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2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.音樂,是用聲音來展現(xiàn)美,給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學趣味.著名數(shù)學家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì),他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學表達式來描述,它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項是基本音,其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學表達式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構成樂音的是()A. B. C. D.2.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}3.已知復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個 B.個 C.個 D.個6.已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.的展開式中的系數(shù)是-10,則實數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-28.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元9.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.10.已知是虛數(shù)單位,則復數(shù)()A. B. C.2 D.11.下列選項中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件12.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在矩形ABCD中,,,點E,F(xiàn)分別為BC,CD邊上動點,且滿足,則的最大值為________.14.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.15.如圖,從一個邊長為的正三角形紙片的三個角上,沿圖中虛線剪出三個全等的四邊形,余下部分再以虛線為折痕折起,恰好圍成一個缺少上底的正三棱柱,而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底,則所得正三棱柱的體積為______.16.設,則_____,(的值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望(分布列寫出計算表達式即可).注:若,則,,.18.(12分)已知函數(shù)與的圖象關于直線對稱.(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點處的切線經(jīng)過點,求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.19.(12分)已知函數(shù)()在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)若有兩個不同的極值點,,且,若不等式恒成立.求正實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.求直線的方程.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當時,;(2)若函數(shù)只有一個零點,求正實數(shù)的值.22.(10分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.2.A【解析】
解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【點睛】此題考查求集合的并集,關鍵在于準確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準確寫出集合中的元素.3.B【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡z,復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)學運算,數(shù)形結合的能力,屬于基礎題.4.B【解析】
由題可知,,再結合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應用,屬于中檔題5.C【解析】
計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm,得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,得到不等式,計算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側面相切,且相鄰四個球兩兩相切,這樣,相鄰的四個球的球心連線構成棱長為cm的正面體,易求正四面體相對棱的距離為cm,每裝兩個球稱為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個球.故選:【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.6.A【解析】
根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,可得出,結合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.7.C【解析】
利用通項公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù),考查學生的運算求解能力,是一道容易題.8.D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力和應用能力.9.C【解析】
由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀.10.A【解析】
根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選:A【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎題.11.D【解析】
對于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對于D根據(jù)元素與集合的關系即可做出判斷.【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡單題.12.C【解析】試題分析:拋物線的準線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點,,,則;選C考點:1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準線方程;二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用平面直角坐標系,設出點E,F(xiàn)的坐標,由可得,利用數(shù)量積運算求得,再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標系,如圖(1)所示:設,,,即,又,令,其中,畫出圖形,如圖(2)所示:當直線經(jīng)過點時,取得最大值.故答案為:【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼担瑢儆诨A題.14.【解析】
利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結構特征,可以根據(jù)條件構建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.15.1【解析】
由題意得正三棱柱底面邊長6,高為,由此能求出所得正三棱柱的體積.【詳解】如圖,作,交于,,由題意得正三棱柱底面邊長,高為,所得正三棱柱的體積為:.故答案為:1.【點睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結構特征等基礎知識,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意翻折前后的不變量.16.7201【解析】
利用二項展開式的通式可求出;令中的,得兩個式子,代入可得結果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式,,故,,故(=,故答案為:720;1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用,考查賦值法,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運算即可;(Ⅱ)可判斷均值應為,再結合(1)和題干備注信息可得,進而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項分布,故,列出分布列,計算出對應概率,結合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項分布求解離散型隨機變量分布列和期望,屬于中檔題18.(1)e;(2)2.【解析】
(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),得出,再利用導數(shù)的幾何意義,求出曲線在點處的切線為,構造函數(shù),利用導數(shù)求出單調(diào)性,即可得出的值;(2)設,求導,求出的單調(diào)性,從而得出最大值為,結合恒成立的性質(zhì),得出正整數(shù)的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意,與的圖象關于直線對稱,所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù),則,,設點,,又,當時,,曲線在點處的切線為,即,代入點,得,即,構造函數(shù),當時,,當時,,且,當時,單調(diào)遞增,而,故存在唯一的實數(shù)根.(2)由于不等式恒成立,可設,所以,令,得.所以當時,;當時,,因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令,因為,,又因為在是減函數(shù).所以當時,.所以正整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)解決恒成立問題,涉及到單調(diào)性、構造函數(shù)法等,考查函數(shù)思想和計算能力.19.(1);(2).【解析】
(1)求導得到有兩個不相等實根,令,計算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域,得到答案.(2),是方程的兩根,故,化簡得到,設函數(shù),討論范圍,計算最值得到答案.【詳解】(1)由題可知有兩個不相等的實根,即:有兩個不相等實根,令,,,,;,,故在上單增,在上單減,∴.又,時,;時,,∴,即.(2)由(1)知,,是方程的兩根,∴,則因為在單減,∴,又,∴即,兩邊取對數(shù),并整理得:對恒成立,設,,,當時,對恒成立,∴在上單增,故恒成立,符合題意;當時,,時,∴在上單減,,不符合題意.綜上,.【點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù),恒成立問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20.(1)見解析(2)【解析】
(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標方程轉(zhuǎn)為直角坐標方程.(2)利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點睛】本題考查參
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