴展到整個狀態(tài)空間條件下，能保證在全局范圍例4.3.2：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計算平衡態(tài)2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數負定正定4)結論系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定例4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法已知氣彈簧系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計算平衡態(tài)2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數負定正定4)結論系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定另一種情況：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1b：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負半定的；對任意和任意的，在時不恒等于零。對于系統(tǒng)那么原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個具有連續(xù)偏導數的標量函數并且滿足條件：例4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。1)平衡點2)正定函數3)求導半負定圖解：4.3李雅普諾夫第二法一致漸近穩(wěn)定初值(0.1,1)李雅普諾夫意義下穩(wěn)定：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負半定的；

某點起恒為0。如果存在一個具有連續(xù)偏導數的標量函數并且滿足條件：對于系統(tǒng)那么原點處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定！4.3李雅普諾夫第二法

平衡點附近等幅震蕩例4.3.5：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)平衡點2)V(x,t)4.3李雅普諾夫第二法3)求導4)判定大范圍一致穩(wěn)定不漸近！定理4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法

在原點的某一鄰域內是正定的；在同樣的鄰域中也是正定的?；蛘甙胝ǎ缓銥?。如果存在一個具有連續(xù)偏導數的標量函數并且滿足條件：對于系統(tǒng)那么原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定：4.3李雅普諾夫第二法

例4.3.6：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。1)平衡點2)正定函數3)求導半正定4.3李雅普諾夫第二法初值(0.001，0)不穩(wěn)定！例4.3.7：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計算平衡態(tài)2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數正定正定4)結論系統(tǒng)不穩(wěn)定關于第二法幾點說明：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數選取不唯一。充分性。不僅對線性系統(tǒng)，而且對非線性系統(tǒng)，也能提供大范圍穩(wěn)定性的信息。對于某特定系統(tǒng)，如果未找到一個合適的李氏函數證明系統(tǒng)穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定或不穩(wěn)定，就不能給出任何穩(wěn)定性信息。如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質的李雅普諾夫函數一定存在。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：對給定正定實對稱陣Q，存在正定實對稱陣P滿足：此時證：負定4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析李雅普諾夫方程Q可取為對角陣，甚至單位陣，以簡化計算。P中含有個未知數列個方程4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析例4.4.1：解：4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析P正定系統(tǒng)穩(wěn)定4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析Matlab求解P=lyap(AT,Q)4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性非定常：4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性離散：正定，負定，則穩(wěn)定。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性時變離散：形式相同，但求解大為復雜。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性系統(tǒng)的參數優(yōu)化：不考慮終值，不考慮功耗，時間拉長至無窮，則退化為：